Correction de l'exercice sur la poutre articulée

-Correction : DS Résistance des matériaux n°1


Par convention les données vectorielles sont soulignées.

1. Exercice :

1. Déterminer le torseur des actions de liaison






Méthode : PFS appliqué au système [AB] au point A
? F ext/[AB] = 0
? M ext/[AB] (A) = 0

soit P=-Py et P=Mg, avec g=9,81m.s-2 alors
MA + AB(P =0
RA + P =0


MA - Pa = 0
XA = 0
YA - P = 0

MA = Pa
XA = 0
YA = P

2. Tracer les diagrammes

Méthode :
Soit M un point courant de la poutre [AB] d'abscisse x.

Pour M appartenant à [AB], 0 < x < a

On coupe la poutre au point M
PFS appliqué au système [MB] au point M

? F ext/[MB] = 0
? M ext/[MB] (M) = 0

-Mfz + MB(P =0
-N -Ty - P =0

Mfz = (x - a) P = (x - a) Mg

N = 0

Ty= - P = -Mg














3. Exprimer la relation analytique du déplacement du point B

En supposant que la poutre est constituée d'un matériau élastique de module
d'Young E et de moment quadratique IGz, on utilise la loi de comportement
suivante :

Mfz (x) = EIGz y''

Or on connaît l'expression de Mfz(x)= P (a - x) que l'on intègre deux fois:

Mfz (x) = EIGz y''= P (x - a)

EIGz y' = P x2 / 2 - aPx + ?
EIGz y = P x3 / 6 - aPx2/2 + ?x+ ?


Les conditions aux limites sont imposées par la nature de l'appui
entre la structure et le bâti : encastrement au point A.


Ce type d'appui impose la nullité de la flèche et de la pente de celle-
ci au point d'appui :


y' (x=0) = 0 = ?
y (x=0) = 0 = ?


On obtient la valeur du déplacement vertical au point B pour x=a


yB = y (x=a) = -Pa3 / 3EIGz


yB = -Mga3 / 3EIGz




















2. Exercice :

1ère partie

1. Déterminer le torseur des actions de liaison










Méthode : PFS appliqué au système [AB] au point A
? F ext/[AB] = 0
? M ext/[AB] (A) = 0

par raison de symétrie RA = RB
RA + P/2 + P/2 +RB = 2RA + P = 0

Donc YA = YB = P/2

2.2 Diagramme des moments

Pour M appartenant à [AP1], 0 < x < a

On coupe la poutre au point M
PFS appliqué au système [AM] au point M

? F ext/[AM] = 0
? M ext/[AM] (M) = 0

Mfz + MA(RA = 0
N +Ty+RA=0

Mfz = xYA = xP/2
N = 0
Ty= - YA = -P/2

Pour M appartenant à [P1P2], a < x < a+b

On coupe la poutre au point M
PFS appliqué au système [AM] au point M


? F ext/[AM] = 0
? M ext/[AM] (M) = 0
Mfz + MA(RA + MP1(P/2= 0
N +Ty+RA+P/2=0


Mfz = xYA - (x-a)P/2= aP/2

N = 0
Ty= - YA + P/2= 0

Pour M appartenant à [P2B], L-a< x < L

On coupe la poutre au point M
PFS appliqué au système [MB] au point M

? F ext/[MB] = 0
? M ext/[MB] (M) = 0

-Mfz + MB(RB =0
-N -Ty + RB =0

Mfz = (L - x) P /2

N = 0

Ty= P / 2

















Il s'agit de flexion dite "4 points" : on crée une zone où le moment de
flexion est constant.

2ème partie

2.3 si a=L/2 et b=0, alors les deux efforts sont confondus et la zone où le
moment est constant disparaît.



























