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|Chapitre 1 |Equations et inéquations du second degré |
I. Equations du second degré
A] Quelques définitions
Définitions :
Soient a, b et c trois réels avec a 0.
. La fonction f définie sur par f(x) = ax2 + bx + c est appelée
fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme.
. l'expression ax2 + bx + c est appelée trinôme (ou polynôme du second
degré).
. toute équation de la forme ax2 + bx + c = 0 ( a 0) est appelée
équation du second degré.
. un nombre x0 tels que ax02 + bx0 + c = 0est dit solution de l'équation
ou racine du polynôme ax2 + bx + c.
Exemples :
La fonction carrée définie dans par f(x) = x2 (a = 1, b = 0, c = 0) est
une fonction polynôme du second degré.
La fonction f , définie sur par f(x) = 2x2 - 5x + 12 - 2(x + 2)2 n'est pas
une fonction polynôme du second degré car pour tout x de , f(x) = - 13x + 4
(fonction polynomiale du 1er degré).
La fonction f définie sur par f(x) = x2 - x - est une fonction polynôme
du second degré ( a = , b = et c = - ).
B] Forme canonique
Prenons un exemple :
2x2 + 6x + 1 = 2 )
Or x2 + 3x = ) - )
= ) -
Donc, 2x2 + 6x + 1 = 2 ) - + ) = Ceci est la forme canonique du trinôme 2x2 + 6x + 1
Cas général :
Soient a, b et c trois réels, a étant non nul.
Pour tout réel x, on a : ax2 + bx + c = a ) - )
Cette écriture s'appelle forme canonique du polynôme. Démonstration :
Pour tout réel x, on a : ax2 + bx + c = a(x2 + x + )
= a ) - + )
= a ) - ) .
Exercice 1p43.
C] Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0 (avec a 0)
Résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0 revient à résoudre l'équation a ) - )
= 0 (1)
Définition :
Le nombre réel ( = b2 - 4ac est appelé le discriminant du trinôme ax2 + bx
+ c.
On a donc, a ) - ) = a ) - )
L'équation (1) devient : ) - = 0 car a 0
c'est-à-dire : ) =
. Si ( < 0, < 0, et l'équation n'admet aucune solution
. Si ( = 0, l'équation devient : ) = 0, soit x = - ((x - 5)2 = 0 par
exemple), l'équation admet une seule solution (appelée solution
double)
. Si ( > 0 , l'équation ) - = 0 devient : ) - ;2a))) ) + ;2a))) = 0.
Alors - ;2a)) = 0 ;ou ;x + + ;2a)) = 0)) soit : ;2a)) ;ou ;x2 =
;2a)))) l'équation admet deux solutions.
Théorème :
L'équation ax2 + bx + c = 0 admet :
. aucune solution si ( < 0.
. une seule solution x = - si ( = 0.
. deux solutions x1 = ;2a)) et x2 = ;2a)) si ( > 0.
D] Quelques exemples
Résoudre dans les équations suivantes :
3x2 - 12x + 12 = 0. (( = 0, x1 = 2).
2x2 + 5x + 12 = 0. (( < 0).
-5x2 + 35x - 50 = 0. (( > 0, x1 = 2, x2 = 5).
Remarque :
Certaines équations du second degré ne nécessitent pas le calcul du
discriminant (il est fortement déconseillé de le faire).
Par exemple, pour les équations telles que x2 - 2 = 0, ou x2 - 3x = 0, il
est préférable de factoriser l'expression, puis d'utiliser le théorème : XY
= 0 SSI X = 0 ou Y = 0.
Exercices 69, 70, 74, 77p46.
Exercices 51, 52p45.
Exercice 86, 90, 92, 97p47.
II. Factorisation du trinôme ax2 + bx + c
On sait que ax2 + bx + c = a ) - ) avec a 0
. Si ( < 0, on a < 0 ; on ne peut pas factoriser.
. Si ( = 0, on a ax2 + bx + c = a ), forme factorisée.
. Si ( > 0, on a a ) - ) = a ) - ;2a))) ) + ;2a)))
=a ;2a))) ;2a)))
= a(x - x1)(x - x2)
Théorème :
. Si ( < 0, ax2 + bx + c n'est pas factorisable (dans ).
. Si ( = 0, ax2 + bx + c = a )).
. Si ( > 0, ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) où x1 et x2 sont les
solutions de l'équation
ax2 + bx + c = 0.
Exemples :
Factoriser les polynômes suivants :
3x2 - 9x + 6 ( = 3 (x - 1) (x - 2)).
x2 + 4x - 32 ( = (x - 4) (x + 8)).
+ x + 5 ( = (x + 5) ( x + 2)).
x2 - 3x + (= (x - 2) ( x - 3)).
