Sans utilisation des TICE

Sans utilisation des TICE
TYPE D'ACTIVITÉ PÉDAGOGIQUE :
Introduction d'une notion. THÈME :
La notion de racine carrée d'un nombre positif. NIVEAU :
3ème. CE DOSSIER COMPREND :
2 pages d'exercices. TRAVAIL DEMANDÉ : 1. Proposer une situation d'enseignement permettant d'introduire la notion
de racine carrée d'un nombre positif en partant d'un cadre géométrique.
Indication : Ici nous pensons aux situations s'inspirant de la figure
[pic]
= BH[pic]CH. 2. Donner des activités ayant pour objectif l'introduction des propriétés
des racines carrées. Proposer des exemples et des contre-exemples. 3. Donner une série d'exercices (avec leur corrigé) illustrant les
propriétés des racines carrées et mettant en ?uvre différentes
transformations d'écriture. (On pourra, mais ce n'est pas une obligation,
emprunter ces exercices au dossier fourni en annexe.) 4. Proposer un problème de recherche (avec le corrigé) ayant pour objectif
de faire la synthèse des différents acquis. Justifier votre choix. SUR LA FICHE D'EXPOSÉ, ON INDIQUERA : Le plan de la situation proposée en 1. et deux exercices avec leur corrigé,
choisis pour répondre à la question 3. 1. Proposer une situation d'enseignement permettant d'introduire la notion
de racine carrée d'un nombre positif en partant d'un cadre géométrique.
Indication : Ici nous pensons aux situations s'inspirant de la figure
[pic]
= BH[pic]CH. Le parti pris ici est de proposer une séquence d'enseignement dans laquelle
on « travaille » des problèmes de constructions à la règle et au compas.
Les deux premières questions visent à faire effectuer des constructions que
les élèves ont pu déjà rencontrer. La troisième question est directement
liée à l'intervention de la racine carrée comme outil permettant de
réaliser une construction. On considère les deux segments dessinés ci-dessous qui ont respectivement
pour longueur 2 et 5 (unité de longueur = 1 cm). Le but est de construire
en utilisant seulement la règle non graduée et le compas certains segments
dont les longueurs l sont définies à partir des longueurs des segments
précédents. Dans chacun des cas, on donnera la liste des constructions à
réaliser comme si les constructions devaient être réalisées par une
machine. On effectuera ensuite les constructions sur des schémas
différents. 1. Décrire et effectuer les constructions dans les cas suivants.
a. l = 7 ;
b. l = 3.
2. Reporter deux segments de longueurs 2 et 5 ayant même origine O et
appartenant à des droites sécantes en O. On note A et B tels que OA = 2 et
OB = 5. Construire un segment de longueur l = )).
3. On admettra que dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, le pied
de la hauteur issue de A vérifie = BH.CH. Que vaut alors AH si BH = 2 cm
et CH = 5 cm ?
a) Justifier que le point A appartient à un cercle que l'on précisera.
b) En déduire une construction d'un triangle rectangle en A tel que BH.CH =
10 cm.
c) Construire un segment de longueur cm. 2. Donner des activités ayant pour objectif l'introduction des propriétés
des racines carrées. Proposer des exemples et des contre-exemples. Propriétés à illustrer : pour tous a et b 0
. . = .
. ;) )) = ))).
. [pic] + ; [pic] - .
. ) = a et )2) = a.
On peut proposer de tester toutes ces formules sur des couples de nombres
d'ordre de grandeurs très différentes en laissant les élèves utiliser leur
calculatrice. En résumé, il s'agira de distinguer les formules justes des
fausses. Pour cette question, je vous renvoie aux suggestions d'exercices proposés
par vos camarades pendant la séance du mercredi 8 février.
3. Donner une série d'exercices (avec leur corrigé) illustrant les
propriétés des racines carrées et mettant en ?uvre différentes
transformations d'écriture. (On pourra, mais ce n'est pas une obligation,
emprunter ces exercices au dossier fourni en annexe.) Si on utilise les énoncés donnés en annexe, je vous propose les exercices
suivants. Mais, ici aussi, les propositions faites par vos camarades lors
de la présentation sont parfaitement acceptables. 34. et 35. Pour apprendre à repérer des carrés parfaits sous un radical et
réduire les écritures. 41. Idem, avec en plus la gestion des multiplications et 55 pour introduire
les propriétés relatives aux quotients.
4. Proposer un problème de recherche (avec le corrigé) ayant pour objectif
de faire la synthèse des différents acquis. Justifier votre choix. La proposition faite en séance me paraît un peu courte, je vous propose une
activité de recherche plus étoffée et d'inspiration « TICE » -ce qui, je
vous le rappelle, n'est pas écarté par le jury même dans un sujet « non
TICE ». [pic] Le carré OBCD a 10 cm de côté et E est un point de la diagonale [BD]. La
perpendiculaire à (BD) en E coupe les droites (OB) et (BC) en G et H
respectivement.
