Les nombres à période maximale (comme 1/7=0,142857...).

Les nombres à période maximale

Vous avez certainement remarqué que lorsqu'on effectue une division, les
décimales finissent toujours par revenir périodiquement. En effet, à partir
du moment où l'on commence à "abaisser" des zéros, comme il n'y a qu'un
nombre fini de restes possible (égal au diviseur), on finit toujours par
obtenir un reste que l'on a déjà obtenu, et les décimales se reproduisent
alors de façon identique à la séquence précédente.
Mais peut-être avez vous aussi remarqué que les divisions par 7 donnaient
des résultats très spéciaux. Regardez :
1/7=0, 142857 142857 142857....
2/7= 0, 2857 142857 142857...
22/7 = 3, 142857 142857 142857....
1998/7 = 285, 42857 142857 142857...

Quel que soit le numérateur (sauf si c'est un multiple de 7 bien sur) , on
finit toujours par obtenir 1 4 2 8 5 7 qui se répète à l'infini.

On peut aussi remarquer que la longueur de la période est toujours la même
: longueur 6 pour une division par 13, longueur 2 pour une division par 11,
longueur 4 pour une division par 101... Regardons tout ceci de plus près.

Nous avons déjà vu que la périodicité des décimales provenait de la
périodicité des restes, et que la longueur de la période ne pouvait pas
dépasser la valeur du diviseur ( c'est à dire le dénominateur de la
fraction correspondante). Or pour 7, cette longueur atteint 6. C'est en
fait le maximum possible. En effet, si cette longueur avait été 7, le reste
0 aurait été obtenu, ce qui signifie que le résultat aurait été un nombre
décimal...
Les divisions par 7 ont donc une période de longueur maximale. Nous allons
voir que c'est ce qui fait que cette période est toujours la même.

Examinons comment s'effectue la division d'un entier m par un entier n ( 2
. (voir figure 1)

[pic]
Comme ce sont les chiffres après la virgule qui nous intéressent,
considérons directement le quotient (exact) x0 de la division de m par n
(x0 est la partie entière de m/n), et le reste r0 de cette division. La
première décimale après la virgule, x1, est obtenue comme le quotient de la
division de 10r0 par n (exercice : pourquoi ce nombre est-il forcément
compris entre 0 et 9 ?). Désignant par r1 le reste de cette division, la
deuxième décimale x2 est le quotient de 10r1 par n et ainsi de suite.
Résumons :
[pic]

Si l'on écrit ces divisions euclidiennes successives sous la forme
classique :
dividende = diviseur[pic]quotient + reste, on obtient :
[pic]
de sorte que [pic]., ce qui donne, en poursuivant :
[pic]

Comme [pic] (justifiez !), on démontre ainsi rigoureusement que :
[pic].
Attention : il ne faut pas confondre [pic](qui est un nombre décimal) avec
[pic]!!
Pourquoi la suite des reste ri est-elle périodique ? Parce que c'est une
suite récurrente simple (chaque terme ri est défini à partir du précédent
par une opération indépendante de i) qui ne prend qu'un nombre fini de
valeurs.
Or, on peut aussi définir les restes ri autrement que par récurrence. En
effet, la formule (1) ci-dessus peut aussi s'écrire : [pic], de sorte que :
ri est le reste de la division de 10im par n.

Et comme les décimales xi sont directement liées aux restes ri (par [pic]),
on peut donc énoncer :
Théorème 1 : la longueur de la période du développement décimal du
rationnel [pic] est égale à la longueur de la période des restes des
divisions par n des produits des puissances successives de 10 avec m.
Pour 22/7, par exemple les restes des divisions par 7 des 22[pic]10i sont
égaux successivement à 1, 3, 2, 6, 4, 5, et rebelotte, 1, 3, 2, 6, 4, 5 etc
(ce sont exactement les restes que vous obtenez quand vous posez la
division de 22 par 7), qui sont bien de période 6, comme le développement
de 22/7.

Si le rationnel [pic] est décimal, [pic] et 10km est divisible par n: rk
est donc nul et le développement se termine par des 0 (vous le saviez
depuis longtemps).
Si réciproquement [pic] n'est pas décimal, [pic] n'est pas le quotient d'un
entier par une puissance de 10 et les ri sont donc tous non nuls. Ces
restes ne peuvent donc prendre que n - 1 valeurs au plus et l'on déduit :
Corollaire du T. 1 : la longueur de la période du développement décimal du
rationnel [pic] est au plus égale à n - 1.

Définition : un rationnel s'écrivant sous la forme [pic] (n ? 2, m et n
premiers entre eux, c'est-à-dire sans facteur commun autre que 1) est dit
"à période décimale maximale" lorsque la plus petite période de son
développement décimal a une longueur exactement égale à n - 1.

Nous allons voir maintenant que si [pic] est à période maximale, n est
forcément premier (mais l'exemple de 1/11=0,090909... nous montre tout de
suite que la réciproque est fausse). La démonstration est délicate au
niveau terminale, et nous allons énoncer un théorème de caractérisation
complet, démontré en encadré :

Théorème 2 : le rationnel [pic] est à période décimale maximale si et
seulement si
1) n est premier
2) m n'est pas un multiple de n
3) la longueur de la période des restes des divisions par n des
puissances successives de 10 est égale à n - 1 (ce qui, en langage savant,
se dit : [pic] est un générateur du groupe (Z/nZ)*).

