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MATHEMATIQUES / SES
Cours commun LES COÛTS PREMIERE PARTIE (SES) (fiche enseignant) : Présentation des coûts de
production, calculs numériques et analyse graphique 1- Les coûts - Coût total : Dépenses engagées par l'entreprise pour réaliser un
certain volume de production. Certains coûts (coûts fixes) sont
indépendants des quantités produites (loyer par exemple). D'autres
(coûts variables) varient avec le volume de production
proportionnellement (matières premières, énergie...) ou non (travail).
- Coût unitaire : coût moyen par produit (coût total / quantités
produites). On calcule également des coûts fixes moyen (qui diminuent
lorsque la quantité produite augmente) et des coûts variables moyens
décroissants puis croissants : l'entreprise a conçu son organisation
pour un certain volume de production. En dessous, des moyens de
production (hommes et machines) sont sous-employés. Au-delà,
l'entreprise est inadaptée (appel à des sous-traitants, à de la main
d'?uvre intérimaire...)
- Coût marginal : mesure du coût du dernier produit fabriqué. Cela
permettra de définir pour quelle quantité le prix du produit devient
inférieur au coût. 2- Calcul numérique (exercice d'application) Cf ci-dessous (corrigé : en italiques et à droite) 1.3- Détermination graphique du profit. - La courbe de coût marginal coupe la courbe de coût total moyen en son
minimum. Pour cette quantité produite, le coût unitaire est le plus
faible (l'organisation productive de l'entreprise a été conçue pour ce
volume de production).
- Mais l'entreprise continue de réaliser des profits au-delà de ce
volume (tout dépend du prix de vente du produit). Tant qu'un produit
supplémentaire a un coût inférieur au prix, l'entreprise fait des
profits.
- Lorsque le coût devient supérieur au prix, l'entreprise perd de
l'argent. Donc lorsque le coût marginal est égal au prix l'entreprise
a déterminé la quantité produite maximale (B)
- Cela permet de connaître la quantité produite, le coût unitaire
correspondant à ce volume de production et donc le profit unitaire
(différence entre le prix et le coût unitaire) (C). On peut ainsi
calculer le profit total : profit unitaire x quantités produites,
représenté par le rectangle A B C D. Objectifs SES : - Comprendre les notions de coût total, moyen et marginal.
- Comprendre l'utilité du coût marginal
- Introduction simple (caricaturale ?) au calcul économique pur. Objectifs maths ( ?) : - Montrer l'intérêt de l'instrument mathématique pour rendre plus aisé
et plus précis ce calcul.
- Utilisation de la dérivée ? Exercice |Quantités |Coûts |Coûts |Coût total |Coût moyen |Coût |
|produites |fixes |variables |(2)+(3) |(4)/(1) |marginal |
|(1) |(millions |(millions |(4) |(5) | |
| |d'E) |d'E) | | |(6) |
| |(2) |(3) | | | |
|0 |400 | |400 |- |- |
|10 |400 |110 |510 |51 |11 |
|20 |400 |220 |620 |31 |11 |
|30 |400 |320 |720 |24 |10 |
|40 |400 |400 |800 |20 |8 |
|50 |400 |500 |900 |18 |10 |
|60 |400 |620 |1020 |17 |12 |
|70 |400 |790 |1190 |17 |17 |
|80 |400 |1040 |1440 |18 |25 | Travail à faire :
a) Remplissez le tableau en faisant les calculs adéquats
b) Représentez graphiquement le coût moyen et le coût marginal.
c) Quelle signification peut avoir le point d'intersection entre les deux
courbes ?
d) Tracez la droite de prix (prix = 20 E) ; Quelle est la quantité pour
laquelle le profit unitaire est le plus élevé ? Quelle est la quantité
que l'entreprise a intérêt à produire pour obtenir le profit global
maximum ?
(démonstration faite par le prof, si le temps est limité)
LES COUTS
Fiche enseignant DEUXIEME PARTIE (mathématiques) : justifications de quelques résultats
annoncés L'entreprise KOULP fabrique une pièce pour des moteurs de tracteurs. Après
étude de la production sur plusieurs semaines, on sait que
. pour x pièces produites en une journée, le coût total de production (
en euros) est donné par :
CT(x) = x2 + 30x + 400
. x appartient à l'intervalle [0;50] 1. Calculer le montant des coûts fixes.
2. On définit le coût marginal, noté CM, au rang x par : CM(x) = CT(x+1) -
CT(x)
a) En utilisant la définition de CT, montrer que CM(x) = 2 x + 31
b) Déterminer C'T(x).
c) Calculer pour tout x de l'intervalle [0;50], C'T(x) - CM(x)
En économie, le coût marginal est à peu près égal à la dérivée du coût
total
c'est-à-dire CM(x) ? C'T(x). Dans la question suivante, nous allons justifier l'affirmation « la courbe
du coût marginal coupe la courbe du coût moyen en son minimum ». 3. Le coût moyen pour x pièces produites est donnée par : M(x) =
a) Expliciter M(x) pour tout x de [0;50].
b) Montrer que M'(x) =
c) Etudier le signe de M'(x) sur [0;50], puis dresser le tableau des
variations de la fonction M sur [0;50].Pour quelle valeur de x la fonction
M atteint-elle son minimum ? d) Résoudre CM(x) = M(x). Interpréter le résultat. Remarque : On sait montrer que pour tout x> 20, CM(x) > M(x). Chaque composant est vendu 80E.On note B(x) le bénéfice réalisé pour x
composants vendus ( on suppose que la production journalière est vendue). 4 . a) Montrer que B(x) = - x2 + 50 x - 400.
b) Montrer que la fonction B atteint son maximum en x0 = 25.
c) Calculer CM(25). On retiendra que lorsque le coût marginal est égal au prix de vente, on
obtient la quantité maximale à produire.
Ainsi on peut calculer le profit maximal sans avoir à connaître la formule
de B(x).
Bmax = 25×(80- M(25)) Preuve : Bmax =B( 25) = 25×80- CT(25)
Or M(25) = donc CT(25) = 25× M(25)
Ainsi Bmax = 25×80-25× M(25)) = 25×(80- M(25))