On suppose que le quart de cercle de centre D et de rayon DE reste
intérieur au carré et que le triangle BGH reste aussi intérieur au carré.
On désigne par x la longueur du segment [DE].
1. Préciser les valeurs possibles de x.
Le rayon du cercle doit rester inférieur au côté qui vaut 10, donc x [0 ;
10] mais si x < une demi-diagonale le triangle « sort » du carré. Il en
résulte que x [5 ; 10].
2. Justifier que le triangle BGH est isocèle rectangle en B. En déduire son
aire en fonction de x. On donnera une expression développée et ordonnée en
x.
La droite (BD) est la diagonale du carré donc chacun des angles en B vaut
)) et les triangles BEG et BEH sont des triangles rectangles isométriques
(ASA) et BH = BG. L'aire du triangle est donc égale à )). Mais = = 2
-x)2). d'où : Aire(BEG) = -x)2) = - 20x + 200.
3. Déterminer en fonction de x, l'aire du quart de cercle, noté Q, de
centre D et de rayon DE inclus dans le carré.
L'aire du quart de cercle vaut )).
4. Exprimer en fonction de x l'aire de la partie du carré qui est à la fois
extérieure au triangle BGH et au quart de cercle Q. On note S(x) cette
aire.
S(x) = 100 - ( - 20x + 200) - )) = (-1 - ))) + 20 x - 100.
5. Calculer S(x) lorsque x = 10 et x = 5 et x = 3.
S(10) = -100 )) + 200( - 1) = 200( - 1) - 25( [pic] 4.30
S(5[pic]) = -150 - 12.5( + 200 [pic] 10.73
S(3) = - 163 - )) + 60 [pic]12.02
6. Ordonner les 3 valeurs de x précédentes et conjecturer l'évolution des
valeurs de S(x) lorsque x parcourt l'intervalle [ ; ]. On cherchera à
déterminer le maximum de S(x) à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel
de géométrie dynamique.
Questions possibles : 1. Comment fait-on pour calculer précisément la racine carrée d'un nombre
réel (positif) ?
Éléments de réponse : on considère des suites numériques convergeant vers
la racine à déterminer. L'efficacité du procédé est lié à la « vitesse de
convergence » de la suite.
Ex : pour approcher [pic], où [pic] est un entier qui n'est pas un carré
parfait, on considère la suite définie par : [pic], [pic] est donné
« assez près » de [pic].
Cette suite, appelée parfois « suite de Héron » (pour [pic]= 2) est en fait
déduite de la méthode de Newton et on montre (mais, à mon avis, cela sort
des objectifs du concours) qu'elle est d'ordre 2 (au moins) ce qui signifie
que le nombre de décimales exactes obtenues, double à chaque itération. 2. Qu'est-ce qui distingue un nombre réel comme [pic] de [pic] ?
Éléments de réponse : dans l'ensemble des nombres réels, on distingue les
entiers naturels [pic], les entiers relatifs [pic], les nombres rationnels
[pic], avec l'inclusion triviale : [pic] (on « insère parfois les nombres
décimaux entre [pic] et [pic]) ; Ensuite, le complément de [pic] dans
[pic]est constitué des nombres irrationnels. On distingue parmi ces
nombres, les irrationnels algébriques - qui sont des nombres solutions
d'équations de la forme[pic], où [pic], l'ensembles des polynômes à
coefficients entiers - des nombres irrationnels non algébriques qui sont
appelés des nombres transcendants.
Il est clair, avec cette définition, que [pic] est algébrique puisque
solution de l'équation [pic]. On démontre, mais c'est difficile, que [pic]
est transcendant (Lindemann en 1882). La question de la transcendance de
certains nombres réels (la majorité) reste une question ouverte en
mathématique. 3. La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie, et la racine
cubique ? Expliquer.
Si on considère la fonction « carré » : [pic] elle est définie sur [pic] et
à valeurs dans [pic]. Pour définir la fonction racine carrée, son inverse
pour la loi [pic], d'un nombre négatif, il faudrait (et cela suffirait)
qu'elle soit bijective de [pic] dans [pic]. Mais elle ne l'est pas, en
particulier elle n'est pas surjective (les réels négatifs n'ont pas
d'antécédent(s)).
Par contre la fonction [pic] est, elle, bijective de [pic] dans [pic]. 4. La racine carrée d'un nombre complexe existe-t-elle ? Toujours ?
Préciser. Un complexe admet deux racines carrés, trois racines cubiques, ... n
racines n-ième. Voir le calcul réalisé en séance.