Modèle mathématique. - Math93

Chapitre 7 : Statistiques, Probabilités :
- Evaluation des investissements en avenir probabilisable

Tableau synoptique : Rappels de statistiques et probabilités

|Statistiques |Probabilité |
|Définition : Pour simplifier disons que la probabilité qu'un évènement noté |
|(X=xi) se réalise est le nombre |
|P(X=xi) avec P(X=xi) ( [0 ;1]. |
|Pour une définition mathématiquement rigoureuse voir la remarque en fin de |
|paragraphe |
|Définition |
|Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes ssi P = |
|P(X=x)(P(Y=y) |
|Moyenne arithmétique |Espérance mathématique |
| | |
|Définition : |Définition |
|= ( ? ni( xi) | |
|Propriétés |Propriétés |
| | |
|= a |E(aX) = a E(X) |
|= a + b |E(aX+b) = a E(X) + b |
|= + |E(X + Y) = E(X) + E(Y) |
|Covariance |Covariance |
| | |
|Définition : |Définition : |
|? (xi - )(yi - ) ) |)) |
|? xiyi - ) | |
|Variance |Variance |
|Définition |Définition |
|? nixi² - ²) |V(X) = E = E(X²) - E(X)² |
| | |
|Propriétés |
|V(aX) = a²V(X) |
|V(aX+b) = a²V(X) |
|Si X et Y indépendants alors : V(X + Y) = V(X) + V(Y) = V(X-Y) |
|Cas général : |
|V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y) |
|V(X-Y) = V(X) + V(Y) - 2 cov(X,Y) |
|Ecart-Type |
|Définition : ) |
|Propriétés |
|((aX) = |a| ((X) |
|((aX+b) = |a| ((X) |



Remarque : (Pour les matheux)

. Définitions : Soit ( un ensemble fini et P (() l'ensemble des parties
de (.
o Le couple est appelé espace probabilisable.
o Les éléments de P (() sont appelés évènements.
o Les singletons {( } sont les évènements élémentaires.


. Définition :
On appelle probabilité définie sur l'espace probabilisable toute
application P de P (() dans [0,1] vérifiant les 2 axiomes :
1. P (() = 1
2. Pour toutes parties A et B de P (() telles que A(B = ( , P(A(B) =
P(A) + P(B).
Le triplet et est appelé espace probabilisé fini.




Caractérisation
En investissement, l'avenir probabiliste est une situation dans laquelle
il est possible de déterminer toutes les valeurs que peut prendre le cash-
flow relatif à un exercice donné et d'affecter une probabilité à chacune
de ces valeurs. Ce cash-flow devient une variable aléatoire (X) dont on
connaît la loi.


I - Le critère « espérance variance »

On peut alors calculer l'espérance de la VAN, sa variance et son écart-
type.
. E(VAN) : évalue la rentabilité.
. V(VAN) et (VAN donnent la mesure du risque.


En pratique on ne retient que 3 hypothèses (optimiste, moyenne et
pessimiste).


1. Exemple 1
On considère deux projets de capital investi 100 (en milliers) et d'une
durée de 3 ans.
Chaque cash-flow a fait l'objet de 3 évaluations.
On suppose que les cash-flows sont indépendants et que le coût du capital
est de 10%.
[pic]
|(en |Année 1 |Année 2 |Année 3 |
|milliers) | | | |
|Projet 1 |C1 |P(C1) |C2 |P(C2) |C3 |P(C3) |
| |30 |0.3 |50 |0.4 |40 |0.4 |
| |62 |0.5 |80 |0.4 |50 |0.2 |
| |90 |0.2 |100 |0.2 |120 |0.4 |












. Calcul de la VAN1 : VAN1 = C1(1.1 - 1 + C2(1.1 - 2 + C3(1.1 - 3 -
100 (en milliers)
Les cash-flows Ci sont des variables aléatoires, donc la VAN est une
combinaison linéaire de variables aléatoires, c'est donc elle-même une
v.a.


