MECANIQUE : TD n°3

ELECTROMAGNETISME : TD n°4
A - APPLICATIONS DU COURS
1°) Calculer l'énergie (en eV) et la vitesse d'un électron accéléré
par une différence de potentiel : V=10kV.
Rép : 1°) Ek=10keV et v=((2eU/m)=1,88.105m.s-1. 2°) Montrer qu'un électron de vitesse initiale v0 contenue dans un
plan (xOy), décrit, en présence du champ magnétostatique uniforme B=Bez une
trajectoire circulaire dont on calculera le rayon.
Rép : Rc=mv0/eB 3°) Spectrographe de Brainbridge : dans un tel spectrographe les ions
sortant d'un ioniseur où ils ont été préalablement accélérés sous une
tension de valeur absolue, traversent d'abord un filtre de vitesse,
pénètrent ensuite dans un champ magnétique uniforme B=Bez, puis décrivent
un demi-cercle et viennent impressionner la plaque photographique. La fente
F étant supposée très fine, déterminer la distance séparant les traces
rectilignes associées à ses deux isotopes.
Calculer la distance séparant les isotopes 39K+ et 41K+ pour B=0,1T
et U=10kV. Rép : Si A est le nombre de masse :
FM=2((2Ump/e)/B.(A(0,289(A(FM(39)=1,806m et FM(41)=1,852m 4°) Dans le cas du cuivre, chaque atome de cuivre fournit un électron
de conduction. Calculer le nombre nv d'électrons de conduction par unité
de volume.
A.N : (=8900kg.m-3, M=63,6g.mol-1 et NA=6,02.1023
Rép : n=NA(/M=8,4.1028.m-3. 5°) Retrouvez l'expression de différence de potentiel de Hall du
cours.
Rép : UH=IB/nqa où a est la hauteur du ruban conducteur.
B - TRAVAUX DIRIGES
I - SPECTROGRAPHES DE MASSE DE DEMPSTER ET BAINBRIDGE
Une source ponctuelle S d'ions positifs émet un pinceau très étroit
composé de deux types de particules de masses m1 et m2, de charges
respectives q1 et q2, avec une vitesse initiale négligeable ; ils sont
accélérés par une d.d.p U, vers la fente A d'un plan P, puis déviés par un
champ magnétique B uniforme perpendiculaire à leur trajectoire.
Demptser :
1°) Exprimer la distance d de leurs points d'impact sur le plan P.
Quelle doit être la largeur maximale d'un collecteur C, convenablement
placé sur le plan P qui permettrait de séparer les deux isotopes du mercure
(Z=80) de masses atomiques A1= 200 et A2=202.
On donne : B=0,20 T , U= 12kV, charge élémentaire e=1,6.10-19C, unité de
masse atomique 1,6.10-27kg. Bainbridge
2°) Des ions positifs de masses et de charges différentes, émis par la
source S sans vitesse, accélérés par la ddp U, traversent la fente A du
plan P, puis passent entre P et P' dans un filtre de vitesse constitué par
deux champs E1 et B1 uniformes et orthogonaux, puis pénètrent en A' dans
une capsule où règne une induction B uniforme qui leur impose une
trajectoire circulaire de rayon R; enfin , ils impressionnent une plaque
photographique.
a) Expliquer le rôle du filtre de vitesse.
b) Exprimer la charge massique q/m des particules qui impressionnent
la plaque en fonction de E1, B1 ,B et R.
c) Calculer la distance, sur la plaque photographique, entre les
points d'impact des isotopes du mercure.
A.N : B = 0,20T; E1= 6,0.104V/m, B1 = 0,l0T Rép : 1°) d=2((2U)./B.(((m2/q2)-((m1/q1)(=1,2mm 2°) a) filtre tel
que v0=E1/B1 b) q/m=E1/BB1R c) d=2E1/ZeBB1.(m2-m1)=1,5mm
II - LA RESONANCE CYCLOTRONIQUE
Une particule P de charge q et de masse m est lancée depuis le point
(a,0,0) avec une vitesse initiale non-relativiste (0,-(0a,(a(0) dans un
champ magnétique uniforme et permanent B=Bez (avec (0=qB/m).
1°) Déterminer les équations de la trajectoire x(t) & y(t). (La figure
1 donne l'allure de celle-ci)
2°) En plus de B, on applique un champ électrique E de direction
orthogonale à B, uniforme dans la région où de déplace la particule et
variant simultanément dans le temps: E=E0cos(t ex
Démontrer que l'équation différentielle régissant le mouvement
est:[pic]où l'on déterminera ( en fonction de q,E0,m,a & (0².
3°) Résoudre cette équation différentielle dans le cas où (((0 en
prenant la solution particulière sous la forme x2=(cos((t). En déduire que
:
x/a=(1-()cos((0t)+(cos((t) où (=((0²/((0²-(²)
& y/a=-(1-()sin((0t)-((0/(.sin((t)
4°) Mettre en évidence l'existence d'une résonance dans le cas
particulier où (=(0. Pour résoudre l'équation différentielle on prendra
comme solution particulière x2=(tsin((t). (La figure 2 donne l'allure de
celle-ci, on n'essayera pas de calculer y(t))
5°) Expliquer comment le dispositif précédent, appliqué à des
particules soumises initialement au seul champ magnétique et formant donc
un faisceau de direction Oz, peut servir à réaliser une séparation
isotopique. Rép : 1°) x(t)=acos((0t), y(t)=-asin((0t) et z(t)=a((0t 2°)
(=qE0/ma(0² 3°) (=(a... 4°) x(t)=acos((0t)+(/2.(0atsin((0t)
5°) Il suffit de sélectionner (=(0 pour une des particules et utiliser un
diaphragme pour réaliser la séparation. III - Mesure de e/m avec les bobines d'Helmholtz
Dans le montage suivant, les électrons préalablement accélérés par
une différence de potentiel V=2,5kV, décrivent dans l'ampoule où règne un
vide poussé une trajectoire de rayon Rc=3,27cm. Le champ magnétique créé
par les bobines, en géométrie d'Helmholtz, est quasi-uniforme et sa valeur
numérique égale à 5,12mT.
