II. Transformation de Fourier - Examen corrige

Exercice n°4. 5. Exercice n°5. E. Formulaire. II. Transformation de Fourier. A. Généralités. 1. Définition. 2. Théorèmes d'inversion. B. Propriétés. 1. Linéarité. 2. ...... programmes vont optimiser le calcul grâce à des algorithmes perfectionnés qui donnent un calcul de transformée rapide (ou FFT = Fast Fourier Transform).


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 TOC \o "1-3" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc498325964" I. Transformation de Laplace  PAGEREF _Toc498325964 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc498325965" A. Définition  PAGEREF _Toc498325965 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc498325966" B. Transformée de fonctions élémentaires  PAGEREF _Toc498325966 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc498325967" 1. Fonction échelon unité (fonction d’Heaviside) U(t)  PAGEREF _Toc498325967 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc498325968" 2. Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac)  PAGEREF _Toc498325968 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc498325969" 3. Fonction puissance  PAGEREF _Toc498325969 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc498325970" 4. Fonction exponentielle  PAGEREF _Toc498325970 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc498325971" 5. Propriétés  PAGEREF _Toc498325971 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc498325972" 6. Transformée de la dérivée  PAGEREF _Toc498325972 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc498325973" 7. Transformée de la primitive  PAGEREF _Toc498325973 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc498325974" C. Produit de convolution  PAGEREF _Toc498325974 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc498325975" 1. Définition  PAGEREF _Toc498325975 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc498325976" 2. Théorème  PAGEREF _Toc498325976 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc498325977" 3. Application de la transformation de Laplace aux systèmes différentiels  PAGEREF _Toc498325977 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc498325978" D. Applications  PAGEREF _Toc498325978 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc498325979" 1. Exercice n°1  PAGEREF _Toc498325979 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc498325980" 2. Exercice n°2  PAGEREF _Toc498325980 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc498325981" 3. Exercice n°3  PAGEREF _Toc498325981 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc498325982" 4. Exercice n°4  PAGEREF _Toc498325982 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc498325983" 5. Exercice n°5  PAGEREF _Toc498325983 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc498325984" E. Formulaire  PAGEREF _Toc498325984 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc498325985" II. Transformation de Fourier  PAGEREF _Toc498325985 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc498325986" A. Généralités  PAGEREF _Toc498325986 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc498325987" 1. Définition  PAGEREF _Toc498325987 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc498325988" 2. Théorèmes d’inversion  PAGEREF _Toc498325988 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc498325989" B. Propriétés  PAGEREF _Toc498325989 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc498325990" 1. Linéarité  PAGEREF _Toc498325990 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc498325991" 2. Fonctions conjuguées – transformation affine  PAGEREF _Toc498325991 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc498325992" 3. Dérivation et Intégration  PAGEREF _Toc498325992 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc498325993" C. Convolution  PAGEREF _Toc498325993 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc498325994" D. Exemples  PAGEREF _Toc498325994 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc498325995" 1. Transformée d’une fréquence unique  PAGEREF _Toc498325995 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc498325996" 2. Transformée d’une fonction paire: le cosinus  PAGEREF _Toc498325996 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc498325997" 3. Transformée d’une fonction impaire: le sinus  PAGEREF _Toc498325997 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc498325998" 4. Transformée d’une fonction constante  PAGEREF _Toc498325998 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc498325999" 5. Transformé d’une fonction porte  PAGEREF _Toc498325999 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc498326000" 6. Relation entre largeur temporelle d’une fonction et largeur de son spectre  PAGEREF _Toc498326000 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc498326001" 7. Transformée d’une fonction tronquée (transformée fenêtrée)  PAGEREF _Toc498326001 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc498326002" 8. Transformée d’un peigne de Dirac  PAGEREF _Toc498326002 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc498326003" 9. Calcul de la Transformée de Fourier  PAGEREF _Toc498326003 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc498326004" 10. Cas de la Transformée de Fourier en deux dimensions  PAGEREF _Toc498326004 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc498326005" E. Cas des fonctions périodiques  PAGEREF _Toc498326005 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc498326006" 1. Définition d’une série trigonométrique  PAGEREF _Toc498326006 