EXERCICE I Record de saut en longueu à moto (6 points)

EXERCICE I. RECORD DE SAUT EN LONGUEUR À MOTO (6 points)
Polynésie 09/2009 Correction ©
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1. La phase d'accélération du motard.

1.1. [pic] le facteur d'échelle donne : 1 cm (document) ( 2 m (réel)
avec G1G3 = 6,4 cm sur le document donc réellement : G1G3 = 6,4 × 2 / 1
= 12,8 m
[pic]= 8,0 m.s-1
[pic]
avec G3G5 = 12,8 cm sur le document donc réellement : G3G5 = 12,8 × 2 / 1 =
25,6 m
[pic] = 16,0 m.s-1
1.2. Voir ci-contre. Échelle des vitesses : 1 cm ( 2 m.s-1 donc
[pic] représenté par une flèche de 8,0 × 1/2 = 4,0 cm
[pic] représenté par une flèche de 16,0 × 1/2 = 8,0 cm
Les vecteurs vitesses sont tangents à la trajectoire et orientés dans le
sens du mouvement.

1.3. Voir ci-contre. Construction du vecteur [pic] = [pic] - [pic] en G3.


1.4. Expression du vecteur accélération [pic] au point G3 : [pic]


[pic]. Or le vecteur [pic] mesure 4,0 cm donc avec l'échelle des vitesses


1 cm ( 2 m.s-1 ; (v3 = 4,0×2 / 1 = 8,0 m.s-1


Finalement : [pic] = 5,0 m.s -2.

1.5.1. Le graphe de la figure 2 est une droite passant par l'origine,
donc la vitesse est proportionnelle au temps : v = k . t.
Par définition l'accélération a est a = [pic] ; ici a = [pic] = k = Cte.
L'accélération de la moto est constante.


1.5.2. On détermine le coefficient directeur de la droite :


entre les points (0 ; 0) et ( 50 ; 10 ) : [pic]= 5,0 m.s-2.


On retrouve bien la valeur obtenue graphiquement en 1.4.


1.5.3. distance parcourue par le motard lorsque celui-ci a atteint une
vitesse de 160 km.h-1 :
On a 160 km.h-1 = (160/3,6) = 44,4 m.s-1. On trace la droite horizontale
d'équation v = 44,4 sur la figure 2. Le point d'intersection avec le graphe
v(t) donne en abscisse, le temps de parcours. On reporte ce temps de
parcours sur la figure 3 : le point d'intersection avec le graphe d(t) nous
donne la distance parcourue.
On mesure ici : d = 195 m, cette détermination graphique étant
approximative, on ne conserve que deux chiffres significatifs, d = 2,0(102
m.





































2. La montée du tremplin.
2.1. Énergie mécanique : EM = EC + EPP = ½.m.v² + m.g.z
(avec axe Oz vertical orienté vers le haut et l'origine des énergies
potentielles prise en z = 0).

2.2. Variation d'énergie potentielle de pesanteur entre B et C :


(EPP= EPP(C) - EPP(B) = m.g.zC - 0 = m.g.OC


Or sin( = OC / BC ( OC = BC . sin(


Donc (EPP= m.g.BC.sin(.


(EPP = 180 × 9,81 ×7,86 × sin(27) = 6,3 ×103 J = 6,3 kJ.

2.3. Entre B et C le motard maintient une vitesse constante donc (EC= EC(C)
- EC(B) = 0.
Comme EM = EC + EPP alors (EM = (EC + (EPP = (EPP > 0.
Donc EM(C) > EM(B) : ainsi l'énergie mécanique du système augmente
lorsqu'il passe de B à C.

3. Le saut.
3.1. Le mouvement du système { motard + moto }, de masse m, est étudié dans
le référentiel terrestre supposé galiléen. Le système n'étant soumis qu'à
son poids, la deuxième loi de Newton donne : [pic]
Or [pic] donc [pic] soit [pic]
En projection dans le repère (O,[pic],[pic]) il vient : [pic]
Comme [pic] alors [pic] il vient [pic]
Or [pic] soit [pic] il vient finalement : [pic]
Et [pic] alors [pic] il vient [pic]
Or [pic] soit [pic] il vient finalement : [pic]


3.2. On isole le temps « t » de l'équation x(t) = (v0.cos().t que l'on
reporte dans z(t) :

t = [pic] ( z(x) = [pic]
finalement : z(x) = -[pic].x² + (tan().x + h

3.3. « L'atterrissage » se fait sur le tremplin si z(xD) ( h. La distance
maximale du point D correspondant au cas de l'égalité : z(xD) = h

Soit : - [pic].xD² + (tan().xD + h = h ( xD.[pic]= 0

En écartant la solution xD = 0, il vient : [pic]= 0

soit [pic] ; [pic] ; [pic]

« Maths » : sin(a+b) = sin a . cos b + cos a . sin b, donc 2 sin ( . cos (
= sin 2(

Finalement : [pic]

3.4. [pic]= 162,9 m = 1,6(102 m
Cette valeur est supérieure à 107 m. Cette différence est due aux forces de
frottements qui n'ont pas été prises en compte lors de l'étude du système ;
elles diminuent la portée du saut.
-----------------------
d (m)

0

[pic]

0

1

3

44,4 m.s-1

195 m

5

7

G0 G1 G2 G3 G4
G5

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

9

250

200

150

100

50

10

8

6

4

2

t (s)

Figure 3 : Distance d parcourue par le système en fonction du temps

Figure 2 : Valeur v de la vitesse du système en fonction du
temps.

60

5

7

1

3

9

50

40

30

20

10

v (m.s-1)

10

8

6

4

2

t (s)

60 m.s-1 ( 6,0 cm
44,4 m.s-1 ( x cm

x = (44,4(6,0)/60
x = 4,4 cm

4,4 cm

300 m ( 6,0 cm
d m ( 3,9 cm

d = (3,9(300)/6,0
d = 195 m

6,0 cm

3,9 cm

6,0 cm