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Organiser l'enseignement autour d'un PER en classe de Seconde
L'exemple de la géométrie plane

Sommaire
A- Recherche des raisons d'être : Pourquoi étudier la géométrie ? 1
1. Pour construire (ou reproduire) des figures 1
2. Pour comparer des grandeurs géométriques 2
3. Pour étudier des lieux 2
4. Pour déterminer la mesure d'une grandeur ou une mesure approchée d'une
grandeur 3
5. Pour exprimer une grandeur en fonction d'autres grandeurs 3
6. Pour construire des segments de longueur donnée, c'est à dire initier
au calcul graphique 3

B- Quelques éléments historiques utiles pour faire des choix quant à des
organisations mathématiques 4
1. la géométrie grecque : 4
2. la géométrie de Descartes 5
3. La géométrie vectorielle 7
4. les transformations : 9

C- Choix possibles de PER pour la géométrie plane en classe de 2nde 10

D- Détail d'un PER : Comment construire une figure astreinte à respecter
des conditions ? 11
1. Description générale du parcours 11
2. Détail du parcours 13
1- Première étape du parcours : présentation du parcours aux élèves 13
2- Deuxième étape du parcours : Comment analyser une figure et
reproduire cette figure. 13
3- Troisième étape du parcours : constructions exactes ou approchées ?
16
4- Quatrième étape du parcours : donner de nouvelles techniques pour
justifier si des constructions sont exactes 19
4- Cinqième étape du parcours : l'algèbre pour construire 23
5- Sixième étape du parcours : l'algèbre pour construire à l'aide des
identités remarquables 26


A- Recherche des raisons d'être : Pourquoi étudier la géométrie ?
On peut lire dans l'introduction du programme de Seconde de détermination
qu'il est « composé de trois grands chapitres : statistique, calcul et
fonctions, géométrie, pour chacun desquels les capacités attendues, en
nombre volontairement limité, constituent la base commune des programmes
des années ultérieures ».
Nous nous sommes posé les questions suivantes, très générales, à la
recherche des raisons d'être de l'étude de ces trois domaines des
mathématiques :
Pourquoi étudier les fonctions ? Pourquoi étudier la géométrie ? Pourquoi
étudier les statistiques ?
Rares sont les réponses fournies par les programmes. Il faut faire des
recherches à la fois dans et hors des mathématiques. Si cette liste de
réponses n'est jamais exhaustive, du moins son contenu n'est-il pas de
l'ordre d'un choix personnel de tel ou tel membre de la communauté des
Mathématiques mais bel et bien constituée en puisant dans l'Histoire (et
l'histoire des mathématiques en particulier), dans les autres disciplines,
dans les problèmes actuels qui se posent à la société, ...


La géométrie est présente dans le Monde et aide à comprendre cet espace
dans lequel nous vivons :
- formes des objets de la vie quotidienne ;
- architecture (Antiquité, bâtisseurs du Moyen Age, échangeurs
d'autoroute...) ;
- arts (peinture, instruments de musique, pavage...) ;
- dans diverses sciences (cartographie, optique, mécanique, astronomie,
informatique,...)
Indépendamment des contenus des programmes, que pouvons-nous répondre
à la question générale :
Pourquoi étudier la géométrie ?
Voici des problématiques mathématiques abordables au niveau du lycée et les
contenus correspondants :

1. Pour construire (ou reproduire) des figures
Reproduire des figures telles que les sangakus, savoir comment on peut
reproduire certains motifs architecturaux, comme par exemple les rosaces
gothiques de nombreuses églises ou bien savoir comment tel peintre a
composé certains motifs sont autant de tâches utiles pour comprendre le
monde dans lequel on vit.

Pour résoudre ce type de tâches, il est nécessaire d'analyser la figure à
construire ou à reproduire.
Les techniques varient selon que la figure est disponible sur papier ou
pas -on peut alors imaginer que le papier calque fera l'affaire- ou bien
que les dimensions sont directement accessibles ce qui peut favoriser une
démarche de reproduction. Mais souvent les figures à reproduire ou à
construire présentent des contraintes telles que la mobilisation de
connaissances mathématiques est alors nécessaire.
Certaines constructions sont des constructions utilisant des méthodes
approchées, d'autres sont le fruit de méthodes exactes. Restent à savoir
comment on peut valider si une méthode est exacte on non. Les outils de
géométrie enseignés (géométrie pure, transformations,
voire géométrie analytique) ont pour fonction entre autres de répondre à
cette question.
[pic]


2. Pour comparer des grandeurs géométriques
Savoir si deux grandeurs sont égales ou si l'une est plus grande que
l'autre est une question qui peut être considérée comme créatrice de la
géométrie en Egypte dans l'antiquité.
Les techniques sont diverses :
- découpages,
- pesées,
- quadrillage pour les aires,
- par des formules établies éventuellement à l'aide de calcul intégral,
- par des quadratures ou cubatures,
- par des démonstrations (triangles isométriques par exemple)
- ...
[pic]


