Exercice 2: évolution temporelle de différents systèmes électriques ...

Asie 2005 Exercice n°2 : évolution temporelle de différents systèmes
électriques (5,5 points)
Correction © http://labolycee.org Sans calculatrice 1. Étude comparative des dipôles RL, RC et RLC série 1. Pour visualiser la tension uR aux bornes du conducteur ohmique, il
faut placer :
- la voie Y au point B
- la masse au point M . 2. D'après la loi d'Ohm et le sens positif du courant choisi, on a la
relation : uR(t) = R.i(t).
Donc i(t) = uR(t) / R. Les variations de l'intensité du courant i(t)
sont proportionnelles aux variations de la tension uR(t) au facteur 1
/R près. La mesure de la tension uR(t) permet donc de suivre
l'évolution temporelle de l'intensité i(t). 1. oscillogramme a : il montre un régime pseudo-périodique pour lequel le
graphe i(t) présente des oscillations amorties. Il correspond au
circuit RLC série du montage n°3.
oscillogramme b : l'intensité initiale est non nulle à la fermeture de
l'interrupteur puis elle diminue jusqu'à s'annuler. Le graphe i(t)
correspond au montage n°1.
En effet , à chaque instant, la loi d'additivité des tensions donne :
E = uAB(t) + uR(t)
Soit E = uAB(t) + R.i(t)
Or à t = 0 s, le condensateur est déchargé (énoncé) donc uAB(0) = 0 V
d'où : i(0) = E / R ( 0 A.
D'autre part, au cours de la charge du condensateur: i(t) = C.[pic].
Lorsque le condensateur est totalement chargé, uAB = E = Cte et donc
i(t) = 0 A.
oscillogramme c : l'intensité initiale est nulle puis elle augmente
jusqu'à atteindre une valeur constante. On observe un retard à
l'établissement du courant caractéristique d'un dipôle RL.
L'oscillogramme c correspond au montage 2. 2. Exemple d'application : flash d'un appareil photographique jetable. 2.1. Identification des courbes 1. Au cours de la charge (1ère phase), la tension uC(t) aux bornes du
condensateur augmente: la courbe II correspond donc à la charge du
condensateur. On remarque que la durée de charge complète est voisine
de 20 s.
Au cours de la décharge (2nde phase), la tension uC(t) aux bornes du
condensateur diminue très rapidement : la courbe I correspond donc à
la décharge du condensateur. 2. On remarque que la décharge complète est voisine de 0,50 ms, ce qui
est très rapide comparativement à la durée de charge complète (environ
20 s).
La phase 1 correspond à la courbe II.
La phase 2 correspond à la courbe I. 2.2. Évolution temporelle du système lors des deux phases On peut utiliser la méthode de la tangente à l'origine des dates.
Courbe I : la tangente à l'origine du graphe coupe l'axe des abscisses
à la date t = (. Graphiquement on vérifie que ((courbe I) ( 0,1 ms =
(I
Courbe II: la tangente à l'origine du graphe coupe la droite uC = 300
V en un point dont l'abscisse correspond à la date t = (.
Graphiquement on vérifie que ((courbe II) ( 3 s = (II
voir courbes page suivante
Les constantes de temps sont :
(II = R.C pour le circuit (R,C) donc R = (II / C , R ( 3 / 100.10-
6 = 30 000 ( = 3.101 k(
(I = r.C pour le circuit (r,C) donc r = (I / C , R (
0,1.10-3 / 100.10-6 = 1 ( . 3. Puissances mises en jeu lors des deux phases 1. La tension maximale aux bornes du condensateur est uC,max = 300 V
d'après la courbe II. 2. L'énergie maximale emmagasinée par le condensateur est : Ec,max = ½.C.
u²C,max
Donc : Ec,max = 0,5 ( 100.10-6 ( 300² = 50.10-6 ( 90 000 = 50.10-
6(9,00.104 = 450.10-2 J = 4,5 J 3. Lors de la phase 1 : (t = 5.(II = 15 s.
On a alors : |(E| = Ec,max - 0 =4,5 J
Et P1 = [pic]= 0,30 W .
Lors de la phase 2 : (t = 5.(I = 0,5 ms = 5.10-4 s
On a alors : I(EI = |0 - Ec,max| = 4,5 J
Et P2 = [pic]= 0,9.104 = 9.103 W.
La puissance moyenne mise en jeu lors de la phase 2 est beaucoup plus
grande que celle mise en jeu lors de la phase 1 (0,30 W contre 9.103
W). En effet, l'échange d'énergie, identique pour les deux phases, se
fait une durée beaucoup plus petite lors de la phase 2 que lors de la
phase 1.
La grande valeur de P2 permet alors d'allumer la lampe pendant un bref
instant et ainsi de produire un flash lumineux rapide.
Pour que P2 soit grande, il faut donc que (t soit petit (à |(E|
constant).
Or comme (t = 5.(I = 5.r.C, il faut donc que r soit petite (avec C
constant). 4. Étude théorique du dispositif utilisé 1. Lors de la charge (K1 fermé et K2 ouvert) , le courant (imposé par le
générateur de tension) circule dans le sens positif indiqué sur le
schéma dans la branche AB. Les électrons circulent dans le sens opposé
au sens conventionnel du courant électrique. Ainsi l'armature A du
condensateur est chargée positivement (car des électrons quittent
cette armature) et l'armature B est chargée négativement (des
électrons s'accumulent sur cette armature).
Ainsi, lors de la phase 1, le courant circule dans le sens positif
choisi.
Lors de la décharge(K2 fermé et K1 ouvert), les électrons circulent
dans de B vers A, à l'extérieur du condensateur. Le courant
transitoire circule dans le sens opposé au sens des électrons donc de
A vers B à l'extérieur du condensateur.
Ainsi, lors de la phase 2, le courant circule dans le sens opposé au
sens positif choisi.
2. Lors de la phase 1 (charge avec K1 fermé et K2 ouvert) on a, d'après
la loi d'additivité des tensions : E = R.i(t) + uC(t)
Or d'après le sens positif du courant choisi: i(t) = [pic] et
qA(t) = C.uC(t)
Donc i(t) = [pic] avec C constante.
En reportant dans la 1ère équation : E = R.C[pic] + uC(t)
Et finalement : [pic] + [pic] avec (II = R.C
Lors de la phase 2 (décharge avec K2 fermé et K1 ouvert)
On conserve le sens du courant choisi comme étant positif.
on a : uC(t) = - ur(t) Donc : uC(t) + r.i(t) = 0 (1)
On a encore : i(t) = [pic]
En reportant dans (1) : uC(t) + r.C[pic] = 0
Et finalement : [pic] + [pic] avec (I = r.C
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ur (I ( 0,1 ms (II ( 3 s i