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc498326007" 2. Calcul des coefficients de Fourier  PAGEREF _Toc498326007 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc498326008" 3. Conclusion fondamentale  PAGEREF _Toc498326008 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc498326009" 4. Cas d’une fonction de t, périodique de période T:  PAGEREF _Toc498326009 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc498326010" 5. Remarques  PAGEREF _Toc498326010 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc498326011" F. Corollaires  PAGEREF _Toc498326011 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc498326012" 1. Egalité de Parceval  PAGEREF _Toc498326012 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc498326013" 2. Largeur des paquets d’énergie  PAGEREF _Toc498326013 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc498326014" G. Applications  PAGEREF _Toc498326014 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc498326015" 1. Exercice n°1  PAGEREF _Toc498326015 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc498326016" 2. Exercice n°2  PAGEREF _Toc498326016 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc498326017" 3. Exercice n°3  PAGEREF _Toc498326017 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc498326018" 4. Exercice n°4  PAGEREF _Toc498326018 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc498326019" III. Résolution d’équations algébriques  PAGEREF _Toc498326019 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc498326020" A. Les objectifs  PAGEREF _Toc498326020 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc498326021" B. Analyse mathématique  PAGEREF _Toc498326021 \h 35
 HYPERLINK \l "_Toc498326022" C. Les méthodes itératives  PAGEREF _Toc498326022 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc498326023" 1. Méthodes du 1er ordre  PAGEREF _Toc498326023 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc498326024" 2. Méthode de Newton (2ème ordre)  PAGEREF _Toc498326024 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc498326025" 3. Autres méthodes  PAGEREF _Toc498326025 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc498326026" D. Remarques sur la méthode de Newton  PAGEREF _Toc498326026 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc498326027" 1. Initialisation  PAGEREF _Toc498326027 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc498326028" 2. Annulation de la dérivée  PAGEREF _Toc498326028 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc498326029" 3. Calcul de la dérivée  PAGEREF _Toc498326029 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc498326030" 4. Tests d’arrêt  PAGEREF _Toc498326030 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc498326031" IV. Résolution de systèmes d’équations  PAGEREF _Toc498326031 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc498326032" A. Rappels d’algèbre linéaire  PAGEREF _Toc498326032 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc498326033" 1. Calcul matriciel (rappels)  PAGEREF _Toc498326033 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc498326034" 2. Diagonalisation  PAGEREF _Toc498326034 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc498326035" 3. Algorithmes  PAGEREF _Toc498326035 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc498326036" B. Méthodes directes pour la résolution de systèmes linéaires  PAGEREF _Toc498326036 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc498326037" 1. Méthodes classiques  PAGEREF _Toc498326037 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc498326038" 2. Inversion de matrice  PAGEREF _Toc498326038 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc498326039" C. Méthodes itératives pour les systèmes d’équations  PAGEREF _Toc498326039 \h 50
 HYPERLINK \l "_Toc498326040" 1. Systèmes linéaires  PAGEREF _Toc498326040 \h 50
 HYPERLINK \l "_Toc498326041" 2. Systèmes non-linéaires  PAGEREF _Toc498326041 \h 52
 HYPERLINK \l "_Toc498326042" 3. Newton-Raphson  PAGEREF _Toc498326042 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc498326043" D. Applications  PAGEREF _Toc498326043 \h 54
 HYPERLINK \l "_Toc498326044" 1. Exercice 1  PAGEREF _Toc498326044 \h 54
 HYPERLINK \l "_Toc498326045" 2. Exercice 2  PAGEREF _Toc498326045 \h 55
 HYPERLINK \l "_Toc498326046" V. Initiation à Matlab  PAGEREF _Toc498326046 \h 57
 HYPERLINK \l "_Toc498326047" A. Eléments de base  PAGEREF _Toc498326047 \h 57
 HYPERLINK \l "_Toc498326048" 1. Qu’est-ce que Matlab ?  PAGEREF _Toc498326048 \h 57
 HYPERLINK \l "_Toc498326049" 2. Documentation - Aide en ligne  PAGEREF _Toc498326049 \h 57
 HYPERLINK \l "_Toc498326050" B. Informations traitées  PAGEREF _Toc498326050 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc498326051" 1. Les types de données  PAGEREF _Toc498326051 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc498326052" 2. Types de base  PAGEREF _Toc498326052 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc498326053" 3. Types évolués  PAGEREF _Toc498326053 \h 60
 HYPERLINK \l "_Toc498326054" C. Opérations algébriques  PAGEREF _Toc498326054 \h 63
 HYPERLINK \l "_Toc498326055" 1. Fonctions élémentaires, opérations arithmétiques  PAGEREF _Toc498326055 \h 63
 HYPERLINK \l "_Toc498326056" 2. Opérations sur les tableaux et matrices carrées  PAGEREF _Toc498326056 \h 63
 HYPERLINK \l "_Toc498326057" VI. Programmation sous Matlab  PAGEREF _Toc498326057 \h 67
 HYPERLINK \l "_Toc498326058" A. Qu’est-ce qu’un programme ?  PAGEREF _Toc498326058 \h 67
 HYPERLINK \l "_Toc498326059" 1. Algorithme + langage = programme  PAGEREF _Toc498326059 \h 67
