mathematiques

Baccalauréat de l'enseignement général
Madagascar
Session 2002
mathematiques - Série : A N.B. : Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le
problème.
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------------------------------- EXERCICE 1 ( 4 points )
corrigé
On considère la suite numérique (Un )n (IN définie par :
[pic]
1°) - Calculer les quatre premiers termes de cette suite.
( 1 pt )
2°) - a) Montrer que (Un )n ( IN est une suite arithmétique dont on
précisera la raison. ( 1 pt )
b) Exprimer Un en fonction de n.
( 0,5 pt )
c) Quel est le sens de variation de (Un )n (IN ?
( 0,25 pt)
3°) - Pour tout n (IN, on pose Vn = e2(1 - n).
a) Montrer que (Vn)n (IN est une suite géométrique dont on précisera
le premier terme et la raison. ( 1 pt )
b) Calculer la limite de Vn quand n ( + (.
( 0,25 pt) EXERCICE 2 ( 4 points )
corrigé
Le tableau suivant indique l'évolution de l'effectif d'un Collège au
cours des huit dernières années.
(xi désigne le rang de l'année et yi l'effectif correspondant). |Année |1994 |1995 |1996 |1997 |1998 |1999 |2000 |2001 |
|xi |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |
|yi |370 |360 |380 |410 |420 |440 |450 |470 | 1°) - Représenter le nuage de points Mi (xi, yi) associé à cette série
statistique dans un repère orthogonal.
- Sur l'axe des abscisses, prendre 1 cm pour unité graphique.
( 0,75 pt )
- Sur l'axe des ordonnées, placer 350 à l'origine puis choisir 1
cm pour représenter 10 élèves.
2°) - Calculer les coordonnées du point moyen G.
( 0,5 pt )
3°) - On note (S1) la série statistique allant de 1994 à 1997 et (S2) la
série allant de 1998 à 2001.
a) Déterminer les coordonnées des points moyens respectifs G1 et G2
des séries (S1) et (S2). (0,5 + 0,5 pt)
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par G1
et G2. ( 0,75 pt )
c) Construire cette droite (D). Que représente-t-elle ?
(0,25 + 0,25 pt)
d) En déduire une estimation de l'effectif du collège en 2003.
( 0,5 pt )
PROBLEME : ( 12 points )
corrigé
On considère la fonction numérique f définie par : f(x) = 2 ln x (ln x
- 1). On note (C ) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un
repère orthonormé (O ; [pic]) d'unité 1 cm.
1°) - a) Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
( 0,5 pt )
b) Calculer les limites aux bornes de Df.
(0,5 + 0,5 pt)
c) Montrer que pour tout x ( Df, f '(x) = [pic](2 ln x - 1).
( 1 pt )
d) Dresser le tableau de variation de f.
( 1 pt )
2°) - a) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (C )
avec l'axe (x'Ox). ( 1 pt )
b) Donner une équation de la tangente (T) à (C ) au point
d'abscisse e. ( 1 pt )
c) Montrer que (C ) admet un point d'inflexion I dont on
déterminera les coordonnées. ( 1 pt )
3°) - a) Etudier les branches infinies de (C ) (on admet que
[pic][pic] = 0). (0,25 + 0,25 pt)
b) Calculer f (e-1) et f (e2).
( 0,5 + 0,5 pt )
c) Construire (T) et (C ).
( 0,5 + 1,5 pt )
4°) - Soit F la fonction définie par F(x) = 2x (ln x)2 - 6x ln x + 6x.
a) Montrer que F est une primitive de f sur Df.
( 1 pt )
b) Calculer, en cm2, l'aire A du domaine plan limité par(C ),
l'axe (x'Ox) et les droites d'équations x = 1 et x = e. (
1 pt )
On donne : [pic] ? 0,4 ; [pic] ? 1,7 ; e ? 2,7 ; [pic] ?
4,5 ; e2 ? 7,4.