Exercices sur la loi normale - Loire Cambodge

Exercices sur la loi normale


Exercice 1 :
Une entreprise de matériel pour l'industrie produit des modules constitués
de deux types de pièces : P1 et P2.
Une pièce P1 est considérée comme bonne si sa longueur, en centimètres,
est comprise entre 293,5 et 306,5. On note L la variable aléatoire qui, à
chaque pièce P1 choisie au hasard dans la production d'une journée, associe
sa longueur.
On suppose que L suit une loi normale de moyenne 300 et d'écart type 3.
Déterminer, à 10-2 près, la probabilité qu'une pièce P1 soit bonne.

Correction exercice 1 :

L suit une loi normale N(300,3) donc la variable aléatoire T définie par :
[pic]
suit une loi normale centrée réduite N(0,1) il vient :
[pic]
( par symétrie de la loi N(0 ; 1 ) )
su la table on lit :
[pic]
d'ou :
[pic]
La probabilité qu'une pièce P1 soit bonne est de 0,97.

Exercice 2
On suppose que la glycémie est distribuée normalement dans la population,
avec une moyenne de 1 g/l et un écart-type de 0,03 g/l. On mesure la
glycémie chez un individu.
Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit :
a) inférieure à 1,06 ;
b) supérieure à 0,9985 ;
c) comprise entre 0,94 et 1,08

Correction exercice 2


Probabilité de divers intervalles de valeurs de la glycémie.

Notons X la glycémie mesurée sur un individu de la population.
X suit une loi normale N (1,00 ; 0,032). La variable aléatoire centrée
réduite correspondante U = [pic]suit une loi normale N (0 ; 1).

a) P (X < 1,06)

C'est la surface hachurée suivante :
[pic]
La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite donne :
P (X < 1,06 ) = P [pic]U < [pic][pic]= P (U < 2 ) = F ( 2 ) [pic]0,9772
|P (X < 1,06) = |
|0,9772 |


b) P ( X > 0,9985 )

C'est la surface hachurée suivante :
[pic]
La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite donne :
P (X > 0,9985 ) = P [pic]U > [pic][pic]= P ( U > - 0,05 ) = P (U < 0,05 )
P (X > 0,9985 ) = F ( 0,05 ) [pic]0,5199
|P (X > 0,9985) = |
|0,5199 |


.

c) P (0,94 < X < 1,08 )

C'est la surface hachurée suivante :
[pic]
La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite donne :
P (0,94 < X < 1,08 ) = P [pic][pic]< U < [pic][pic]
= F[pic][pic][pic] - F ( - 2 ) = F[pic][pic][pic] - 1 + F ( 2 )
= 0,9962 + 0,9772 - 1 = 0,9734
|P (0,94 < X < 1,08) =|
|0,9734 |






Exercice 3
Une machine automatique fabrique des tubes en série dont le diamètre X
est réparti selon la loi normale de moyenne 20 cm et d'écart-type 1,5
mm.

a) Calculez la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la
fabrication ait un diamètre compris entre 19,75 cm et 20,25 cm.
b) Quel intervalle de centre 20 cm peut-on garantir avec une probabilité
0,95 ?


Correction exercice 3


1°/ Probabilité d'un intervalle.

Désignons par F la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite.
P (19,75 < X < 20,25) = F[pic][pic][pic]- F[pic][pic][pic] =
F[pic][pic][pic] - F [pic]- [pic][pic]
La relation F (- u) = 1 - F (u) entraîne alors :
P (19,75 < X < 20,25) = 2 F[pic][pic][pic] - 1
Or la table de la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite donne :
F [pic][pic][pic]= 0,9522
On en déduit :
P (19,75 < X < 20,25) = 2 × 0,9522 - 1 = 0,9044
|P (19,75 < X < 20,25) =|
|0,9044 |


2°/ Intervalle de sécurité à 95 %.

Un intervalle centré sur m = 20 cm est de la forme m ± u[pic]. Sa
probabilité est :
P (m - u [pic]< X < m + u[pic]) = F (u) - F (- u) = 2 F (u) - 1.
Pour avoir P (m - u [pic]< X < m + u[pic]) = 0,95, il faut prendre u tel
que :
2 F (u) - 1 = 0,95
F (u) = [pic]= 0,975
La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite fournit la valeur :
u = 1,96
L'intervalle [m - u [pic]; m + u[pic]] correspondant est :
[20,00 - 1,96 × 0,15 ; 20,00 + 1,96 × 0,15] = [20,00 - 0,29 ; 20,00 +
0,29].
|L'intervalle de sécurité à 95 % est |
|l'intervalle [19,71 ; 20,29] |


Ce résultat signifie que 95 % des tubes fabriqués ont un diamètre compris
dans cet intervalle. Autrement dit, on est sûr à 95 % que le diamètre d'un
tube pris au hasard dans la production, est dans cet intervalle.




