EXERCICES sur les Tenseurs - Mécanique des Milieux Continus

TENSEURS








Dans le calcul tensoriel, on veut exprimer la façon dont se
transforment dans un changement de base les composantes des éléments d'un
espace vectoriel et d'un produit d'espace vectoriel.
En fait, on recherche systématiquement les valeurs intrinsèques. On
exprimera des relations qui seront indépendantes du système de coordonnées
utilisé pour les expliciter. En effet, seules ces relations pourront
exprimer une réalité physique. La puissance galiléenne d'une force ne peut
en aucun cas être dépendante du repère de calcul choisit.

Convention d'écriture



Déjà dans un seul espace vectoriel à dimension peu élevée, le
formulaire de changement de base est lourd. On conçoit donc des difficultés
d'écriture pour des cas un peu complexes. Il est important de condenser les
écritures afin les rendre plus maniables.



Convention d'Einstein



Souvent nous devrons exprimer des sommes de monômes. L'habitude veut
qu'alors on utilise des indices de valeurs variables. La variation de ces
indices est essentiellement fonction de la dimension de l'espace vectoriel
concerné.
La convention d'Einstein permet une simplification supplémentaire.

Tout monôme où certains indices littéraux figurent chacun deux
fois, en position supérieure dans un facteur et en position inférieure
dans un autre, représente la somme de tous les monômes analogues,
avec chacun de ces indices répétés prenant n valeurs.

Un indice répété est appelé indice muet.
[pic]
[pic]

Un indice non muet est dit libre.

Toute égalité où figurent certains indices libres, à la même
hauteur aux deux membres, s'entendra comme valables pour toutes les
valeurs de 1 à n de ces indices.

Une telle équation représentera en réalité un système de [pic]
égalités si elle comporte p indices libres.

[pic]

Remarques
* L'emploi d'indices supérieurs peut créer un risque de
confusion avec l'écriture des puissances. Aussi en écriture indicielle, on
convient d'une notation particulière pour les puissances. On désignera par
[pic] la [pic]puissance de a.

* Un monôme reste inchangé lorsqu'on change la lettre qui
désigne un indice muet: [pic]

* Pour désigner un monôme par une lettre unique, on devra la
munir des mêmes indices libres que le monôme :
[pic]

* Il est impératif de ne pas tripler les indices muets. En
effet, l'écriture [pic] n'a aucun sens, les écritures [pic] et [pic] ayant
chacune un sens différent.

* Si on veut dire [pic] est égal à 1 si i est égal à j, il faut
écrire :
[pic]
En effet, la formule condensée [pic] représente tout autre chose.



Règles de calcul


Dans la convention d'Einstein, on peut traiter les opérations suivant
les règles de calcul des opérateurs utilisés. On obtient ainsi :

Les additions sont associatives et commutatives.
Les multiplications sont associatives et distributives, à droite
comme à gauche, par rapport aux additions.

.
[pic]

Remarques

* Le calcul formel ne permet pas toutes les opérations
classiques. En particulier, les opérations de simplifications par division
doivent être menées avec précautions.
[pic]

* Les règles de calcul nécessitent d'être très rigoureux sur
l'emploi des indices. En effet, il ne faut pas confondre le produit [pic]
par [pic] qui est représenté par [pic] avec le produit de [pic] par [pic]
qui est représenté par [pic].



Applications aux matrices


Pour une matrice carrée A à n lignes et n colonnes, nous désignerons
souvent par [pic] au lieu de [pic] le terme représentant l'élément de la
ligne i et de la colonne j. On utilisera ainsi la convention de notation o-
li-ba-co (haut=ligne, bas=colonne). Nous écrirons donc :
[pic]
Pour l'expression du déterminant, on aura :
[pic]

Avec ces notations, le produit de deux matrices s'exprime très
facilement :
[pic]

En particulier, si les deux matrices sont inverses l'une de l'autre,
le produit doit nous donner la matrice identité :
[pic]
On voit ainsi apparaître le symbole de KRONECKER :
[pic]
On peut pressentir la résolution d'un système :
[pic]

Le calcul du déterminant permet de faire apparaître le pseudo-tenseur
de LEVI-CIVITA appelé parfois le deuxième symbole de KRONECKER :
[pic]


avec : [pic]

En fait on peut obtenir aussi des écritures intéressantes en faisant
intervenir les cofacteurs des éléments de la matrice A. En notant [pic]
([pic]) le cofacteur de [pic], on a :
[pic]
Si le déterminant de la matrice A est non nul, on peut retrouver les
éléments de la matrice B inverse de A :
[pic]
La valeur du déterminant devient :
[pic]



Application aux formes quadratiques


Considérons la forme quadratique, à coefficients symétriques ([pic]),
définie par :
[pic]
Les termes [pic] sont des constantes scalaires, et les [pic] sont des
variables scalaires à produits commutatifs. Cette commutativité permet
d'écrire tout terme du type [pic] comme la somme [pic].