La table de Joop : une table carrée qui se transforme en table
triangulaire
http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.cs.purdue.edu/homes/gn
f/book2/photos2/sqtab.jpg&imgrefurl=http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/
book2/Booknews2/jooppic.html&usg=__ZO7wjDnYu_Epgoc1ZRWiutgzPjc=&h=544&w
=699&sz=72&hl=fr&start=8&tbnid=rwQ9MNbR6xCu9M:&tbnh=108&tbnw=139&prev=/
images%3Fq%3Dtable%2Bjoop%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dfr%26sa%3DN


3. Pour étudier des lieux
L'étude de lieux géométriques a été à la source de création de techniques
utilisées dès l'antiquité pour résoudre des constructions par la méthode
dite des deux lieux (trisection de l'angle par exemple).
Les lieux ont aussi été largement utilisés au XVIIe siècle pour définir des
courbes que les mathématiciens étudiaient suite à la création de la
géométrie analytique.
La mécanique a aussi utilisé l'étude des lieux pour connaître la façon dont
se déplaçaient certains points d'une machine (bielle manivelle par
exemple).

Les techniques de résolution peuvent faire apparaître divers contenus
mathématiques.

























http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://pagesperso-
orange.fr/alta.mathematica/images/hire-
elemens11.jpg&imgrefurl=http://pagesperso-
orange.fr/alta.mathematica/lahire.html&usg=__y8s12ZSOlQ-qAyfHZp51xkcd-
DQ=&h=810&w=663&sz=53&hl=fr&start=55&tbnid=kpQi5juBY4LpcM:&tbnh=144&tbn
w=118&prev=/images%3Fq%3Dlieu%2Bg%25C3%25A9om%25C3%25A9trique%26start%3
D54%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dfr%26sa%3DN


4. Pour déterminer la mesure d'une grandeur ou une mesure approchée
d'une grandeur
- en utilisant des formules
- en utilisant des théorèmes vus au collège (théorèmes de Thalès, de
Pythagore...)
- en utilisant les propriétés des triangles isométriques
- en utilisant les propriétés des triangles semblables
[pic]
Astrolabe http://astrolabe-visions-du-monde.chez-
alice.fr/astrolabe.JPG


5. Pour exprimer une grandeur en fonction d'autres grandeurs
- en utilisant des théorèmes vus au collège (théorèmes de Thalès, de
Pythagore...)
- en utilisant les propriétés des triangles isométriques
- en utilisant les propriétés des triangles semblables.
Ce type de problème apparaît dans les situations fonctionnelles.


6. Pour construire des segments de longueur donnée, c'est à dire
initier au calcul graphique
- en utilisant des propriétés vues au collège (Thalès, Pythagore, angles,
symétrie, médiatrices ...)
- en déterminant des relations algébriques dans une figure
- en transformant l'écriture d'un nombre.


7. Bilan
Ces réponses ont été étudiées par les mathématiciens depuis l'antiquité.
Mais les théories sous jacentes ont été construites à partir de grandes
questions que les hommes se sont posés :
- Comment déterminer des grandeurs inaccessibles ?
- Comment inscrire ou circonscrire une figure à une autre ?
- Comment construire des polygones réguliers ?
- Comment paver le plan avec motifs répétés ? (avec quels algorithmes ?)
- Idem avec les frises ?
- Comment construire des segments de longueurs données par une relation
na, a/b etc. a et b étant les mesures de segments donnés ?
- Comment comparer deux grandeurs sans calcul (quadratures et cubatures
ou superposition par découpage) ?
- Comment exprimer une grandeur en fonction d'autres grandeurs ?
- Comment déterminer la mesure d'une grandeur ?
- Comment ramener une démonstration géométrique à un problème de
calcul ?
- Comment construire une figure astreinte à respecter des
conditions ?
- Comment déterminer un lieu géométrique ? [1]
- Comment savoir si une méthode de construction est exacte ou
approchée ? ** [2]
- ...


On peut remarquer que, par ces questions, nous sommes plus souvent
tournés vers le passé car l'enseignement demandé (tout en ayant des
applications actuelles) est fondée sur la géométrie d'Euclide.
Actuellement, la géométrie discrète (celle des ordinateurs) est plus
porteuse au niveau de la recherche mais pour la comprendre encore faut-il
savoir en quoi elle diffère de la géométrie de tous les jours qui est celle
d'Euclide. Ces questions résultent de problèmes issus soit des
mathématiques soit hors mathématiques. Le rôle de la géométrie ne se dément
pas aujourd'hui même si les conditions ne sont plus purement géométriques
mais parfois mécaniques