Leçon XIII : SYSTÈMES LOGIQUES COMBINATOIRES (pleine page ...

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Leçon XIII : SYSTÈMES LOGIQUES COMBINATOIRES
(pleine page / avec sommaire)
Cette leçon ne peut avoir l'ambition de se substituer à un cours de
systèmes logiques. Son but est de permettre aux étudiants d'acquérir un
bagage minimum en vue de l'étude des convertisseurs analogique/numérique.
On y présente rapidement les codes binaires, Gray et BCD, à titre
d'introduction générale. On rappelle les opérations et notations logiques
de base, ainsi que les instruments que sont les théorèmes, la table de
vérité et la table de Karnaugh. Nous conseillons au lecteur un ouvrage sur
les systèmes logiques : "Analyse et synthèse des systèmes logiques", [18].

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PLAN DE LA LEÇON XIII

|1. Quelques codes |2. Opérations logiques booléennes|
|1.1. Code binaire pur |de base |
|1.2. Code en complément|2.1. Opération ET (AND) |
|à deux |2.2. Opération OU (OR) |
|1.3. Code Gray |2.3. Opération NON (NOT) |
|1.4. Code BCD |2.4. Opération NON-ET (NAND) |
| |2.5. Opération NON-OU (NOR) |
| |2.6.Opération OU-EXCLUSIF (XOR) |
|3. Logique Combinatoire|4. Exercices / 5. |
| |Corrigés |
|3.1. Définition |4.1. Exercice: Utilisation de |
|3.2. Table de Vérité |portes logiques |
|3.3. Table de Karnaugh |4.2. Exercice: Utilisation de la |
|3.4. Théorèmes logiques|méthode de Karnaugh |


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1. QUELQUES CODES
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1.1. Code binaire pur
1.2. Code en complément à deux
1.3. Code Gray
1.4. Code BCD
1.1. Code binaire pur
* Le binaire pur est le codage en base deux :
[pic]
* Représentation graphique d'un mot binaire :
[pic]
* Taille usuelle des mots binaires :
|Taille du mot |Valeurs en binaire |
|8 bits |0 - 255 |
|16 bits |0 - 65535 (64 K) |
|32 bits |0 - 4294967295 (4096 M) |



Note: En informatique, 1 K =1024.
* Notation hexadécimale :
Avec un mot de 4 bits, on peut compter de 0 à 15, ce que l'on peut noter :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. La notation hexadécimale correspond à
l'utilisation de la base 16. Par exemple : 50E6 (hex) = 20710 (déc)
* Exemple : comptage sur 4 bits :
|Nombre décimal |Nombre binaire |Nombre |
| |pur |hexadécimal |
|0 |0 0 0 0 |0 |
|1 |0 0 0 1 |1 |
|2 |0 0 1 0 |2 |
|3 |0 0 1 1 |3 |
|4 |0 1 0 0 |4 |
|5 |0 1 0 1 |5 |
|6 |0 1 1 0 |6 |
|7 |0 1 1 1 |7 |
|8 |1 0 0 0 |8 |
|9 |1 0 0 1 |9 |
|10 |1 0 1 0 |A |
|11 |1 0 1 1 |B |
|12 |1 1 0 0 |C |
|13 |1 1 0 1 |D |
|14 |1 1 1 0 |E |
|15 |1 1 1 1 |F |




1.2. Code en complément à deux
Ce code sert à représenter des nombres négatifs. Pour cela on utilise le
bit de poids fort pour le signe : "1" pour les nombres négatifs et "0" pour
les nombres positifs. Le codage suivant permet d'additionner des nombres
quelconques, dans les limites de tailles des mots :
|Nombre |Codage en complément |
|décimal |à deux |
|+3 |0 1 1 |
|+2 |0 1 0 |
|+1 |0 0 1 |
|0 |0 0 0 |
|-1 |1 1 1 |
|-2 |1 1 0 |
|-3 |1 0 1 |
|-4 |1 0 0 |



On a pour le codage :
[pic]
Exemple: Additionnons en complément à deux : -3+2= ?
101
010
----
111 --> -1

1.3. Code Gray
Il existe des systèmes, où l'on a avantage à ce que d'une valeur à l'autre,
il n'y ait qu'un seul bit qui varie. Ce n'est pas le cas du binaire, où
pour passer de 1 à 2 par exemple, deux bits changent. Si un capteur produit
une information codée, les transitions ne sont pas simultanées et on peut
lire : 1 (001) ->3 (011) ->2 (010) ou bien:
1 (001) ->0 (000) ->2 (010).
D'où le code Gray :
|Nombre |Codage |
|décimal |Gray |
|0 |000 |
|1 |001 |
|2 |011 |
|3 |010 |
|4 |110 |
|5 |111 |
|6 |101 |
|7 |100 |

