Exercice 1: Quelques usages des condensateurs

Exercice 1: Quelques usages des condensateurs


I. Génération d'impulsions: le stimulateur cardiaque


I.1. Charge du condensateur

I.1.a. Le condensateur est chargé à 99,9% au bout d'une durée égale à 5(.
Dans cette partie du circuit ( = r.C.
C est faible puisque C = 470 nF soit 4,70(10-7 F.
et la valeur de la résistance est très faible,
donc ( est proche de 0 s.
Le condensateur se charge presque instantanément.
I.1.b. Branchements de l'interface d'acquisition:








I.1.c.
En rouge, la tension uc lors de la charge du condensateur.
(uC est croissante et cela très rapidement)





















I.1.d. Lorsque le condensateur est complètement chargé, il n'y a plus de
courant qui circule. i = 0 A.
On lit sur la courbe 1: uC maximale = 5,7 V = E

I.2. Décharge du condensateur

I.2.a.
. signe de l'intensité i du courant lors de la décharge: i négative
. D'après la loi d'Ohm: uR = R.i
. q = C.uC
. i = [pic]
. lors de la décharge d'après la loi d'additivité des tensions: uC + uR
= 0
I.2.b. uC + R.i = 0
uC + R[pic] = 0
uC + R.C.[pic]= 0
[pic] + [pic].uC = 0 avec ( = R.C, on obtient finalement [pic] +
[pic].uC = 0
I.2.c. ( = R.C
D'après la loi d'Ohm: u = R.i R = [pic] donc [R] = [pic]
Comme expliqué dans la question précédente: i = C.[pic] soit C = [pic]
donc [C] = [I].[pic]
[R.C] = [R]([C] = [pic]( [I].[pic]
[R.C] = [T] la constante de temps est bien homogène à une durée.

I.2.d. Détermination graphique de (.
Méthode 1: Pour t = (, la tension aux bornes du condensateur est égale à
37% de sa valeur maximale
uC = 0,37(E
uC = 2,1 V). On trouve ( = 0,8 s.
I.2.e. R = [pic] = [pic]= 1,7 M(




I.3. Lien entre la décharge du condensateur et les battements du c?ur

I.3.a. L'énoncé indique que l'impulsion est créée quand uC(t1) =
ulimite=[pic].
donc E = uC(e
E = 2,1(e = 5,7 V
On vérifie que la valeur de E est en accord avec celle trouvée à la
question I.1.d.
I.3.b. uC(t) = E.e-t/(
uC(t1) = ulimite=[pic] = E.e-1 = E.[pic]
par analogie, on a t1/( = 1 donc t1 = (
I.3.c. La durée (t qui sépare deux impulsions consécutives doit être proche
( (( durée nécessaire pour que uC atteigne ulimite + t0 durée très faible
pour recharger le condensateur).
I.3.d. Nombre de battements du c?ur par minute:
Toutes les (=0,8 s ( 1 battement
toutes les 60 s ( N battement N = [pic]= 75 battements par minute, ce qui
semble réaliste.
II. Stockage d'énergie: le flash électronique
II.1. Les piles permettent d'obtenir 100 éclairs de durée et d'intensité
lumineuse maximales.
L'énergie totale des piles vaut E = 18kJ
La moitié de cette énergie est utilisée pour fournir 100 éclairs.
Donc pour 1 éclair: E1 = [pic]= 90 J
II.2. E1 = [pic] donc C = [pic]= [pic]= 5 F grande capacité par rapport aux
valeurs rencontrées au cours de l'année scolaire (de l'ordre de 10-6 ou 10-
9 F).
II.3. La recharge dure 11 s.
Donc 5( = 11
( = 2,2 s environ
II.4. ( = R.C
R = [pic]= [pic]= 0,44 (

Exercice II. Circuits RL et RLC


1. Étude expérimentale d'un circuit RL

1.1. La courbe représentative de la tension montre que la tension est
positive. Il faut mesurer uAB, pour cela on relie la borne « V » au point A
et la borne « COM » au point B.
1.2. D'après la loi d'Ohm: uAB = uR = R.i. Donc i = [pic] .
L'intensité du courant est proportionnelle à la tension uR. La courbe i =
f(t) a donc la même allure que
uR = f(t) : il s'agit donc de la courbe c.

1.3. Toute bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant qui la
traverse. Ici elle retarde l'établissement du courant qui ne passe pas
instantanément de 0 à sa valeur maximale.

2. Modélisation et équation différentielle

2.1. D'après la loi d'additivité des tensions dans le circuit : E = uR(t) +
uL(t) (1)
La tension aux bornes de la bobine de résistance interne négligeable a pour
expression :uL(t) = L.[pic]
or i = [pic] d'où uL(t) =[pic]
En remplaçant dans l'équation (1), on trouve : E = uR(t) + [pic] [pic]
2.2. Analyse dimensionnelle:
La loi d'ohm permet décrire : [U] = [R]×[I]
La tension aux bornes d'une bobine permet d'écrire : [U] = [L]×[I]/[T] =
[L]×[I]×[T] -1
On en déduit [U] = [R]× [I] = [L]×[I]×[T] -1 soit [L]/[R] = [T]
Le rapport L/R a donc les dimensions d'un temps.

2.3. (uR)max = 10 V.
uR(() = 0,63(10 = 6,3 V
Par lecture graphique, on trouve ( = 1,0 ms.

2.4. On a ( = [pic], soit L = (.R

L = 1,0.10 -3 ( 1,0.103 = 1,0 H

valeur compatible avec celle du fabricant.