 HYPERLINK \l "_Toc498326060" 2. Instructions, variables et types  PAGEREF _Toc498326060 \h 67
 HYPERLINK \l "_Toc498326061" 3. Sous-programmes  PAGEREF _Toc498326061 \h 68
 HYPERLINK \l "_Toc498326062" 4. Mise en oeuvre d'un programme  PAGEREF _Toc498326062 \h 68
 HYPERLINK \l "_Toc498326063" 5. Différentes approches de programmation  PAGEREF _Toc498326063 \h 69
 HYPERLINK \l "_Toc498326064" B. Les instructions essentielles  PAGEREF _Toc498326064 \h 70
 HYPERLINK \l "_Toc498326065" 1. Rupture de séquences, arrêt, tests  PAGEREF _Toc498326065 \h 70
 HYPERLINK \l "_Toc498326066" 2. Les boucles  PAGEREF _Toc498326066 \h 71
 HYPERLINK \l "_Toc498326067" 3. Les fonctions Matlab  PAGEREF _Toc498326067 \h 72
 HYPERLINK \l "_Toc498326068" C. Transmission d’information dans un programme  PAGEREF _Toc498326068 \h 73
 HYPERLINK \l "_Toc498326069" 1. Les fichiers  PAGEREF _Toc498326069 \h 73
 HYPERLINK \l "_Toc498326070" 2. Visibilité des variables  PAGEREF _Toc498326070 \h 74
 HYPERLINK \l "_Toc498326071" 3. La gestion des entrées-sorties  PAGEREF _Toc498326071 \h 75
 HYPERLINK \l "_Toc498326072" D. Quelques algorithmes  PAGEREF _Toc498326072 \h 76
 HYPERLINK \l "_Toc498326073" 1. Les tris  PAGEREF _Toc498326073 \h 76
 HYPERLINK \l "_Toc498326074" E. Exercices : Méthodes de résolution  PAGEREF _Toc498326074 \h 80
 HYPERLINK \l "_Toc498326075" 1. Systèmes tridiagonaux par blocs  PAGEREF _Toc498326075 \h 80
 HYPERLINK \l "_Toc498326076" 2. Newton-Raphson  PAGEREF _Toc498326076 \h 80
 HYPERLINK \l "_Toc498326077" VII. Equations différentielles ordinaires  PAGEREF _Toc498326077 \h 82
 HYPERLINK \l "_Toc498326078" A. Notions de base  PAGEREF _Toc498326078 \h 82
 HYPERLINK \l "_Toc498326079" B. Equations du 1er ordre  PAGEREF _Toc498326079 \h 82
 HYPERLINK \l "_Toc498326080" 1. Définitions  PAGEREF _Toc498326080 \h 82
 HYPERLINK \l "_Toc498326081" 2. Théorème  PAGEREF _Toc498326081 \h 83
 HYPERLINK \l "_Toc498326082" 3. Résolution  PAGEREF _Toc498326082 \h 83
 HYPERLINK \l "_Toc498326083" C. Equations du 2d ordre  PAGEREF _Toc498326083 \h 84
 HYPERLINK \l "_Toc498326084" 1. Généralités  PAGEREF _Toc498326084 \h 84
 HYPERLINK \l "_Toc498326085" 2. Equations se ramenant au 1er ordre  PAGEREF _Toc498326085 \h 84
 HYPERLINK \l "_Toc498326086" 3. Equations linéaires du 2d ordre  PAGEREF _Toc498326086 \h 85
 HYPERLINK \l "_Toc498326087" 4. Equation linéaire à coefficients constants  PAGEREF _Toc498326087 \h 87
 HYPERLINK \l "_Toc498326088" D. Intégration par développement en série entière  PAGEREF _Toc498326088 \h 89
 HYPERLINK \l "_Toc498326089" VIII. Intégration numérique  PAGEREF _Toc498326089 \h 91
 HYPERLINK \l "_Toc498326090" A. Problème de conditions initiales  PAGEREF _Toc498326090 \h 91
 HYPERLINK \l "_Toc498326091" 1. Méthodes à pas séparés  PAGEREF _Toc498326091 \h 91
 HYPERLINK \l "_Toc498326092" 2. Méthodes à pas liés  PAGEREF _Toc498326092 \h 95
 HYPERLINK \l "_Toc498326093" B. Autres types de problèmes  PAGEREF _Toc498326093 \h 96
 HYPERLINK \l "_Toc498326094" 1. Problème de conditions limites  PAGEREF _Toc498326094 \h 96
 HYPERLINK \l "_Toc498326095" 2. Systèmes différentiels  PAGEREF _Toc498326095 \h 97
 HYPERLINK \l "_Toc498326096" IX. Optimisation  PAGEREF _Toc498326096 \h 99
 HYPERLINK \l "_Toc498326097" A. Programmation linéaire  PAGEREF _Toc498326097 \h 99
 HYPERLINK \l "_Toc498326098" 1. Introduction  PAGEREF _Toc498326098 \h 99
 HYPERLINK \l "_Toc498326099" 2. Forme canonique d'un programme linéaire  PAGEREF _Toc498326099 \h 99
 HYPERLINK \l "_Toc498326100" 3. Forme standard d'un programme linéaire  PAGEREF _Toc498326100 \h 100
 HYPERLINK \l "_Toc498326101" 4. Solutions optimales et sommets  PAGEREF _Toc498326101 \h 102
 HYPERLINK \l "_Toc498326102" 5. Algorithme primal du simplexe  PAGEREF _Toc498326102 \h 103
 HYPERLINK \l "_Toc498326103" B. Autres méthodes  PAGEREF _Toc498326103 \h 108
 HYPERLINK \l "_Toc498326104" 1. Algorithme du gradient conjugué  PAGEREF _Toc498326104 \h 108
 HYPERLINK \l "_Toc498326105" 2. Algorithme du gradient réduit  PAGEREF _Toc498326105 \h 109
 HYPERLINK \l "_Toc498326106" C. Eléments de théorie des graphes - Flots dans les réseaux -  PAGEREF _Toc498326106 \h 110
 HYPERLINK \l "_Toc498326107" 1. Définitions et propriétés  PAGEREF _Toc498326107 \h 110
 HYPERLINK \l "_Toc498326108" 2. Flot dans un réseau  PAGEREF _Toc498326108 \h 110
 HYPERLINK \l "_Toc498326109" 3. Le problème du flot maximum dans un réseau de transport  PAGEREF _Toc498326109 \h 113
 HYPERLINK \l "_Toc498326110" 4. Algorithme de recherche d’un flot maximum  PAGEREF _Toc498326110 \h 114
 HYPERLINK \l "_Toc498326111" 5. Le problème du flot maximum à coût minimum  PAGEREF _Toc498326111 \h 117


Transformation de Laplace
Définition
Soit f une fonction de la variable réelle t, définie sur R et supposée nulle pour t négatif (fonction causale). On appelle transformée de Laplace de f, la fonction F définie par:
 EMBED Equation.3 
Où p est une variable complexe.
On écrit : F(p) = L [f(t)] ou F(p)  EMBED Equation.3  f(t)
f(t) = L–1 [F(p)] ou f(t)  EMBED Equation.3  F(p)
La transformée de Laplace d’une fonction n’existe que si l’intégrale est convergente, pour cela on est amené à imposer à f deux conditions :
être continue par morceaux sur tout fermé
être « d ordre exponentiel à l infini », c est à dire qu il existe M>0 et að tels que |f(t)|X.
On démontre que si les hypothèses précédentes sont vérifiées, la transformée de Laplace est définie pour p> ðað , ou si p est complexe, pour Re(p) > að . Par la suite on considérera en général que Re(p) > 0.
