1ère S Géométrie dans l'espace - Exercices corriges

Image: 690138. Titre de l'évaluation préliminaire : Optique géométrique et optique physique ..... Des exercices corrigés se rapportant au chapitre traité sont présentés. ..... L'enseignant ou l'enseignante ouvre l'espace chat, corrige toutes les productions de chaque groupe et les comptes rendus envoyés par fichier attaché.


un extrait du document



1ère S3 Corrigé des exercices du cours
Géométrie dans l’espace

Rappels

Pour vérifier les acquis
VRAI - FAUX
Pour chacune des affirmations suivantes, notez V dans la case qui la précède si vous êtes certain qu’elle
est vraie et notez F si vous êtes certain qu’elle est fausse ;
1)Trois droites concourantes sont toujours coplanaires. Faux, on suppose que l’une d’entre elles est l’intersection de deux plans ,contenant chacun l’une des deux autres droites.
2) Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles. Faux, et si elles ne sont pas coplanaires ?
3) Deux droites parallèles sont coplanaires. Vrai, par définition.
4) Deux droites orthogonales sont coplanaires. Faux, elles n’ont pas besoin d’être dans le même plan, ce sont leur parallèles qui le sont.
5) Les points K, L et M sont alignés. Faux. Les points M et K appartiennent à la face (ABC) ,alors que L, non ! On ne peut donc pas tracer de droites contenant ces trois points
6) Les points A, D et K sont coplanaires. Vrai car A est le point d’intersection entre les droites (AD) et (AK), et donc ces deux droites définissent le plan (ADK).
7) Faux : I appartient au plan (ABC), ce qui n’est pas le cas de J, alors Les droites ( BC ) et ( IJ ) ne sont pas parallèles.
8) . Vrai. L appartient naturellement au plan (BLC) ,de plus, L appartient à la droite (AD), incluse dans le plan (AKD).
K appartient naturellement au plan (AKD), de plus, K appartient à la droite (BC), incluse dans le plan (BLC). Conclusion : La droite (KL) est la droite d’intersection des plans (AKD) et (BLC).

Livre page 234












Vecteurs de l’espace
Exercices
Droites et plans de l’espace
Exercice 1
On considère une pyramide SABCD dont la base ABCD est
un parallélogramme.
I, J, K et L sont les milieux respectifs des
segments [SA], [SB], [SC] et [SD].
On note :  EMBED Equation.DSMT4  ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Identifier chacune des droites suivantes :
D EMBED Equation.DSMT4  est la droite (SA),
D EMBED Equation.DSMT4 est la droite (DC)
D EMBED Equation.DSMT4 est la droite (KL).
D EMBED Equation.DSMT4 est la droite (AC) et
D EMBED Equation.DSMT4 est la droite (BD).
Compléter par un vecteur exprimé à l’aide des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  :
 EMBED Equation.DSMT4 D EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 D EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 D EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 D EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer par trois points non alignés parmi S, A, B, C, D, I, J, K et L chacun des plans
suivants :
P  EMBED Equation.DSMT4 est le plan (SAB)
P  EMBED Equation.DSMT4  est le plan (CAB) ou même avec D
P  EMBED Equation.DSMT4  est le plan (SAC)
P  EMBED Equation.DSMT4  est le plan (SCB)
Exprimer en fonction de  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  un couple de vecteurs directeurs de chacun des plans
suivants :
 EMBED Equation.DSMT4 admet pour vecteurs directeurs  EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ( on pourrait écrire :  EMBED Equation.DSMT4 )
 EMBED Equation.DSMT4  admet pour vecteurs directeurs  EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4  et EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  admet pour vecteurs directeurs  EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4  et EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  admet pour vecteurs directeurs  EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4  et EMBED Equation.DSMT4 










Vecteurs coplanaires
Exercice 2 
On considère le cube ABCDEFGH.
Les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont-ils coplanaires ?


A est le point d’intersection entre les droites (AE) et (AG), alors ces deux droites définissent le plan ( AEG) : la réponse est donc oui.

Même question avec les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .

D’après les propriétés du cube , on peut écrire :  EMBED Equation.DSMT4 
Et donc, les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 sont coplanaires.

Montrer que les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ne sont pas coplanaires.

Les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  déterminent le plan ( AEH) car  EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
Or le point F appartient au plan (BCF), qui est parallèle à ( AEH).
Conclusion : les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ne sont pas coplanaires.







Exercice n°15 page 248

Parallélisme de droites : TD n°5 page 243 
Parallélisme d’une droite et d’un plan
Exercice 3

ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AD], J celui de [BC] .
E est le point défini par  EMBED Equation.DSMT4 , et M est le point défini par  EMBED Equation.DSMT4 .


a. Faire une figure et placer les points E et M.
Pour construire le point E, on utilise la règle du parallélogramme :  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour construire le point M :  EMBED Equation.DSMT4 
Démontrer que la droite  EMBED Equation.DSMT4 est parallèle au plan EMBED Equation.DSMT4 .
On utilise la propriété.
On sait depuis le 1°) que  EMBED Equation.DSMT4 
Les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  sont colinéaires, donc : la droite  EMBED Equation.DSMT4 est parallèle au plan EMBED Equation.DSMT4 .
a. On considère les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Calculer  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont coplanaires.

 EMBED Equation.DSMT4 . Donc :  EMBED Equation.DSMT4 .
Ce que l’on peut écrire, par exemple :  EMBED Equation.DSMT4 , c’est-à-dire que les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont coplanaires.
Justifier que la droite  EMBED Equation.DSMT4  est parallèle au plan  EMBED Equation.DSMT4 .

En fait, on parle du plan EMBED Equation.DSMT4 . Or la droite (BC) peut être définie ainsi :  EMBED Equation.DSMT4 .
Or, les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont coplanaires. Alors, la droite  EMBED Equation.DSMT4  est parallèle au plan  EMBED Equation.DSMT4 


a. G est le centre de gravité du triangle ABC. Exprimer les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 
en fonction des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .

On utilise la règle du parallélogramme :  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour  EMBED Equation.DSMT4 ,il faut partir de la définition du centre de gravité :  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 .Il faut faire intervenir  EMBED Equation.DSMT4 . Si on regarde bien :  EMBED Equation.DSMT4 ( règle d u…)
Ainsi :  EMBED Equation.DSMT4 

Que peut-on en déduire pour les points E, G et I ?

D’après le résultat précédent, ces trois points sont alignés.

Placer le point G sur la figure.










1ère S2 – Corrigé des exercices du cours sur la géométrie dans l’espace - 2008-2009 -  PAGE 5 -






























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