3. Résolution numérique de l'équation différentielle par la méthode d'Euler

3.1. E = uR +[pic]. [pic] donc [pic]. [pic] = E - uR
soit [pic]= [pic].(E - uR) = [pic]
[pic]= 1,0.103((10 - uR)
3.2. * [pic]à la date t = 0s on a uR = 0 donc [pic]= 1,0.103 (10 =
1,0.104 V.s-1
* (uR)(t à la date t = (t: [pic]
[pic][pic].(t
[pic]0 + 1,0.104 ( 1,0.10-4
[pic]1,0 V
* [pic]à la date t = (t: [pic]= 1,0.103((10-1,0) = 9,0.103 V.s-1
* (uR)2(t à la date 2(t: [pic]
[pic][pic].(t
[pic]1,0 + 9,0.103 ( 1,0.10-4 = 1,9 V


|date |Valeur de (uR)t en V |Valeur de [pic] |
|t0 = 0 s |[pic] |[pic] |
|t = ( t |[pic] |[pic] |
|t = 2 (t |[pic] | |


3.3. Une augmentation du pas augmenterait l'écart entre le nuage de point
obtenu par la méthode d'Euler et la courbe expérimentale.





4. Étude du circuit oscillant

4.1. La diminution d'amplitude est due à la résistance interne de la
bobine. Il y a dissipation d'énergie sous forme de chaleur en raison de
l'effet Joule).

4.2. La pseudo-période vaut T = 20 ms.






4.3. La pseudo-période ayant même valeur
que la période propre, on a :
T = T0 = 2([pic]
T² = 4(².L.C
C = [pic]
C = [pic] = [pic]= 10.10-6 F
C = 10 µF Valeur égale à celle du fabricant.



5. Energies

















Initialement le condensateur est chargé et aucun courant ne circule donc :
ET(0) = Ee(0) et Em(0) = 0 J
On en déduit alors que:
- la courbe 2 est associée à Em
- la courbe 3 est associée à Ee
- la courbe 1 est associée à ET
La décroissance de la courbe 1 est due à la perte d'énergie sous forme de
chaleur, par effet Joule, dans la résistance R.

EXERCICE N°3 : DIAPASON ELECTRONIQUE

1. Charge du condensateur

1. et 1.2. Voir schéma.

1.3. [pic] relation (1)
1.4. u = [pic] relation (2)
1.5. D'après l'additivité des tensions: E = u + uR
d'après la loi d'Ohm uR = R.i
soit E = u + R×i
d'après la relation (1) E = u + R×[pic]
d'après la relation (2) : qA = C.u
Il vient E = u + R×C×[pic] : équation différentielle du premier ordre.


1.6. L'équation différentielle est E = u + R×C×[pic]
Calculons u + R×C×[pic].en utilisant la solution proposée [pic]:
u + R×C×[pic] =[pic]+ R(C [pic]
= [pic] + R×C×[pic]
= E - E×[pic] + R×C×(-E)([pic] . [pic]
= E - E×[pic] + E × [pic]
u + R×C×[pic] = E on retrouve l'équation différentielle, donc [pic] est
bien solution de l'équation différentielle.
1.7.1. ( = R×C
1.7.2. L'équation différentielle peut s'écrire u + ( . [pic]= E, ou
encore ( . [pic] = E - u
soit en analyse dimensionnelle [(].[U].[T]-1 =
[U]
en divisant par [U]: [(].[T]-1 = 1
[(] = [T]
Autre méthode, en utilisant la solution du 1.6. : [pic], soit [pic]
Pour que cette solution soit homogène, il faut que [pic] soit un nombre
sans dimension, donc ( est homogène à un temps.

1.7.3. Pour t = ( alors u(() = 0,63.E
u(() = 0,63 ( 12 = 7,6 V.
( = 1 ms (voir figure ci-après)









1.7.4. On considère le condensateur comme totalement chargé au bout d'une
durée égale à 5×(

2. Réalisation d'oscillations électriques

2.1.1. Le dipôle responsable de l'amortissement des oscillations est la
résistance R. En raison de l'effet Joule, une partie de l'énergie est
dissipée sous forme de chaleur.

2.1.2. C'est un régime pseudo-périodique. L'amplitude des oscillations
diminue au cours du temps.

2.2. La durée écoulée entre ces deux points est la pseudo-période. T = 2 ms

2.3. D'après la figure 5, on voit qu'au bout d'une durée de 10 ms
l'amplitude des oscillations est devenue très faible. Le son émis sera
amorti trop rapidement et donc audible pendant une durée extrêmement brève.
Ce circuit électronique relier à un haut-parleur émettrait un BIP très
bref.

3. Entretien des oscillations

3.1. Au cours des oscillations les pertes d'énergie sous forme de chaleur
(effet Joule) sont, à chaque instant, compensées par un apport d'énergie
fournie par le dispositif d'entretien des oscillations.

3.2. Les paramètres du circuit étant inchangés,
la période des oscillations est toujours de 2 ms
et l'amplitude est de 12 V






3.3. [pic]

T0 = [pic]= 2,0 ms

3.4. f0 = [pic] = 5,0.102 Hz

3.5.1. f0 > 494 Hz, ce n'est pas un son de l'octave 3 de la gamme.

3.5.2. Pour changer la fréquence du son émis, il suffit de faire varier un
des paramètres de la période propre, à savoir la capacité du condensateur
ou l'inductance de la bobine.

3.5.3. On veut une fréquence de 440 Hz, et seule l'inductance de la bobine
peut varier :

4(²×L×C = T0² = [pic] Soit L = [pic]= 0,13 H

3.5.4. f0 = [pic] = [pic] = 3,3.102 Hz. Le diapason émet la note « mi »

-----------------------
vers YA

vers le circuit de déclenchement


SCHÉMA 1


pile spéciale

r

E

C

B

A

i

1

K

2

u C

u R

R

= (

6,3

(

5 T = 100 ms

u

Voie 2

Voie 1

0,63×E

(