Transformée de fonctions élémentaires
Fonction échelon unité (fonction d’Heaviside) U(t)

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Comme Re (p)>0, alors  EMBED Equation.3 
Ce qui implique  EMBED Equation.3 
Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac)

 EMBED Equation.3 Si  EMBED Equation.3  tend vers 0, la distribution de Dirac sert à représenter en physique une action s’exerçant sur un instant très court (impulsion).
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 avec Re (p)>0
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  
et finalement :  EMBED Equation.3 
Remarque 
 EMBED Equation.3 , on a  EMBED Equation.3 .
Fonction puissance
Soit  EMBED Equation.3  ( n  EMBED Equation.3 N ).
Calculons donc  EMBED Equation.3 
Posons le changement de variables :  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  (le premier crochet est nul si Re(p)>0 )
D’où :  EMBED Equation.3 . Sachant que  EMBED Equation.3  , on en déduit que :
 EMBED Equation.3  ( n  EMBED Equation.3 N)
Fonction exponentielle
Soit  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Si Re(p + a) > 0 alors,  EMBED Equation.3 
d’où  EMBED Equation.3  
Propriétés
Linéarité
 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3  complexes, L[f(t)] = F(p) et L[g(t)] = G(p)
L[að.f(t) + bð.g(t)] = að.F(p) + bð.G(p)
Exemple : Transformée de Laplace des fonctions circulaires
 EMBED Equation.3 
d où :  EMBED Equation.3 
De même pour  EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 
Règle de similitude (Changement d échelle)
Soit g(t) = f(a.t) ( a>0 )
 EMBED Equation.3 
On pose alors le changement de variables :  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
ce qui permet d’établir :  EMBED Equation.3 
Règle de translation en p
 EMBED Equation.3 
d’où : EMBED Equation.3 
Règle de translation en t
Soit  EMBED Equation.3 
On pose u = t – t0 et du = dt
 EMBED Equation.3 
ce qui permet d’établir :  EMBED Equation.3  où  EMBED Equation.3 est le facteur retard
Exemple

Image d’un créneau entre 0 et t0 :
f(t) = f1(t) + f2(t) = U(t) – U(t – t 0)Il en résulte que :  EMBED Equation.3 
D’où :  EMBED Equation.3 
Application : Transformée d’une fonction périodique
Soit f une fonction bornée sur l’intervalle  EMBED Equation.3  et nulle sur  EMBED Equation.3 . Sa transformée de Laplace est notée  EMBED Equation.3 .
Définissons maintenant la fonction périodique g telle que :
 EMBED Equation.3 
Autrement dit :  EMBED Equation.3 
En appliquant la linéarité et le théorème du retard, on en déduit la transformée de Laplace  EMBED Equation.3  de g :
  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
soit finalement :  EMBED Equation.3 
Transformée de la dérivée
Théorème fondamental
Si f’ est continue par morceaux sur tout fermé [0; x0] et si  EMBED Equation.3 alors :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
En effet, en intégrant par parties, on obtient:
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
f(0+) représentant la limite à droite de f(t) quand t tend vers 0, d’où le théorème.
Généralisation
Si f’’ vérifie à son tour les hypothèses du théorème, on a:
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Cette propriété, qui fait la richesse de la transformée de Laplace sera largement utilisée dans les équations différentielles.
Remarques importantes
Théorème de la valeur initiale:  EMBED Equation.3 
Théorème de la valeur finale:  EMBED Equation.3 
Transformée de la primitive
Si  EMBED Equation.3  ; alors :  EMBED Equation.3 
Démonstration
 EMBED Equation.3  ; EMBED Equation.3 
En appliquant le théorème de la dérivée
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
Il s’ensuit :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
or  EMBED Equation.3  ; d’où le résultat.
Produit de convolution
Définition
La convolution deux fonctions  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  se définit comme étant la fonction :
 EMBED Equation.3  qui se note :  EMBED Equation.3 
Théorème
Dans le cadre de ce chapitre, on s’intéresse à des fonctions f et g nulles pour t < 0 (f et g causales). Ainsi la convolution de ces deux fonctions prendra la forme suivante :
 EMBED Equation.3 
Le changement de s en t-s montre que  EMBED Equation.3  est symétrique par rapport au couple (f,g). Proposons-nous de trouver l’image  EMBED Equation.3 de  EMBED Equation.3 , connaissant les images  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , i.e. :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Expression que l’on peut mettre sous la forme d’une intégrale double :
 EMBED Equation.3 
D étant le demi-quadrant du plan s,t défini par : 0 < s < t. Il s’agit d’une intégrale double généralisée. Si elle existe, elle est calculable en faisant le changement de variable : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 
On trouve : EMBED Equation.3 
On voit donc que  EMBED Equation.3  est le produit de deux intégrales :
 EMBED Equation.3 
Autrement dit :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  CQFD !
Finalement, on a démontré que l’image de la convolution de deux fonctions est égale au produit des images de ces deux fonctions :
 EMBED Equation.3 
Ce théorème est d’un usage fréquent, car il permet souvent de mettre sous une forme calculable l’original du produit de deux fonctions. Si l’original de  EMBED Equation.3  n’est pas apparent, il pourra être commode d’écrire  EMBED Equation.3  sous la forme du produit de deux fonctions, et d’appliquer la formule ci-dessus.