1.4. Code BCD.

Le code binaire codé décimal (Binary Coded Decimal) consiste à coder en
binaire chaque digit du code décimal. Par exemple, pour coder le nombre 529
:
529 = 5*100 + 2*10 + 9 (décimal) = 0101 1010 1001 (BCD)
Ce code est pratique pour afficher en décimal des nombres. Voir l'exercice
plus loin.
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2. OPÉRATIONS LOGIQUES
BOOLÉENNES DE BASE
_____________
2.1. Opération ET(AND)
2.2. Opération OU(OR)
2.3. Opération NON (NOT)
2.4. Opération NON-ET (NAND)
2.5. Opération NON-OU (NOR)
2.6.Opération OU-EXCLUSIF (XOR)
2.1. Opération ET (AND)
Symbole électronique :
| [pic] |Fonction logique : |
| | |
|Ecriture: [pic] |a b c |
| |--------------- |
| |0 0 0 |
| |0 1 0 |
| |1 0 0 |
| |1 1 1 |



La porte ET détecte le cas où toutes ses entrées sont à l'état haut (1).

2.2. Opération OU (OR)
Symbole électronique :
| [pic] |Fonction logique : |
| | |
|Ecriture : [pic] |a b c |
| |--------------- |
| |0 0 0 |
| |0 1 1 |
| |1 0 1 |
| |1 1 1 |



La porte OU détecte le cas où toutes ses entrées sont à l'état bas (0).

2.3. Opération NON (NOT)
Symbole électronique :
[pic]
Ecriture: [pic]
Fonction logique :

a b
-------
0 1
1 0

2.4. Opération NON-ET (NAND)

Symbole électronique :
[pic]

Ecriture: [pic]
Fonction logique :

a b c
---------------
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0


2.5. Opération NON-OU (NOR)
Symbole électronique :
[pic]

Ecriture [pic]

Fonction logique :

a b c
---------------
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0


2.6. Opération OU EXCLUSIF (XOR)

Symbole électronique :
[pic]

Ecriture: [pic]
Fonction logique :
a b c
---------------
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

La porte OU EXCLUSIF détecte le cas où ses entrées sont différentes.
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3. LOGIQUE COMBINATOIRE
_____________

3.1. Définition
3.2. Tabled de vérité
3.3. Table de Karnaugh
3.4. Théorèmes logiques
3.1. Définition
Un système logique est dit combinatoire si l'état de sa sortie ne dépend
que de l'état de son entrée. Le système combinatoire ne doit donc pas
présenter de réactions de la sortie sur l'entrée, de sorte à ce que l'état
de la sortie ne dépende pas de l'histoire du système.
A tout instant, on peut représenter logiquement un système combinatoire en
faisant une liste des entrées et des sorties : la table de vérité.
Par exemple, la table de vérité du décodage gray-binaire sur 3 bits est
donnée par :
|Code gray |Code binaire |
|(entrée) |(sortie) |
|000 |000 |
|001 |001 |
|011 |010 |
|010 |011 |
|110 |111 |
|100 |101 |
|101 |110 |
|111 |100 |

3.2. Table de Karnaugh
Cette forme de représentation est utilisée pour trouver une expression
simplifiée d'une fonction logique. Dans le cas d'un système à quatre
variables d'entrée, on crée un tableau à 2 x 4 entrées, puis on regroupe
les termes adjacents.
Par exemple, soit la table de vérité suivante :
|ABCD |E|
|0000 |1|
|0001 |1|
|0010 |0|
|0011 |0|
|0100 |0|
|0101 |1|
|0110 |0|
|0111 |1|
|1000 | |
| |0|
|1001 |0|
|1010 |0|
|1011 |1|
|1100 |0|
|1101 |1|
|1110 |0|
|1111 |1|


La résolution par Karnaugh donne :
[pic]

Notez que les lignes 2,3 et les colonnes 2,3 présentent une variable. C'est
ainsi que le regroupement du centre s'écrit : [pic].
Le regroupement d'en haut à droite représente une simplification moindre
: [pic].
On obtient pour l'expression de la sortie :[pic]

3.3. Théorèmes logiques
Les théorèmes suivants permettent d'effectuer des calculs dans l'algèbre de
Boole :
* Théorèmes de commutativité :


[pic]
* Théorèmes d'idempotence :


[pic]
* Théorèmes des constantes :


[pic]
* Théorèmes de complémentation :


[pic]
* Théorèmes de distributivité :


[pic]
* Théorèmes de De Morgan :


[pic]


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