bac S 2000 - Descartes et les Mathématiques

Bac S 2000 - Liban Exercices : boules et probabilité, complexe, arithmétique - Fonction
composée logarithme et exponentielle Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2000/bac_s_liban_2000.doc BACCALAUREAT GENERAL - Session 2000
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série: S Durée: 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4. EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2
vertes.
Dans les questions 1. et 2. on tire au hasard et simultanément 3 boules de
cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions
irréductibles. 1. Soit les événements suivants :
A : « Les trois boules sont rouges. »
B : « Les trois boules sont de la même couleur. »
C : « Les trois boules sont chacune d'une couleur différente. »
a. Calculer les probabilités p(A), p(B) et p(C).
b. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le
nombre de couleurs obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer E(X). 2. Dans cette question. on remplace les 5 boules rouges par n boules
rouges où n est un entier supérieur ou égal à 2. L'urne contient donc n + 5
boules, c'est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes.
On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les
événements suivants :
D : « Tirer deux boules rouges.»
E : « Tirer deux boules de la même couleur.»
a. Montrer que la probabilité de l'événement D est p(D) = [pic].
b. Calculer la probabilité de l'événement E, p(E) en fonction de n.
Pour quelles valeurs de n a-t-on p(E) ( [pic] ?
EXERCICE 2 ( 5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; [pic],
[pic]).
On considère les points A et B d'affixes respectives i et - i.
Soit f l'application qui à tout point M du plan d'affixe z distincte de - i
associe le point M' d'affixe z' telle que z' = [pic]. 1. Quelle est l'image par l'application f du point O ? 2. Quel est le point qui a pour image par l'application f le point C
d'affixe 1+i ? 3. Montrer que l'équation [pic] = z admet deux solutions que l'on
déterminera. 4. Vérifier que z' = [pic], en déduire OM' = [pic] et :
[pic] = [pic] + [pic] +2k( avec k ( Z. 5. Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images
par l'application f situées sur un même cercle (C) que l'on précisera. 6. Soit M un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et de B,
montrer que son image M' est située sur l'axe des abscisses.
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité 1. Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; [pic],
[pic]) . Soit A et B dans ce plan d'affixes respectives a = 1 + i ; b = - 4
- i. Soit f la transformation du plan (P) qui à tout point M d'affixe z
associe le point M' d'affixe z' tel que
[pic]
a. Exprimer z' en fonction de z. b. Montrer que f admet un seul point invariant ( dont on donnera
l'affixe. En déduire que f est une homothétie dont on précisera le centre
et le rapport. 2. On se place dans le cas où les coordonnées x et y de M sont des
entiers naturels avec 1 ( x ( 8 et 1 ( y ( 8.
Les coordonnées (x', y') de M' sont alors : x' = 3x + 2 et y' = 3y - 1. a. On appelle G et H les ensembles des valeurs prises respectivement par
x' et y'. Écrire la liste des éléments de G et H.
b. Montrer que x' - y' est un multiple de 3. c. Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont
même parité. On se propose de déterminer tous les couples (x', y') de G ( H
tels que m = x'2- y'2 soit un multiple non nul de 60. d. Montrer que dans ces conditions, le nombre x' - y' est un multiple de
6. Le nombre x' - y' peut-il être un multiple de 30 ? e. En déduire que, si x'2- y'2 est un multiple non nul de 60, x' + y'
est multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les
couples (x', y') qui conviennent.
En déduire les couples (x, y) correspondant aux couples (x', y') trouvés.
PROBLEME (11 points) commun à tous les candidats
Partie A - Préliminaires 1. Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur R par g(t)
= e' - t - 1. Quel est le minimum de la fonction g sur R ? 2. En déduire les inégalités suivantes :
a. Pour tout réel t, et ( t + 1, et > t et - te -t > -1.
b. Pour tout réel tel que t > -1, ln(1 + t) ( t. 3. En déduire que pour tout réel x, ln(1 - xe-x) < -xe-x
Partie B - Étude d'une fonction On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x2 - 2 ln(ex - x). 1. Montrer que f(x) = x2 - 2x - 2ln(1 -xe-x). Quelle est la limite de f
en +( ?
On admettra que la limite de la fonction f en - ( est + (. 2. Calculer f '(x) et montrer que f '(x) = [pic]
Dresser le tableau de variation de la fonction f. 3. Dans un repère orthonormal (unité 3 cm), on considère la parabole (P)
d'équation y = x2 - 2x et (C) la courbe représentative de f. Montrer que
(P) et (C) sont asymptotes en + (. Étudier les positions relatives des
courbes (P) et (C).
4. Donner une équation de chacune des tangentes (D) et (D')
respectivement aux courbes (P) et (C) aux points d'abscisse 0.
5. Tracer dans un même repère les courbes (P) et (C) et leurs tangentes
(D)
et (D').
Partie C - Étude d'une intégrale 1. Soit n un entier naturel, on pose un = [pic].
a. Démontrer que la suite u de terme général un est croissante.
b. Calculer un à l'aide d'une intégration par parties.
c. Déterminer la limite de la suite (un). 2. L'aire du domaine (en unités d'aire) limité par les droites
d'équation x = 0, x = n, la parabole (P) et la courbe (C) est définie
par :
In = -2[pic].
a. Montrer en utilisant la question 3. des préliminaires que In ( 2 un.
b. On admet que la suite (In) a pour limite l. Montrer que l ( 2.