Exercice 4


. Calculer l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire
normale X sachant que :
P (X [pic]2) = 0,5793 et P (X > 5) = 0,2119.





Correction exercice 4


1°/ Traduction de la relation P (X [pic]2) = 0,5793.

Désignons par F la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite.
P (X [pic]2) = 0,5793 [pic]F[pic][pic][pic] = 0,5793
La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite fournit :
F (0,20) = 0,5793
F [pic][pic][pic]= F (0,20)
:
[pic]= 0,20 = [pic]
5 m + [pic]= 10

2°/ Traduction de la relation P (X > 5) = 0,2119.

P (X > 5) = 0,2119 [pic]P (X [pic]5) = 1 - P (X > 5) = 1 - 0,2119 = 0,7881
[pic]F [pic][pic][pic]= 0,7881
Or la table de la fonction de répartition de la variable normale centrée
réduite fournit :
F (0,80) = 0,7881
la relation F[pic][pic][pic] = F (0,80) équivaut à
[pic]= 0,80 = [pic]
5 m + 4 [pic]= 25
3°/ Valeurs de m et [pic].

Le système de deux équations du premier degré :5 m + [pic] = 10 et 5 m +
4 [pic] = 25 a pour unique solution, calculée par soustraction, puis
substitution : m = 1 et [pic] = 5.






Partie du sujet de BTS session 2005

Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la
construction, leur diamètre est exprimé en millimètre.
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont
à arrondi à 10-2 .

Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui ci
appartient à l'intervalle [89,6 ; 90,4].
1. On note X1, la variable aléatoire qui à chaque rondelle prélevée au
hasard dans la production associe son diamètre. On suppose que la variable
aléatoire X1 suit la loi normale de moyenne 90 et d'écart type [pic]= 0,17
Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la
production soit conforme.
2. L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles
: il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les
rondelles. On note D la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée
dans la production future associera son diamètre. On suppose que la
variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne 90 et d'écart type
[pic]1. Déterminer [pic]1 pour que la probabilité qu'une rondelle prélevée
au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit
égale à 0,99.

Correction :

1. La probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production
soit conforme est de 0,98 :
[pic]

2. Calculons [pic]1 pour que cette probabilité soit supérieure ou égale à
0,99 :
[pic]
si nous prenons [pic]1 = 0,15 ,
[pic]
donc on peut donc conserver cette valeur pour [pic]1 ( en prenant [pic]1 =
0,16 on obtient une probabilité plus petite que 0,995 )


Une partie du sujet Bts MAI session 2004
Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques
cylindriques pour l'industrie.
Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres.
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10-2.

Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque
celle-ci appartient à l'intervalle [99,45 ; 100,55].
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans
la production, associe sa longueur.
On suppose que X suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 0,25.
1. Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la
production soit conforme pour la longueur.
2. Déterminer le nombre réel h positif tel que : p (100 - h [pic]X [pic]100
+ h) = 0,95
Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.
Correction :
1.
X suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 0,25 donc la variable
T défini par :
[pic]
suit une loi N (0, 1)
Notons E l'évènement : E : " la tige est conforme "
[pic]( par symétrie de la loi normale centrée réduite N(0,1 ).
sur la table de la loi normale centrée réduit on lit : [pic](2,2) = 0,9861
p(E) = 2 [pic]0,9861 - 1 [pic]0,97.
La probabilité qu'une tige tirée au hasard soit conforme est donc égale à
0,97.
2.
[pic]
si on tire au hasard une tige, il y a 95 % de chance que sa longueur
soit comprise entre 100 - 0,49 mm et 100 + 0,49 mm.



Une partie du sujet de BTS session 2006
Exercice
Une entreprise fabrique des chaudières de deux types :
- des chaudières dites " à cheminée ",
- des chaudières dites " à ventouse ".
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante.

A- Ajustement affine.
Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné
par le tableau suivant :
[pic]
1. A l'aide d'une calculatrice, déterminer :
a. le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de
variable x et y ; arrondir à 10-2 ;
b. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x, sous la
forme y = ax + b, où a sera arrondi à 10-2 et b sera arrondi à l'unité.
2. En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années,
estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l'année de rang 7.

B Probabilité conditionnelles
L'entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600
chaudières à ventouse. Dans ce lot, 1 % des chaudières à cheminée son