Application de la transformation de Laplace aux systèmes différentiels
Considérons le système différentiel :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
où les  EMBED Equation.3 sont  EMBED Equation.3 constantes données, et les  EMBED Equation.3  n fonctions données de la variable t. C’est un système à coefficients constants avec second membre. Pour le résoudre par le calcul symbolique, on désigne par  EMBED Equation.3  les images de  EMBED Equation.3 . Si on cherche la solution de ce système telle que, pour t=0,  EMBED Equation.3 prenne une valeur donnée  EMBED Equation.3 , on a donc :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Pour calculer les  EMBED Equation.3 , on doit résoudre un système algébrique de n équations linéaires à n inconnues. On en déduit ainsi les  EMBED Equation.3  correspondant à des conditions initiales données. Par l’intermédiaire d’un dictionnaire d’image, on en déduit les expressions des  EMBED Equation.3 .
Dans ce cadre, la transformation de Laplace constitue un moyen relativement simple pour résoudre de tels systèmes, d’autant plus lorsque l’on a à faire à un système homogène, i.e. :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Exemple : Résolution d’un système de dimension deux
Soit le système différentiel suivant :
 EMBED Equation.3  s’annulant pour t = 0.
Soient  EMBED Equation.3  les images de  EMBED Equation.3 . Les images de  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3  sont ici  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 . On a donc :
 EMBED Equation.3 
d’où on tire les expressions pour X et Y :
 EMBED Equation.3 
si f et g étaient explicitement données, on pourrait en déduire directement les expressions de x(t) et y(t). Au contraire, ici  EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3  font intervenir des images dont les origines sont  EMBED Equation.3 . On trouve ainsi, après très peu de calculs :
 EMBED Equation.3 
Applications
Exercice n°1
Calculer les transformées de :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 désignant la partie entière de t.
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Exercice n°2
Trouver les originales de :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3   ; avec  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  ; avec  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Exercice n°3
Résoudre, en utilisant la transformation de Laplace, l’équation différentielle suivante :
 EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3 
Exercice n°4
On définit les fonctions  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 par :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
On notera  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Etablir la relation entre  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 
En déduire la transformée de  EMBED Equation.3 . Sachant que  EMBED Equation.3 , en déduire la transformée de  EMBED Equation.3 . Remarque pour les valeurs entières de  EMBED Equation.3  ?
Montrer que :  EMBED Equation.3 
Exercice n°5
On s’intéresse à la simulation dynamique d’un réacteur parfaitement agité continu (RAC): ce réacteur de volume V est alimenté par un débit F de concentration en produit A, Notée CA0(t). Le courant de sortie est de même débit F que le courant d’entrée, avec un concentration CA(t). On suppose que le produit A se transforme en produit B à l’intérieur du réacteur, suivant une cinétique du premier ordre de constante k.
Par un bilan simple sur le produit A, donner l’équation différentielle régissant le fonctionnement dynamique du réacteur. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme :
 EMBED Equation.3  ;
où K est une fonction de k et de EMBED Equation.3 , qui définit le temps de séjour moyen dans le réacteur, i.e. :  EMBED Equation.3 
A l’aide de la transformée de Laplace, construire la transformée de Laplace du RAC définie comme étant :
 EMBED Equation.3 
où  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  représentent respectivement les transformées de Laplace de  EMBED Equation.3  et de  EMBED Equation.3 . On supposera qu’à t=0,  EMBED Equation.3 . Donner la forme de  EMBED Equation.3  pour la condition d’entrée suivante :  EMBED Equation.3 avec CA0 = constante.

On se propose de construire la fonction de transfert de 2 réacteurs en série :
On suppose que les réactions sont caractérisées respectivement par deux constantes cinétiques k1 et k2.
A l’aide d’un bilan identique au cas traité ci-dessus, montrer, à l’aide de la transformée de Laplace, que la fonction de transfert  EMBED Equation.3  définie par :
 EMBED Equation.3 
est en fait le produit des fonctions de transfert  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 , respectivement des réacteurs 1 et 2.
Montrer que  EMBED Equation.3  est de la forme : EMBED Equation.3 
En supposant a= b, donner la forme de  EMBED Equation.3  pour une fonction d’entrée  EMBED Equation.3  définie comme dans la question précédente. Que devient  EMBED Equation.3  quand  EMBED Equation.3  est considérée comme une impulsion de Dirac  EMBED Equation.3 ?
Généraliser le résultat pour une série de n réacteurs.
Formulaire
f(t)F(p) EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 1
tn EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
F(p+a) EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 tnð EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Transformation de Fourier
Généralités
Définition
Les fonctions de R dans C qui sont sommables (ou absolument intégrables) forment un espace vectoriel noté L1(R ). Cet espace vectoriel est muni de la semi-norme EMBED Equation.3 
Si  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 définie par : EMBED Equation.3 est la transformée de Fourier de f.
Théorèmes d’inversion
Si  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , on a pour presque tout x réel : EMBED Equation.3 
Si  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , et si f est continue sur R : EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Si  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , et si f est continue sur R : EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Si  EMBED Equation.3  est à variations bornées :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  (Lemme de Jordan)
Propriétés
Linéarité
 EMBED Equation.3 
Fonctions conjuguées – transformation affine
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
et plus particulièrement :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

Dérivation et Intégration
Transformée de Fourier des dérivées
Si  EMBED Equation.3  est dérivable et si  EMBED Equation.3 :  EMBED Equation.3 
Si  EMBED Equation.3  est n fois dérivable et si pour tout k EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 , alors :  EMBED Equation.3 
Dérivées des Transformées de Fourier
On pose :  EMBED Equation.3 
Si  EMBED Equation.3 et si  EMBED Equation.3 , alors  EMBED Equation.3  est de classe C1 et  EMBED Equation.3 
Généralisation, on pose :  EMBED Equation.3 .