. Calcul de l'espérance de la VAN1 et de la variance


E(VAN1) = E(C1)(1.1 - 1 + E(C2)(1.1 - 2 + E(C3)(1.1 - 3 - 100


V(VAN1) = V(C1)(1.1 - 2 + V(C2)(1.1 - 4 + V(C3)(1.1 - 6




o "A la main"


|C1 |P(C1) |C1(P(C1) |C1² |C1²(P(C1) |
|60 |0.3 |18 |3600 |1080 |
|70 |0.4 |28 |4900 |1960 |
|80 |0.3 |24 |6400 |1920 |
|Somme |70 | |4960 |
| |Espérance | | |


; V(C1) = ? C1²(P(C1) - ² = 4 960 - 70² = ))


|C2 |P(C2) |C2×P(C2)|C2² |C2²×P(C2|
| | | | |) |
|50 |0.4 |20 |2500 |1000 |
|60 |0.3 |18 |3600 |1080 |
|70 |0.3 |21 |4900 |1470 |
|Somme |59 | |3550 |
| |Espéranc| | |
| |e | | |
| | | | | |
|Espérance (C2) |59 | | | |
|= | | | | |
|Variance (C2) =|69 | | | |


|C3 |P(C3) |C3×P(C3)|C3² |C3²×P(C3|
| | | | |) |
|60 |0.4 |24 |3600 |1440 |
|60 |0.3 |18 |3600 |1080 |
|70 |0.3 |21 |4900 |1470 |
|Somme |63 | |3990 |
| |Espéranc| | |
| |e | | |
| | | | | |
|Espérance |63 | | | |
|(C3) = | | | | |
|Variance (C3)|21 | | | |
|= | | | | |


Donc
E(VAN1) = E(C1)(1.1 - 1 + E(C2)(1.1 - 2 + E(C3)(1.1 - 3 - 100
E(VAN1) = 70(1.1 - 1 + 59(1.1 - 2 + 63(1.1 - 3 - 100


V(VAN1) = V(C1)(1.1 - 2 + V(C2)(1.1 - 4 + V(C3)(1.1 - 6





o Utilisation de la calculatrice
La plupart des calculatrices calculent cela. Pour cela sélectionnez le
menu STAT - 2 VAR puis entrez les données dans le tableau et tout se
calcule automatiquement.
Avec la HP 10BII, par exemple pour le calcul de C1
. CL ?
. 60 INPUT 0.3 ?+
. 70 INPUT 0.4 ?+
. 80 INPUT 0.3 ?+
. , ? donne la moyenne donc l'espérance : 70
. (x(y ? donne l'écart type : 8.1650 et donc V(C1) = 8.1650²
? 66.7 ( problème !!)




Exercice 1: Evaluation des investissements en avenir incertain


Calculer E(VAN2) , V (VAN2) et (VAN2 et comparer les projets de l'exemple 1
du Chapitre 7

|Projet 2 |
|C'1 |P(C'1) |C'1×P(C'|C'1² |C'1²×P(C|
| | |1) | |'1) |
|30 |0.3 |9 |900 |270 |
|62 |0.5 |31 |3844 |1922 |
|90 |0.2 |18 |8100 |1620 |
| | | | | |
|Somme |58 | |3812 |
| |Espéranc| | |
| |e | | |
| | | | | |
|Espérance C1|58 | | | |
|= | | | | |
|Variance C1=|448 | | | |
|Ecart type |21.166010| | | |
|C1= |5 | | | |
| | | | | |
|C'2 |P(C'2) |C'2×P(C'|C'2² |C'2²×P(C|
| | |2) | |'2) |
|50 |0.4 |20 |2500 |1000 |
|80 |0.4 |32 |6400 |2560 |
|100 |0.2 |20 |10000 |2000 |
| | | | | |
|Somme |72 | |5560 |
| |Espéranc| | |
| |e | | |
| | | | | |
|Espérance C2|72 | | | |
|=