Exercice II: Aspect énergétique d'un sytème {Solide-Ressort} (5,5 ...

BAC S 2010 Antilles-Guyane CALCULATRICE INTERDITE
Exercice II : Aspect énergétique d'un système {Solide-Ressort} (5,5 points)
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1. Équation différentielle associée au système {solde, ressort} et
solution.

1.1. Le mobile, étudié dans le référentiel « table à coussin d'air »,
subit :
- son poids [pic],
- la force de rappel du ressort [pic],
- la poussée de l'air issu de la table [pic].


1.2. [pic]

1.3. D'après la seconde loi de Newton, appliquée au mobile : [pic] + [pic]
+ [pic] = m. [pic].
Par projection suivant l'axe horizontal Ox : 0 - k.x + 0 = m.[pic]
Soit m.[pic] + k.x = 0
ou encore [pic] + [pic].x = 0.
1.4. x = xM.cos[pic]
[pic] = - xM. [pic]. sin[pic]
[pic] = - xM. [pic]. cos[pic]
On remplace, dans l'équation différentielle, [pic] et x par les expressions
ci-dessus.
- xM. [pic]. cos[pic] + [pic]. xM.cos[pic] = 0
(-1+1).[pic]. xM.cos[pic] = 0.
Cette égalité est vérifiée quelles que soient les valeurs de t, xM et
[pic].
1.5. à t = 0 s : - la vitesse initiale est nulle : vx (0) = [pic]= 0
soit - xM. [pic]. sin[pic] = 0
xm, k et m sont des constantes non nulles, alors sin [pic] = 0, donc [pic]
= 0 ou [pic] = (

- et le solide est en x = x0 alors x(0) = xM.cos[pic] = x0
avec [pic] = 0 alors xM = x0,
avec [pic] = ( alors -xM = x0, or xM > 0 donc on retient [pic] =
0 et xM = x0 = +4,0 cm.
2. Introduction de l'énergie potentielle élastique.
2.1. D'après la 3ème loi de Newton, [pic]
[pic].
[pic]
2.2. [pic] et [pic], or xB > xA donc [pic]. Au cours du déplacement, la
valeur de la force, exercée par l'opérateur, augmente.
2.3. Pour un très petit déplacement [pic], on peut considérer que [pic].
(W = [pic].[pic]
(W = [pic].dx. [pic]
(W = k.x.dx
2.4. [pic] = [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
Remarque : [pic] > 0, le travail est effectivement moteur au cours du
déplacement.
2.5. Énergie potentielle élastique : (EP = W([pic])
EPB - EPA = [pic]
ainsi EP = [pic]
3. Énergie mécanique du système solide-ressort
3.1. EC = [pic].m.V2 avec EC en joules, m en kg, V en m.s-1.
3.2. EM = EC + EPe
EM = [pic].m.V2 + [pic].k.x2

3.3.1. Période propre T0 = 2(.[pic]

3.3.2. À partir du document 1 (sans frottements), on lit 3T = 0,99 s donc T
= 0,33 s
De même pour le document 2 (avec frottements), on trouve T = 0,33 s.
On constate que les frottements n'ont, ici, pas d'influence sur la pseudo-
période.
On peut considérer, dans ce cas, que T = T0 = 0,33 s.
3.3.3. T0 = 2(.[pic]
T02 = 4(2. [pic]
m = [pic]
m = [pic] = 4,1.10-2 kg d'après l'aide au calcul.
3.3.4. À t = 0 s, V(0) = 0 alors EC(0) = 0 J. La courbe 2 représente EC(t).
Et x(0) [pic] 0 alors EP(0) [pic] 0 J. La courbe 3 représente EP(t).
EM = EC + EP = Cte si les frottements sont négligeables. La courbe 1
représente EM(t).

3.3.5. Les courbes des documents 3 et 4 diffèrent car lorsque la soufflerie
ne fonctionne pas à plein régime (document 4), le solide subit des
frottements de la part de la table. Une partie de l'énergie mécanique est
alors dissipée sous forme de chaleur. L'énergie mécanique du système
diminue au cours du temps.
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Figure 1

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

G

x0

x

O

m