4. Calculer la flèche au centre de la poutre
En supposant que la poutre est constituée d'un matériau élastique de module
d'Young E et de moment quadratique IGz, on utilise la loi de comportement
suivante :

Mfz (x) = EIGz y''


Première méthode : exploitation subtile de la symétrie


D'une part la géométrie de la poutre est symétrique par rapport à son
milieu, d'autre part le chargement extérieur et les réactions d'appui
présentent la même symétrie. Pour ces deux raisons, le problème est
considéré comme symétrique et on peut ne traiter que l'une ou l'autre des
demis poutres. Nous choisissons d'intégrer sur le segments [AP] la flèche
y1:
Px/2 = EIGz y1''
Px2/4 + ?1= EIGz y1'
Px3/12 + ?1x + ?1= EIGz y1

Les conditions aux limites, appuis simples en A et symétrie du problème en
L/2, sont telles que :
y1(x=0) = y1 (A) = 0 = ?1
y'1(x=L/2) = 0 = PL2/16+?1

soit ?1 = - PL2/16
tous calculs faits on obtient
v=y1(x=L/2)=PL3/48EIGz


Deuxième méthode : résolution directe (plus long)


Le chargement étant continu par morceaux, nous intégrons sur les deux
segments successifs [AP] et [PB] les flèches respectives y1 et y2 :
Px/2 = EIGz y1''
Px2/4 + ?1= EIGz y1'
Px3/12 + ?1x + ?1= EIGz y1

P/2 (L-x)= EIGz y2''
-P(x-L)2/4 + ?2= EIGz y2'
-P(x-L)3/12 + ?2 (x-L) + ?2= EIGz y2
Les conditions aux limites, appuis simples en A et en B, sont telles que :
y1(x=0) = y1 (A) = 0 = ?1
y2(x=L) = y2 (B) = 0 = ?2

pour déterminer les deux autres inconnues, il faut remarquer que la
continuité de la flèche et de la pente de celle-ci imposent :
y1(x=L/2)= y2(x=L/2)
y'1(x=L/2)= y'2(x=L/2)

tous calculs faits on obtient
v=y1(x=L/2)= y2(x=L/2)=PL3/48EIGz

5. expression des contraintes normales au centre de la poutre

on a pour x= L/2 et pour tout point de coordonnées (y,z) dans la section
considérée

?(x=L/2,y,z)= ? (x=L/2,y) = -y Mfz(x=L/2)/IGz = -y PL/4IGz

où y est la distance à l'axe neutre confondu avec le barycentre de la
section








3. exercice sur les critères

le problème consiste à appliquer les critères de Rankine et Tresca pour
des états de contraintes connus. Pour pouvoir appliquer ces critères il
faut connaître les valeurs des contraintes principales valeurs propres du
tenseur des contraintes.

On rappelle que les contraintes principales dans une poutre ont pour
valeurs :

?1 = ½[ ? +(?2+4?2)1/2]
?2 = 0
?3 = ½[ ? - (?2+4?2)1/2]

Ce qui permet de calculer le critère de Rankine aux points où les
contraintes sont connues.

Le critère de Tresca dans une poutre a pour expression : ? = 1/2(?2+4?2)1/2
On donne les valeurs des différents critères dans le tableau suivant.

|y |? |? |Rankine |Tresca|
|h/2|500|0 |500 |250 |
|h/4|250|100|285 |180 |
|0 |0 |150|150 |150 |


La fibre la plus sollicitée est donc la fibre supérieure de la poutre
(y=h/2) pour les deux critères.

-----------------------










P


B


A


-N



-MfZ


x


-TY


M






a

a+b

a+b

a


?


a

a+b

P/2

-P/2

PL/4

L

x

L

x

0

0

Ty

Mfz

N

0

L

x

a

P1


P/2



N



MfZ


x


TY



RA


A

M





P2

P1

a

b


P/2



P


L/2

B

L

A





Mfz

0

N

B

M

a

x

a

A

Ty

0

0

a

x

a

x

-Mga

-P=-Mg

A

L

a

B





M

A


RA



TY


x


MfZ



N


B

A


-N



-MfZ


x


-TY


M






RB


-P/2

PL/4

L

x

L

x

0

0

Ty

Mfz

N

0

L

x

P/2

L/2

L/2

L/2


?



y



y



z






P/2