Si  EMBED Equation.3 et si pour tout k EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 , alors  EMBED Equation.3  est de classe Cn et  EMBED Equation.3 
Convolution
Soient f et g deux applications de R dans C. La convolée, ou produit de convolution des fonctions f et g est l’application définie par :
 EMBED Equation.3 
Soient f et g  EMBED Equation.3  :
 EMBED Equation.3 est définie pour presque tout x
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
les propriétés suivantes sont vraies pour presque tout x :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Si f et g  EMBED Equation.3 , alors :  EMBED Equation.3 
Si f et g  EMBED Equation.3 , et si  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 , alors  EMBED Equation.3 
La transformation de Fourier transforme le produit de convolution en produit simple. Réciproquement, elle transforme le produit simple en produit de convolution. Ce résultat est connu sous le nom du théorème de Plancherel.
Exemples
Il existe plusieurs définition de la transformée de Fourier, qui sont toutes équivalentes à un changement de variables prêt. Dans la suite, on adoptera donc comme définition, pour la transformée :
 EMBED Equation.3 
Et pour la transformée inverse :
 EMBED Equation.3 
Transformée d’une fréquence unique
Prenons un vecteur tournant  EMBED Equation.3  qui tourne à la fréquence n1. f est alors une fonction complexe. Sa transformée est:
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Pour n = n1 cette intégrale n’est pas définie et vaut  EMBED Equation.3 . Pour n  EMBED Equation.3  n1. L’intégrale est nulle. On retrouve donc une « fonction » nulle partout sauf en un point n1où elle prend la valeur EMBED Equation.3 . C’est en fait un Dirac centré sur n1. On le note :  EMBED Equation.3 .
Transformée d’une fonction paire: le cosinus
On a vu que  EMBED Equation.3  est une fonction périodique de fréquence n qui peut s’exprimer sous la forme:  EMBED Equation.3 . Un cosinus est donc constitué uniquement de 2 fréquences n et - n, c’est à dire de 2 vecteurs tournants dont les coefficients sont + ½ et + ½. Sa transformée de Fourier sera donc constituée de 2 Dirac centrés sur n et -n. Cette transformée est une fonction réelle (et paire). Ce résultat est général.
 INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image140.gif" \* MERGEFORMATINET 
Transformée d’un cosinus
Transformée d’une fonction impaire: le sinus
On a vu que  EMBED Equation.3  est une fonction périodique de fréquence n qui peut s’exprimer sous la forme:  EMBED Equation.3 . Un sinus est donc constitué uniquement de 2 fréquences n et -n , c’est à dire de 2 vecteurs tournants dont les coefficients sont -½ i et +½ i . Sa transformée sera donc constituée de 2 Dirac centrés sur n et -n . Cette transformée est une fonction imaginaire et impaire. Ce résultat est général.
 INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image141.gif" \* MERGEFORMATINET 
Transformée d’un sinus
Transformée d’une fonction constante
Une fonction constante f(t)=1 peut être considérée comme un cosinus de fréquence 0, c’est à dire de période infiniment grande. En effet,  EMBED Equation.3 . C’est une fonction « périodique » qui met tellement longtemps avant de « bouger » qu’elle reste toujours au même endroit. Sa transformée sera donc un Dirac centré sur 0. Inversement, la transformée d’un Dirac est une constante.
Transformé d’une fonction porte
Soit une fonction f(t) définie comme suit :
f(t) = 1 si t  EMBED Equation.3 [-a,+a]
f(t) = 0 si t  EMBED Equation.3 [-a,+a]
Calculons sa transformée. C’est le seul cas où on va pouvoir le faire ici facilement et rigoureusement.
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
où la fonction sinus cardinal est définie comme :  EMBED Equation.3 
Ainsi, la transformée d’une porte est un sinus cardinal. Inversement, la transformée d’un sinus cardinal est une fonction porte.
 INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image155.gif" \* MERGEFORMATINET 
Transformée d’une porte
Relation entre largeur temporelle d’une fonction et largeur de son spectre
Reprenons l’exemple précédent:
f(t) = 1 si t  EMBED Equation.3 [-a,+a]
f(t) = 0 si t  EMBED Equation.3 [-a,+a]
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
La largeur de la porte est de 2a. La largeur du lobe central de sa transformée (c’est à dire de son spectre en fréquence) est (1/a).
En effet  EMBED Equation.3 
Donc  EMBED Equation.3 . La fonction  EMBED Equation.3 s’annule donc en n =-1/2a et en n =1/2a, d’où la largeur 1/a.
Si la porte f(t) est très large (fonction qui dure longtemps dans le temps), a sera grand, donc 2/a sera petit et le spectre  EMBED Equation.3 sera étroit.
En revanche, si la porte f(t) est étroite (fonction brève dans le temps), a sera petit, donc 2/a sera grand et le spectre  EMBED Equation.3 sera très large.
A la limite, une impulsion infiniment brève (Dirac) a un spectre infini : une impulsion infiniment brève contient toutes les fréquences. Réciproquement, une fonction cosinus dure de - EMBED Equation.3 à + EMBED Equation.3  , et elle a un spectre étroit (2 Dirac).
Transformée d’une fonction tronquée (transformée fenêtrée)
Soit une fonction f(t) qui prend des valeurs de - EMBED Equation.3 à + EMBED Equation.3 . Si l’on observe cette fonction pendant une durée limitée, par exemple, de t = -a à t = +a, ceci va revenir à étudier la fonction  EMBED Equation.3  où P (t) est la fonction porte étudiée précédemment. En dehors de cette fenêtre d’observation, on considérera que la fonction est nulle. Lorsqu’on fait la transformée de la fonction observée g(t), on ne va pas obtenir exactement la transformée de la fonction f(t). Ceci correspond à une situation très réelle: on ne peut étudier un signal donné que pendant un temps limité! Calculons la transformée de g:  EMBED Equation.3 
D’après la propriété sur les relations entre transformée et produit de convolution, on obtient: EMBED Equation.3 
La transformée de g est donc le produit de convolution entre la transformée de Fourier de f et d’un sinus cardinal. Par exemple, si l’on observe une sinusoïde pendant un temps limité, on obtiendra un sinus cardinal (décalé par rapport à l’origine):
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Le fait d’observer la fonction pendant un temps limité change donc sa transformée.
 INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image159.gif" \* MERGEFORMATINET 
Transformée d’une fonction tronquée
Transformée d’un peigne de Dirac
Soit un peigne de Dirac dont la largeur entre 2 dents successives est T. Sa transformée de Fourier est un peigne de Dirac dont la largeur entre les dents est 1/T. On retrouve ici l’idée qu’un peigne « étroit », aux dents resserrées, a une transformée à dents larges et réciproquement.
 INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image160.gif" \* MERGEFORMATINET 
Transformée de peignes
Conséquence n°1: TF d’une fonction périodique
On a vu qu’une fonction périodique g(t) de période T peut être considérée comme le produit de convolution d’un motif élémentaire f(t) et d’un peigne de Dirac de largeur T:  INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET T
g (t) = [f* INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET T](t)
Si on prend la transformée de cette fonction périodique G(n ), on va obtenir le produit ordinaire de la transformée de f(t): F(n ) par la transformée du peigne: 1/T : G(n ) = F(n ).  INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET 1/T
La fonction G(n ) ne prend donc de valeurs que pour des multiples de 1/T. Cette fréquence 1/T est la fréquence fondamentale, et les multiples sont les harmoniques. On retrouve le résultat suivant: une fonction périodique de période T peut se décomposer en une somme de sinusoïdes de fréquences multiples de 1/T: c’est la décomposition en série de Fourier. On parle de spectre de raies: le spectre d’une fonction périodique n’est pas continu: il est constitué de « raies » que sont le fondamental et les harmoniques. On peut alors simplifier la formulation de la transformée en utilisant les séries de Fourier (voir plus bas).
La transformée d’une fonction périodique est un spectre de raies
 INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image161.gif" \* MERGEFORMATINET 
Fonction périodique & spectre de raies
Conséquence n°2: Transformée d’une fonction échantillonnée
Soit un signal f(t) continu. Nous avons vu qu’il est impossible d’enregistrer toutes les valeurs prises par f avec une précision infinie: on est forcé d’échantillonner f, c’est à dire de noter la valeur prise par f à intervalles réguliers de T: T est la période d’échantillonnage. On obtient la fonction g échantillonnée c’est à dire multipliée par un peigne de Dirac de largeur T: g(t) = f(t) .  INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET T
La transformée de g est donc : G(n ) = [F* INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET 1/T](n )
La transformée d’une fonction échantillonnée (tous les T) est donc périodique de période 1/T. Par exemple, si l’on échantillonne une fonction toutes les millisecondes T = 1 ms, le spectre obtenu sera périodique de période 1/T = 1 kHz.
Echantillonner une fonction revient à périodiser son spectre.

 INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image162.gif" \* MERGEFORMATINET  Échantillonnage & spectre périodique
Calcul de la Transformée de Fourier
Si on connaît une forme analytique du signal, par exemple, si on sait que le signal est une exponentielle, on peut essayer de calculer analytiquement la transformée, c’est à dire de faire le calcul avec les formules mathématiques. Dans le cas contraire, on est forcé de faire un calcul numérique, si possible grâce à un ordinateur.
Comme on l’a vu, un ordinateur ne sait travailler que sur des fonctions discrètes, c’est à dire échantillonnées, c’est à dire sur une liste finie de nombre correspondant aux échantillons du signal. Plusieurs méthodes sont possibles:
certains programmes vont faire le calcul en suivant simplement la formule, mais c’est assez lent
d’autres programmes vont optimiser le calcul grâce à des algorithmes perfectionnés qui donnent un calcul de transformée rapide (ou FFT = Fast Fourier Transform). Le plus courant est l’algorithme de Cooley-Tuckey qui ne peut faire le calcul que pour un nombre d’échantillons égal à 2n. D’autres algorithmes plus complexes, peuvent faire ce calcul sur un nombre quelconque (Goodthomas, Agarwaal-Cooley et Cooley-Tuckey).
certains microprocesseurs sont conçus spécialement pour faire des transformée et des produits de convolution. Ce sont des microprocesseurs dédiés au traitement du signal (DSP = digital signal processors). On en trouve dans de nombreux appareils tels que les téléphones cellulaires.
Ceci dit, il n’est en général pas absolument nécessaire de savoir comment la machine procède: en général, on lui donne les valeurs numériques, et on récupère les valeurs calculées en sortie.
Cas de la Transformée de Fourier en deux dimensions
Si f est une fonction à 2 variables, du style f(x,y), on peut faire sa transformée en 2 dimensions. Il suffit d’appliquer une fois la transformée selon x, puis une deuxième fois selon y. On obtiendra ainsi une fonction F(n x,n y) où n x et n y sont des fréquences selon x et y respectivement.
Cas des fonctions périodiques
Définition d’une série trigonométrique
Une série de Fourier s’écrit sous la forme suivante :
 EMBED Equation.3 
son terme général est donc:  EMBED Equation.3 et dépend d’une variable réelle x.
Remarques
La périodicité de cos(nx) et de sin(nx) permet d’affirmer que la série de Fourier écrite ici est périodique de période 2pð.
