BACCALAUREAT Général

Nouvelle Calédonie
16 Novembre 2005 BACCALAUREAT Général MATHEMATIQUES
Série S
Corrigé de l'exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES ( 5 points )
1) zA' = 0 ; z B' = + i ; zC' = - 2 - i
2) z' = x' + i y' = [pic]
D'où Re(z') = x' = = x - y et Im(z') = y ' = = x - y 3) M est invariant par f ( f(M) = M ( M = M' ( z' = z (
( [pic] ( x = 2y ( y = x ( M appartient à la droite (D)
d'équation y = x
Remarque : A', B' et C'appartiennent à la droite (D)
4) D'après 2) on remarque que pour M quelconque, on a y' = x' donc que
M'appartient toujours à la droite (D).
5) a) = [pic] = [pic] = [pic] = + i Or z + = 2x et z - = 2iy donc i(z-) = -2y et enfin = - y est donc
un nombre réel.
b) alors ( pour z' ( z ) on a z' - z = k zA avec k réel donc les
vecteurs et sont colinéaires , les droites (MM') et (OA) sont
parallèles. 6) Si N appartient à (D) alors N'= N (d'après question 3 )
Si N n'appartient pas à (D) alors N' est à l'intersection de la droite (D)
et de la parallèle à (OA) passant par N.(d'après questions 4 et 5b ). Corrigé exercice 2 : SUITE et INTEGRALES ( 5 points) 1) a) u2 = u1 + = 1+ = ; u3 = u2 + = + = ; u4 = u4
+ = + =
b) Démonstration par récurrence de la propriété Pn : un = ) pour n entier
naturel non nul
Initialisation : P1 : u1 = 1 = )
Hérédité : on suppose Pn vraie, montrons que Pn+1 est vérifiée.
un+1 = un + = ) + = ) CQFD
Conclusion : P1 est vrai et la propriété Pn est héréditaire, donc, pour
tout entier naturel n non nul, on a un = )
2) a) on a x ( [k ; k+1] ; k ( x ( k+1
la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; + ? [ alors
( (
L'intégrale conserve l'ordre donc ( (
alors )\o(\s\up13( k + 1 );\s\do10( k)) ( ( )\o(\s\up13( k + 1
);\s\do10( k)) et ( ( b) On a ln n = ln n - ln 1 = =
Relation de Chasles : ln n = = [pic]
Somme pour k variant de 1 à n-1 de la relation 2a)
[pic] ( [pic] ( [pic] et d'après la relation 1 b ) [pic] = un -
1 et
[pic] = un - d'où la relation : un - 1 ( ln n ( un - Or vn = un - ln n d'où - un + ( - ln n ( -un +1 et
alors 0 ( ( vn ( 1 3) a) ln(n+1) - ln(n) = et un+1 - un = par hypothèses
Alors vn+1 - vn = un+1 -ln(n+1) -un + ln(n) = - pour n entier naturel
non nul.
b) On applique la relation démontrée au 2a) pour k = n on a ( alors
vn+1 - vn ( 0 donc la suite (vn ) est décroissante.
4) La suite (vn ) est décroissante et minorée par 0 donc elle est
convergente. vn = [pic]
vn = un - ln(n) alors un = vn + ln(n) et un = vn + ln(n) = + ?
Corrigé de l'exercice 3 : PROBABILITES ( 5 points ) Partie I
Propriété : A et B indépendants équivaut à P(A ( B ) = P(A) × P(B)
Formule des probabilités totales : P(A) = P(A ( B) + P (A ( )
Alors P(A ( ) = P(A) - P(A (B) = P(A) - P(A) × P(B) = P(A) ×( 1 - P(B)
) = P(A) × P() ce qui prouve que les événements A et sont indépendants . Partie II : Réponses D , B , B , B Corrigé de l'exercice 4 : FONCTION TRIGONOMETRIQUE ( 5 points ) 1) Trigonométrie dans le triangle ABD rectangle en B : cos [pic][pic] =
et sin [pic] =
Donc AD = [pic] et CD = CB + BD = 7 + 4 AD sin [pic] = 7 + 4 tan [pic] t1 = temps en heure = distance (en km) / vitesse (en km/h) = = [pic]
t2 = = [pic] 2) le lapin traverse la route avant le passage du camion s'il met moins de
temps pour arriver en D donc si t1 < t2 , c'est-à-dire si [pic] < [pic]
en multipliant par 30 × 103 on a :
[pic] < [pic] d'où f([pic]) > 0.
3) Conclusion : cherchons quand on aura f([pic]) > 0 pour [pic] ( [0 ; [
f ' ([pic])= [pic] or cos² [pic]>0 donc f ' est du signe de 1 - 2 sin
[pic]. 1-2sin[pic] > 0 ( sin [pic] < ( sin [pic] < sin ( [pic] < car sinus
est une fonction croissante sur [0 ; [ Donc la fonction f est strictement croissante sur [0 ; ?/6] et strictement
décroissante sur [ ; [ et
f( ) = [pic] > 0 donc il existe deux réels a et b de [0 ; [ tels que a<
0 sur ] a ; b[ avec a ( 0.395 et b ( 0.644.
Le lapin traversera la route sans se faire tuer par le camion si [pic] (
ou [pic] (] a ; b[