Le calcul de la différentielle de la forme quadratique nous donne :
[pic]
En jouant sur la permutation des indices muets et la symétrie de la
forme quadratique, on peut écrire :
[pic]
Ce qui nous donne :
[pic]
On peut ainsi obtenir la dérivée partielle de la forme quadratique
par rapport à la variable [pic] :
[pic]
La notation de cette dérivée partielle peut être aussi abrégée :
[pic]

Le calcul précédent permet de retrouver l'identité d'Euler pour les
fonctions homogènes de degré 2 :
[pic]



Espaces vectoriels affines. Espaces vectoriels métriques






Les propriétés des tenseurs seront très différentes suivant la nature
des espaces dans lesquels ils seront définis. L'usage impose de distinguer
deux cas : l'espace vectoriel affine et l'espace métrique qui contient les
espaces vectoriels euclidien. La distinction est importante car si
certaines formules tensorielles prennent des formes simples dans un espace
euclidien, il est parfois nécessaire d'employer des espaces vectoriels
affines.



Espaces vectoriels affines


Dans ce type d'espace, on admet les postulats qui permettent de
définir des vecteurs. L'espace à n dimensions comportera n axes de
coordonnées ayant à priori chacun une unité particulière. Un vecteur
arbitraire [pic] sera représenté par ses composantes [pic]suivant les
différents axes sur lesquels nous aurons au préalable défini des unités
[pic].
[pic]
La longueur absolue du vecteur [pic] ne peut pas être définie
puisqu'il n'y a aucune commune mesure entre les différentes composantes
[pic]. La distance de deux points ne peut pas être mesurée.

De prime abord, ces notions surprennent et on comprend mal l'utilité
de ce type d'espace. Toutefois en physique on fait souvent usage de figures
ou de diagrammes tracés en géométrie affine.
En thermodynamique par exemple, on trace des diagrammes d'états
faisant intervenir les variables pression, volume et température. Pour le
mécanicien, la loi de comportement d'un matériau peut parfois être
représenté dans un espace affine des variables contraintes et déformations.

Dans un espace affine, c'est une pure convention que de tracer des
axes orthogonaux. En effet, si on ne peut pas définir une longueur, il est
impossible de parler d'angle.

Dans ce type d'espace, une fonction [pic] se représentera par une
courbe. Mais, suivant les conventions d'unités et d'axes, cette courbe se
déformera. Par contre certaines relations conserveront un sens invariant.
Ainsi en thermodynamique, une loi d'évolution d'un gaz peut être
représentée dans le diagramme de Clapeyron (pression, volume). Ce diagramme
représente évidemment un espace affine, mais pour une évolution quelconque,
le produit des variables pression-volume représente une énergie qui doit
être indépendante du mode de représentation utilisé.
C'est en jouant sur cette notion importante d'invariant que le
mécanicien trouve certaines formules de loi de comportement d'un matériau.



Espaces vectoriels métriques


En géométrie métrique, on ajoute une condition supplémentaire, qui
permet de définir la distance entre deux points ou la longueur d'un
vecteur. Dans le cas le plus simple, celui de l'espace euclidien, on se
défini un repère orthogonal, dont les vecteurs ont tous un même module égal
à une unité choisie arbitrairement. On peut ensuite construire une infinité
d'autres repères rectilignes ou curvilignes, au moyen d'un changement de
coordonnées. Dans ce changement, toute longueur doit rester invariante.
Bien entendu, la notion de longueur permettra ensuite de définir la notion
d'angle.

Le problème associé à l'algèbre tensorielle, c'est que nous ne
commençons pas par ce type de géométrie, contrairement à ce qui est fait en
géométrie élémentaire. Cette algèbre tensorielle, bien plus générale que la
petite géométrie d'arpentage a la prétention de devenir la géométrie