Encadré
Nous allons utiliser la notion d'inverse modulo n : on dit qu'un entier y
est un inverse modulo n d'un entier x lorsque xy est congru à 1 modulo n.
On démontre que le produit de deux entiers ayant un inverse modulo n en a
également un, ainsi que le lemme :
si les entier 1, 2, ..., n - 1 ont tous un inverse modulo n, alors n est
premier.
Montrons ce lemme : soit a un entier non multiple de n ; x est congru
modulo n à l'un des entiers 1, 2, .., n et possède donc un inverse y modulo
n qui vérifie xy =1 + kn. D'après le théorème de Bézout, x et n sont
premiers entre eux ; n est donc premier avec tout entier qu'il ne divise
pas : n est premier. .
Montrons alors le théorème 2.
Si [pic] est à période maximale, d'après le théorème 1, l'un des entiers
10im, disons 10jm est congru à 1 modulo n ; 10 et m ont donc des inverses
modulo n, et les entiers 1, 2, .., n - 1, qui sont tous congrus à un entier
du type 10im ont tous des inverses modulo n ; d'après le lemme, n est
premier. 2) est évident et d'après le petit théorème de Fermat, 10jm ´ 1 ´
10n-1 modulo n, et m ´ 10n-1-j modulo n. Les restes dans la division par n
des 10im sont donc les mêmes que ceux des 10k+i (où k = n-1-j). Ceci
démontre 3).
Si réciproquement 1), 2) et 3) sont vérifiés, m, qui est congru à l'un des
entiers 1, 2, .., n -1 modulo n est congru à une puissance de 10 modulo n
et la longueur de la période des restes des divisions par n des produits
des puissances successives de 10 avec m vaut donc n - 1 : [pic] est à
période maximale.

Fin de l'encadré.


Nous voyons qu'ici le numérateur m n'intervient plus que dans la condition
n° 2. Nous avons donc une réponse à ce qui nous intriguait dans les
divisions par 7.

Corollaire du T. 2: si [pic] est à période maximale, alors les nombres
[pic] (m non multiple de n) sont tous à période maximale et ont tous la
même période.


En effet, si [pic] est à période maximale, et m non multiple de n, il
existe un entier j (entre 1 et n - 1) tel que m est congru à 10j modulo n ;
si on désigne par ri et xi les suites d'entiers définis ci-dessus
correspondant à [pic], et par [pic] celles correspondant à [pic], alors,
comme [pic], [pic] et donc [pic]..

Par exemple, pour n = 7, comme les ri ont pour période : 1 3 2 6 4 5, et
les xi : 1 4 2 8 5 7, on sait que :
[pic], [pic], [pic],
[pic], [pic], et [pic].
Le nombre N=142857 formé des chiffres de la période possède alors les mêmes
propriétés de permutation :
3N = 428571, 2N=285714, 6N = 857142, 4N = 571428, 5N = 714285 ; et que vaut
donc 7N ? 999999 ! Normal, puisque [pic] !

Il est temps de rechercher un autre nombre n tel que 1/n soit à période
maximale. On a vu que ni 11 ni 13 ne convenaient, mais pour 17, c'est OK.
J'ai trouvé à l'aide du programme Maple : for i from 0 to 15 do 10^i mod 17
od, que les ri sont égaux à : 1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12, et
les xi à : 0588235294117647.
Je sais donc que si N = 588 235 294 117 647, 10N = 5 882 352 941 176 470,
15N = 8 823 529 411 764 705 etc...

Une recherche informatique donne facilement les prochains nombres premiers
dont l'inverse est à période décimale. Ce sont : 19, 23, 29, 47, 59, 61,
97, 109, etc. Mais le mathématicien qui sommeille en chacun de nous
aimerait bien avoir une caractérisation de ces nombres. En utilisant le
fait que la longueur de la période de 1/p est forcément un diviseur de p -
1 (par le théorème de Lagrange) et le fait que [pic], j'ai trouvé la
suivante :
Théorème 3 : 1/p est à période décimale maximale si et seulement si
1) p est premier ? 2,3 et 5.
2) p ne divise aucun des nombres [pic], avec d diviseur propre de
p - 1.
Il est donc utile de connaître la décomposition en produit de facteurs
premiers des ad :
a3=3. 37 ; a4 = 11. 101, a5 = 41. 271, a6 = 3. 7. 11. 13. 37, a7 = 239.
4649, etc...
1/13 n'est donc pas à période maximale car 13 divise a6, avec 6 diviseur de
12 ;
1/37 n'est pas à période maximale car 37 divise a6, avec 6 diviseur de 36 ;

1/41 n'est pas à période maximale car 41 divise a5, avec 5 diviseur de 40
etc...

Les nombres qui ne sont pas à période maximale, ne sont pas inintéressants
non plus. Par exemple comme 1/13 = 0, 076923 076923..., posons N = 76923 ;
alors 2N = 153846, 3N = 230763, 4N = 307692 ....13N = 999999. On obtient 6
permutations de 076923 et 6 permutations de 153846.
D'une façon générale,