II. Exercice n°1

ÉPREUVE BLANCHE du DIPLÔME NATIONAL DU BREVET : MATHÉMATIQUES (14 mai 2008)
CORRIGE
Partie Numérique (12 points) 1
1 Calculons A : [pic]
2 Calculons B : [pic]
2
1 [pic]
2 Développons et réduisons D : [pic]
3
1 Développons et réduisons [pic]
2 Factorisons l'expression E : [pic]
3 Calculons E pour [pic] en remarquant que : [pic] [pic] Calculons E pour [pic] à l'aide de la forme développée (c'est plus
simple) : [pic] Partie Géométrique (12 points)
1
1 Le triangle AOC étant rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore on
a : AC² = AO² - OC² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27. AC = [pic]
2 Les droites [pic] et [pic]sont parallèles car elles sont toutes les deux
perpendiculaires, d'après l'énoncé, à une même droite : la droite (EC).
3 Calculons OS et ES : Comme [pic] est parallèle à[pic] et que (EC) coupe
(SA) en O, nous somme dans une situation de Thalès. Le théorème de Thalès
nous dit qu'alors [pic]. Nous avons donc [pic]et par conséquent [pic]
4 Calculons ON sachant que [pic]= 30°[pic]=[pic]
5 Calculons l'angle[pic] :[pic]
6 Déduisons de la question précédente que le triangle SON est rectangle :
7 Les angles [pic] et [pic] sont opposés par le sommet, ils sont donc
égaux. L'angle [pic], qui est constitué des 2 angles adjacents [pic] et
[pic] de mesure 60° et 30°, mesure donc 60 + 30 = 90°. Le triangle SON
est donc rectangle en O.
2
1 Comme M est le milieu de [AC], on a : [pic].
2 Décomposons le vecteur [pic] avec la relation de Chasles, puis remplaçons
[pic]par [pic](égaux d'après 2a)) et[pic] par[pic] (égaux car ABCD est un
parallélogramme) : [pic] :
3 Le point P défini par [pic] est placé de manière à être le 4ème sommet du
parallélogramme MCPD car la définition de P est sous la forme de la règle
du parallélogramme.
4 Le symétrique du triangle ABM par rapport à (AC) est le triangle ADM.
5 L'image du triangle ABM par la translation de vecteur [pic] est le
triangle DCP.
6 Le triangle ABM a pour image le triangle DCM par la symétrie de centre M. III Problème (12 points) III. 1 Oceane étant adhérente au club de voile, elle a déjà payé sa
cotisation annuelle (40 E). Elle devra payer 12 E par journée de
voile car avec une réduction de 20 % le prix de chaque journée
(15 E) devient : [pic]. .III. 2 Pour 5 jours de voile, le tarif A revient à 15×5 = 75E , le tarif B
revient en tout à 40 + 12×5 = 100 E. III. 3 Compléter le tableau suivant en y incluant vos calculs : |Nombre de jours de voile pour la saison |5 |8 |225÷15 = 15 |
|2008 - 2009 | | | |
|Coût avec le tarif A en euros |75 |8×15 = 120 |225 |
|Coût avec le tarif B en euros |100 |40 + 12×8 = |40 + 12×15 = |
| | |136 |220 |
III. 4 a) le coût annuel CA en euros pour un utilisateur ayant choisi le
tarif A : CA = 15×x b) le coût annuel CB en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B :
CB = 12×x + 40 III. 5 Oceane, adhérente au club de voile, a dépensé au total 316 E. Elle a
pratiqué x jours, x vérifiant l'égalité : 12×x + 40 = 316. Cela revient à 12×x = 316 - 40 = 276, et en divisant par
12, on trouve x = 276÷12 = 23. Oceane a donc pratiqué 23 jours. III. 6 Traçons les représentations graphiques des fonctions affines
définies, pour tout nombre x, par[pic] et[pic] III. 7 a) Joe doit venir pratiquer douze journées pendant la saison 2008 -
2009. Le tarif le plus intéressant pour lui est le tarif A (courbe de la
fonction f). On lit et on vérifie par le calcul que f(12) = 180. Joe devra
donc payer 180 E (au lieu de 184 euros avec le tarif B). b) Estelle constate que, pour son séjour, les tarifs A et B n'ont qu'un
euro de différence. Elle prévoit de pratiquer 13 jours car : [pic][pic]
Graphiquement, on voit que pour 13 ou 14 jours, la différence est voisine
de 1. Mais cette différence est de 1 pour 13 jours, 2 pour 14 jours, 4 pour
12 jours, 5 pour 15 jours, etc.