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CISAILLEMENT


I - Conditions idéales :
I - 1 : Hypothèses sur le solide :
. La poutre : matériau homogène et isotrope
. La forme : poutre dont l'axe peut ne pas être rectiligne. Sa section
droite peut être de forme quelconque.
Pour réaliser le plus facilement les conditions idéales, considérons le cas
particulier d'une section droite rectangulaire.

I - 2 Hypothèses sur les formes extérieures :

Le solide est encastré solidement dans une
pièce P limitée par un plan perpendiculaire
à l'axe du solide.
Le solide est soumis à une force F
uniformément répartie agissant dans le plan
de la section droite d'encastrement.


I - 3 : Définition :

Une poutre est soumise au cisaillement si
le torseur des forces extérieures est
réductible au centre de gravité de la
section à un effort, dans le plan de la
section droite tel que le torseur des
forces extérieures ait la forme :









II - Expérience :
Le montage expérimental est généralement réalisé par un cisaillement
simple, où il n'y a qu'une seule section cisaillée. L'effort F est exercé,
lentement, son intensité croit régulièrement de 0 jusqu'à F.













. Les longueurs des cotés de la section avant chargement restent les mêmes
après chargement, cependant il se produit une distorsion des angles de
l'élément. [pic] La section C'D' se déplace dans son plan parallèlement à
la section CD.
Le déplacement est remarqué par la mesure de dénivellation J. En acceptant
que CC' soit rectiligne, la déformation peut se définir par l'angle [pic]
(angle de cisaillement ou module d'élasticité au cisaillement) qui dépend
de la dénivellation J et de l'intervalle ?.



. Comme pour la traction, on remarque une période de glissement élastique,
puis une période de glissement non élastique suivie de la rupture par
cisaillement.
. On définit ainsi une limite d'élasticité au glissement Reg ainsi qu'une
résistance à la rupture Rg.










III - Equations fondamentales :
Ces équations ne sont déterminées que dans le domaine élastique.
Repère (G,x,y,z) : (G[pic]) axe longitudinal
(G[pic]) parallèle à [pic]
. Considérons un tronçon de solide :
- Hypothèse : poids négligé
- Bilan des A.M appliquées sur chaque
élément ds de la section d'encastrement
[pic]
?x : contrainte normale
? : contrainte tangentielle [pic]

. Equilibre du tronçon :


























IV - Equation d'équarrissage :
Pour qu'un solide sollicité au cisaillement puisse travailler en toute
sécurité, il faut que la contrainte moyenne ?moy soit inférieure à la
résistance pratique au cisaillement.
[pic]
Rpg : résistance pratique au glissement est définie par le quotient de la
limite élastique au cisaillement Reg et le coefficient de sécurité "s".
Rpg = [pic]
[pic][pic]
Remarque : L'inéquation d'équarrissage ne fait intervenir que la contrainte
moyenne de cisaillement[pic]. Cependant on démontre que la contrainte de
cisaillement varie dans une section droite. La contrainte maxi ?max est
obtenu au niveau de l'axe G[pic].

Le calcul montre :

Section rectangulaire



Section circulaire



Section en I

V - Equation de déformation :
Les essais ont montré que l'angle de glissement ? était proportionnel
à l'effort tranchant F dans la phase élastique. (? = K.F pente de la
courbe).
La section S restant constante, la contrainte moyenne [pic] est
proportionnelle à F donc à l'angle de glissement ?.



G : Module d'élasticité transversal ou module de Coulomb. G [pic] 0,4.E

VI - Conditions réelles :
1°) Poinçonnement d'une tôle :
Le poinçonnement d'une tôle d'épaisseur "e" au moyen d'un poinçon de
diamètre D, peut être considéré comme un cisaillement d'une section égale à
S = ?.D?.e














2°) Fixations par rivets :
[pic]








Hypothèses :
. Les rivets remplissent parfaitement leur logement, sans exercer de
pression latérale.
. Aucune force de frottement entre les tôles
. Les efforts de traction F1 et F, s'exerçant dans le plan de jonction des
tôles, sont directement opposés
Chaque hypothèse prise séparément est fausse, mais prises globalement elles
sont assez bonnes.
Un rivet apparaît donc comme une poutre soumise a deux forces égales et
de sens contraire F, réparties sur une longueur égale à l'épaisseur des
tôles .
On peut donc calculer les rivets comme s'ils étaient simplement cisaillés
avec une bonne approximation.

3°) Fixation par boulons :
. Si les boulons sont ajustés, ils se comportent comme des rivets.
. Si les boulons ne sont pas ajustés : il y a glissement des tôles, le
boulon est alors sollicité à la traction, flexion, cisaillement.
Le calcul est médiocre, il faut donc majorer très nettement le coefficient
de sécurité pour avoir quelque chose de correct.
Remarque : Quand il y a plusieurs rivets ou boulons alignés dans la
direction de la force F. On admet que F se répartit également entre eux.

4°) Clavetage longitudinal :



L'action du moyeu s'exerce sur la surface ACA'C'
L'action de l'arbre s'exerce sur la surface BDD'B'



Pour simplifier le problème, on suppose que ces deux actions sont
uniformément réparties.
La clavette est cisaillée dans le sens longitudinal (section cisaillée :
CBB'C')






























VII - Exercices d'application :
[pic]
1°) Les cylindres 1 et 2 sont collés comme l'indique la figure. La
résistance à la rupture par traction de la colle est de 240 daN/cm², sa
résistance au cisaillement est de 180daN/cm². La colle est répartie
uniformément sur le cylindre de diamètre 30mm et de longueur l inconnue.
L'effort F supporté par le montage est de 2600 daN.
Calculer la longueur l minimale à donner au joint collé du montage.









[pic]
2°) Une articulation cylindrique entre deux barres plates 1 et 2 est
réalisée comme l'indique la figure. La liaison est assurée par un axe
cylindrique 3 de diamètre d inconnu. L'effort maximal supporté par la
liaison est de 5000 daN. La résistance pratique (ou admissible) au
cisaillement du matériau de l'axe est de 5 daN/mm².
Déterminer le diamètre d de l'axe 3.
Indiquer la (ou les) section(s) cisaillée(s).

















VIII - Classification des aciers

|Doux |Rpeg = 0,5.Re |Re [pic] |
|Mi dur |Rpeg = 0,7 .Re|[pic] |
|Dur |Rpeg = 0,8.Re |[pic] |


[pic]