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EXERICE III- COUCHER DE SOLEILS SUR TATOOINE (5 points)
1. Les étoiles Tatoo1 et Tatoo2
1.1. Le texte nous dit que la distance entre Tatoo1 et Tatoo2 est
légèrement supérieure à 10 millions de km : on prendra cette valeur par la
suite.
On peut mesurer sur la photo que le diamètre (soit 2 r) d'une étoile est 6
mm et que la distance d entre les étoiles est 19 mm en partant des
« coins » supérieurs gauches. Par proportionnalité : 2 r 6 mm d = 10 Millions de km 19 mm Ainsi : [pic] donc [pic] millions de km.
Ce qui compte tenu du manque de précision peut être effectivement considéré
comme proche de 2 millions de km.
1.2. En supposant que les étoiles ont la même masse volumique que le
Soleil :
[pic] [pic]
Ainsi [pic] = [pic]
Donc [pic]= [pic]
On prend la valeur de 2 millions de kilomètres indiquée.
[pic], soit un ordre de grandeur de 1031 kg.
Le Soleil a une masse MSOLEIL = 2,0 × 1030 kg, ainsi [pic] = 23
Les étoiles TATOO sont environ 23 fois plus massives que le Soleil. 2. Tatooine en orbite
2.1. D'après le texte, « du point de vue de l'étoile, tout se passe comme
si les étoiles ne faisaient qu'une ». On peut remarquer que les 2 étoiles ayant la même masse, il est cohérent de
trouver une masse équivalente qui correspond (environ) au double de la
masse trouvée pour une étoile à la question 1.2. 2.2. 2.3. Méthode 1 : On étudie le système {Tatooine}, de masse MT, dans le référentiel
Tatoocentrique supposé
galiléen. Sa trajectoire est un cercle de rayon : RT.
Le repère d'étude est le repère de Frénet [pic] d'origine le centre de la
planète Tatooine T et de vecteurs unitaires [pic] et [pic].
Tatooine est soumise à la force gravitationnelle exercée par Tatoo1-2 :
[pic].
La deuxième loi de Newton appliquée à Tatooine (avec MT constante) donne :
[pic]
soit [pic] donc [pic]
Dans le repère de Frénet, l'accélération d'un objet en mouvement circulaire
s'écrit :
[pic]
En égalant les deux expressions précédentes de l'accélération, il vient :
[pic] [pic]
Par identification, on a :
Sur [pic]: [pic] (utile pour la question suivante)
Sur [pic] : [pic] alors v = Cte : le mouvement de Tatooine est uniforme Méthode 2 : Deuxième loi de Kepler
Le rayon vecteur [pic] allant du centre T de Tatoo 1-2 au centre O de
Tatooine balaye des surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux. Les aires S1 et S2 sont égales. Pendant la durée ?t,
Tatooine parcourt l'arc [pic] à la vitesse v1
v1 = [pic]
Pendant cette même durée, Tatooine parcourt l'arc [pic] à la vitesse v2
v2 = [pic]
D'après la deuxième loi de Kepler les aires S1 et S2 sont égales alors les
arcs [pic] et [pic] sont égaux.
Donc v1 = v2, le mouvement de Tatooine est uniforme.
2.4. Suite méthode 1 : D'après la question précédente : [pic]
donc [pic] ainsi [pic].
Tatooine ayant un mouvement circulaire et uniforme, elle décrit le
périmètre[pic] pendant la durée d'une période T à la vitesse v telle que :
[pic] donc [pic]
En utilisant l'expression de v précédente : [pic]
[pic]
[pic]
On prend un rayon de 200 millions de km conformément au texte :
[pic]
Une année sur Tatooine ne dure que 0,22 année terrestre. Méthode 2 :
D'après la 3ème loi de Kepler : Le rapport du carré de la période de
révolution par le cube du demi-grand axe de l'ellipse (ici du cube du rayon
du cercle) est une constante qui ne dépend que du centre attracteur (ici
Tatoo 1-2).
[pic]
T = [pic] = [pic]
Calcul voir ci-dessus.
Remarque : en toute rigueur la 3ème loi de Kepler ne donne pas l'expression
de la constante. Compétences exigibles ou attendues : En noir : officiel (Au B.O.)
En bleu : officieux (au vu des sujets de Bac depuis 2013) . Exprimer une masse volumique (2nde)
. Connaître l'expression de la force d'interaction gravitationnelle
(numérique et vectorielle avec un vecteur unitaire à rajouter sur un
schéma).
. Démontrer que, dans l'approximation des trajectoires circulaires, le
mouvement d'un satellite, d'une planète, est uniforme. Établir
l'expression de sa vitesse et de sa période.
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d 2r RT Tatoo 1-2 Tatooine [pic] [pic] RT Tatoo 1-2 Tatooine [pic] [pic] [pic] h_ýh`O 6?OJ[?]QJ[?]^J[?]"jhò_?U[pic]_H[pic]mHnHtH
u[pic]h_ýOJ[?]QJ[?]^J[?]h`O OJ[?]QJ[?]^J[?]hÔIJOJ[?]QJ[?]^J[?]hÔIJ5?OJ[?]QJ[?]
^J[?] EMBED Equation.DSMT4 [pic] O2' Tatoo1-2 O1' O2 O1 [pic] [pic] [pic] [pic] S2 S1