Exercices 3, 4p43.
Exercices 43, 45, 48p45.
Exercices 65, 66p46.
III. Signe de ax2 + bx + c. Soit ax2 + bx + c (avec a 0) un polynôme du second degré. Le but de ce
paragraphe est de déterminer le signe de ce polynôme en fonction des
valeurs de x. Théorème :
Soit f(x) = ax2 + bx + c (avec a 0) un polynôme du second degré.
Alors :
lorsque ( < 0, f(x) est toujours du signe de a,
lorsque ( = 0, f(x) est toujours du signe de a (sauf lorsque x = , auquel
cas f(x) = 0)
lorsque ( > 0, f(x) est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines
auquel cas f(x) et a sont de signes contraires. Démonstration :
. Si ( < 0,
ax2 + bx + c = a ) - )
0 > 0 > 0
On en déduit que ax2 + bx + c est du signe de a. . Si ( = 0,
ax2 + bx + c = a ) 0
ax2 + bx + c s'annule pour x = et ax2 + bx + c est du signe de a pour
tout x . . Si ( > 0, ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) où x1 = ;2a)) et x2 = ;2a)) Supposons que x1 < x2 |x |- |x1 |x2 |
| | | |+ |
|x - x1 |- |0 |+ |
| | |+ | |
|x - x2 |- |- |0 |
| | | |+ |
|a(x - x1)(x -|+ |0 |0 |
|x2) | |- |+ |
|avec a > 0 | | | |
|a(x - x1)(x -|- |0 |0 |
|x2) | |+ |- |
|avec a < 0 | | | | Exemple :
Etudier le signe de A(x) = x2 - 4x + 1 et résoudre l'inéquation x2 - 4x + 1
0 , 2 + ]).
Exercices 55, 58, 60, 63, 64p46.
Exercices 80, 84, 85p47.
IV. Tableau récapitulatif et signe du trinôme Le signe du trinôme ax2 + bx + c, avec a 0, se déduit de la position de
courbe représentative par rapport à l'axe des abscisses.
|Discriminant | | | |
|( = b2 - 4ac |( < 0 |( = 0 |( > 0 |
| | | |Deux solutions |
| | | |distinctes : |
|Solutions de | |Une solution : |x1 = ;2a) )) |
|l'équation |Pas de solution |( = - )) | |
|ax2 + bx + c = 0 | |(solution double) |x2 = ;2a) )) |
| | | | |
|Factorisation de |Pas de factorisation|P(x) = a(x - ()2 |P(x) = a(x - x1)(x -|
|P(x) | | |x2) |
| | | | |
| |[pic] |[pic] |[pic] |
| | | | |
|a > 0 |x |x ( |x x1 |
| | | |x2 |
| |P(x) + |P(x) + 0 +| |
|Position de la | | |P(x) + 0 - |
|parabole par | | |0 + |
|rapport à l'axe | | | |
|des abscisses |[pic] | | |
| | |[pic] | |
|Signe de P(x) | | |[pic] |
| |x | | |
| | |x ( | |
| |P(x) - | |x x1 |
| | |P(x) + 0 +|x2 |
| | | | |
| | | |P(x) - 0 + |
|a < 0 | | |0 - |
| | | | |
Exercices 101, 102, 103, 105, 106p48.
Exercice 112p49. V. Somme et produit des racines
Théorème :
Soit ax2 + bx + c (a 0) un polynôme du second degré. Si ce polynôme admet
deux racines x1 et x2 (éventuellement égales) alors ;et ; x1x2 = )) Démonstration :
On pose x1 = ;2a)) et x2 = ;2a)) (( > 0 par hypothèse).
Alors ;et ; x1x2 = )) Remarque :
Ces formules peuvent se révéler très pratiques :
On va factoriser le trinôme A(x) = 7x2 - 5x - 2.
On remarque que x1 = 1 est une racine évidente de A(x) car A(1) = 0. A(x)
est donc factorisable
par (x - 1).
Le produit des racines est x1x2 = . On peut alors écrire A(x) = 7(x - 1)). Problème :
Soient S et P deux réels donnés.
Existe-t-il deux réels u et v tels que : ?
Si oui, comment les calcule-t-on ?
Calculons (x - u)(x - v) = x2 - (u + v)x + uv. Or
(x - u)(x - v) = 0 SSI x = u ou x = v
SSI x2 - (u + v)x + uv = 0 Si u et v sont deux nombres réels tels que u + v =S et uv = P, alors ils
sont solutions de
x2 - Sx + P = 0.
Si u et v sont solutions de l'équation x2 - Sx + P = 0 alors u + v = S et
uv = P. Théorème :
Deux nombres réels ont p