1°) Donner l'expression de Rc en fonction de e,B,m et v0 : vitesse
initiale des électrons.
2°) En déduire le rapport e/m. Rép : 1°) Rc=mv0/qB 2°) e/m=2U/Rc²B²=1,8.1011C.kg-1 C - EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - EXPERIENCE DE MILLIKAN
Entre deux plateaux horizontaux d'un condensateur plan à air,
distants de h=16mm, on introduit de petites gouttes de glycérine de rayon
uniforme a. On prendra g=10ms-2.
Le condensateur n'est pas chargé:
1°) Montrer que chaque goutte, abandonnée sans vitesse, atteint une
vitesse limite V(=[pic], pour cela on écrira la force de frottement de
l'air sous la forme f=-6((av & on n'oubliera pas la poussée d'Archimède.
2°) A l'aide d'une lunette d'observation, on constate qu'une goutte
parcourt 7,84mm en 20,4s. Donner la valeur de a
En présence d'une ddp U entre les armatures
3°) Exprimer la nouvelle vitesse limite Vl d'une goutte qui porte la
charge q.
4°) Pour immobiliser la goutte, il faut appliquer une tension
U1=7,0kV. Calculer la charge q de la charge.
5°) Quelle était le but de Millikan pour cette expérience d'après
vous ?
Données numériques: - g=9,8ms-2
- coefficient de viscosité de l'air (=1,83.10-5kg.m-1.s-
1
- masse volumique de la glycérine (=1260kg.m-3
- masse volumique de l'air ('=1,3kg.m-3 Rép : 1°) Soit dv/dt+v/(=g((-(')/( où (=2/9.(a²/((. 2°) a=1,6(m 3°)
vl=v(-qU/6((ah 4°) q=3e 5°) Quantification de la charge électrique.3
II - LE CYCLOTRON
On suppose que le rayon intérieur des dees d'un cyclotron est 0,50m,
que le champ magnétique créé par un aimant supraconducteur est B=2,0T, et
que la tension accélératrice maximale est U=100kV.
1°) Déterminer l'énergie cinétique maximale que peuvent acquérir des
protons ainsi que la vitesse en fin de séjour dans le cyclotron.
On admet que l'on peut utiliser en première approximation la mécanique
classique si le facteur relativiste (=[pic]>0,94
à tout instant. Vérifier que c'est le cas. 2°) Déterminer la durée t du passage dans le cyclotron, et montrer que
cette durée ne dépend pas de la particule considérée mais seulement des
caractéristiques du cyclotron.
Rép : 1°) Ekmax=48MeV 2°) t=NT/2=(/2.BR²/U=7,9(s III - EXPERIENCE DE THOMSON - MESURE DE LA CHARGE MASSIQUE q/m Données numériques: B=0,020T , l=4,0cm , D=50cm , p=3,8cm On fait agir simultanément un champ électrique uniforme E=-Eey et un
champ magnétique B=-Bey uniforme sur un pinceau monocinétique d'électrons
de vitesse initiale v0=v0ez sur une même longueur l.
1°) Exprimer la déflexion électrique De due à la seule présence du champ
électrique sur un écran placé normalement à ez à la distance D tel que
D »l.
2°) Exprimer la déflexion magnétique Dm due à la seule présence du champ
magnétique sur un écran placé normalement à ez à la distance D tel que
D »l.
3°) On notera dans la suite X=Dm & Y=De. Montrer que les mesures de X & Y
permettent de déterminer la charge massique e/m de l'électron.
4°) Des particules de charges, de masses et de vitesses différentes, mais
de même direction initiale pénètrent dans l'espace où règnent les champs E
& B. Montrer que les particules qui ont la même charge massique q/m se
répartissent sur l'écran suivant un arc de parabole de paramètre p tel que
[pic] où [pic]
A.N: Calculer la charge massique des protons si E=104V.m-1, le résultat
vous paraît-il honorable?
5°) On veut mesurer la charge massique e/m d'un pinceau d'électrons
monocinétiques par une autre méthode. Les électrons de vitesse v0 dirigée
suivant Oz, pénètrent dans une région de longueur l où régnaient
simultanément un champ électrique E de direction Oy, de sens et d'intensité
réglable et un champ magnétique B fixe de direction Ox.
On règle E de façon à ramener le spot au même point C de l'écran qu'en
l'absence de champ. Caractériser le champ E et en déduire la vitesse v0 du
pinceau d'électrons.
6°) On supprime le champ B du 5°). On mesure le déviation électrique
Y=44,5mm. En déduire la charge massique e/m des électrons.
A.N: E=3,2.106V.m-1 ; ce résultat vous paraît-il raisonnable? Rép : 1°) Y=eElD/mv0² 2°) X=DleB/mv0 3°) e/m=E/B²lD.X²/Y 4°)
q/m=0,96.108C.kg-1 5°) E0=Bv0
6°) e/m=YE/B²lD=1,8.1011C.kg-1