Si on suppose qu une fonction f(x) peut être développée en une série de Fourier (de terme général  EMBED Equation.3 ) et on recherche alors tous les coefficients a0, a1, b1, a2, b2, & de cette série.
Calcul des coefficients de Fourier
Connaissant la fonction f(x), on veut la développer en une série de Fourier :
 EMBED Equation.3 
Pour cela on doit encore calculer les an à partir de f(x) et les bn à partir de f(x).
Premier terme a0
Réalisons une opération d intégration (sur une période 2pð) sur chaque terme de l’égalité, on conserve l’égalité :
 EMBED Equation.3 
Or de tous les termes qui se trouvent à droite de l’égalité, seul le premier n’est pas nul (périodicité des cosinus et des sinus).
Il vient donc immédiatement que :  EMBED Equation.3 ce qui permet de dire que le terme a0 du développement en série de Fourier de f(x) est calculable à partir de la relation suivante:
 EMBED Equation.3 
Les coefficients suivants an et bn
Multiplions de part et d’autre de l’égalité par cos(px) (p étant un entier non nul), on conserve toujours l égalité:
 EMBED Equation.3 
Réalisons une opération d intégration (sur une période 2pð) sur chaque terme de l égalité, on conserve l égalité :
 EMBED Equation.3 
Il vient :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Ce qui permet de dire que chaque terme an du développement en série de Fourier de f(x) est calculable à partir de la relation suivante:
 EMBED Equation.3 
de même chaque terme bn du développement en série de Fourier de f(x) est calculable à partir de la relation suivante:
 EMBED Equation.3 
Conclusion fondamentale
(Sous certaines conditions mathématiques toujours vérifiées dans le domaine du signal) Toute fonction f continue (de R dans R) périodique de période 2pð, et intégrable sur la largeur d une période est décomposable en une série de Fourier. Cette décomposition s écrit de la manière suivante :
 EMBED Equation.3 
Si f connaît des points de discontinuité, alors :
 EMBED Equation.3 
Remarques
Si la fonction f est paire, sa transformée l’est également et son développement se réduit aux termes an, i.e. :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Si la fonction f est impaire, sa transformée l’est également et son développement se réduit aux termes bn, i.e. :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Dans le calcul des coefficients de la série de Fourier l’opération d’intégration a été réalisée de -pð à +pð. Elle aurait pu être faite entre n importe quelles bornes séparées de 2pð radians, l important étant de la réaliser sur une période entière de la fonction f(x).
Cas d une fonction de t, périodique de période T:
Une fonction du temps f(t) est périodique de période T, si elle est représentée par un motif de durée T qui se répète indéfiniment. La représentation graphique de f(t) peut avoir l’allure suivante par exemple:
 INCLUDEPICTURE "http://fourier.free.fr/Images/form21.gif" \* MERGEFORMATINET 
La fonction f(t) peut être réécrite en fonction de x (en radians) et s’appellera alors g(x) de période 2pð (radians). Le graphe de g(x) est le même que celui de f(t) mais représenté en fonction de la variable x et non plus t.
 INCLUDEPICTURE "http://fourier.free.fr/Images/form22.gif" \* MERGEFORMATINET 
Dans le changement de variable on est passé de t à x et de T à 2pð. L équation de changement de variable s écrit donc :
 EMBED Equation.3 et on notera :  EMBED Equation.3 
Compte tenu de cette relation entre x et t, la fonction g(x) n est qu une écriture différente de la fonction f(t), on a donc l égalité suivante:
 EMBED Equation.3 
Puisqu’on cherche la série de Fourier de f(t), écrivons d’abord celle de g(x), on en déduira bien celle de f(t).
 EMBED Equation.3 
par suite :  EMBED Equation.3 
les coefficients deviennent :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Remarques
Forme complexe de la série de Fourier
Le terme général de la série de Fourier de f(t) s’écrit à l’aide d’une fonction sinus et d’une fonction cosinus :
 EMBED Equation.3 
Nous savons d’après le chapitre sur les nombres complexes (voir les formules d’Euler), qu’on peut écrire un sinus ou un cosinus à partir d’un complexe et de son conjugué :
 EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 
En utilisant les formules d’Euler, on peut écrire le terme général à l’aide des nombres complexes :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Il en résulte que l’on peut définir le développement en série de f sous la forme :
 EMBED Equation.3 
avec :  EMBED Equation.3 
Analyse harmonique
Une fonction périodique f(t) quelconque est développable suivant la série de Fourier suivante:
 EMBED Equation.3 
Le terme général de la série,  EMBED Equation.3 peut s’écrire avec la factorisation suivante :
 EMBED Equation.3 
de façon évidente:
 EMBED Equation.3 
qui nous permet de poser:
 EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 
L’expression de EMBED Equation.3 devient alors:
 EMBED Equation.3 
et s’écrit aussi :
 EMBED Equation.3 
où  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 .
L’angle EMBED Equation.3  introduit ci-dessus est donc le déphasage du terme général.
Ainsi toute fonction périodique f(t) quelconque se développe en une série de Fourier qui peut aussi s’écrire :
 EMBED Equation.3 
la fonction f(t) apparaît donc comme la somme :
d’un terme constant a0 qui représente la valeur moyenne de f sur une période T
d’une infinité de fonctions sinusoïdales de pulsations, wð, 2wð, & , nwð, & et d amplitudes r1, r2, & , rn& ) avec chacune son propre déphasage jð1, jð2, & ,jðn, & La fonction sinusoïdale de période T (pulsation wð) est appelée le fondamental. Les suivantes, de périodes T/2, T/3, T/4, & ou de pulsations 2wð, & , nwð, & sont appelées les harmoniques de rang n.
La représentation de la transformée de Fourier d’une telle série consiste à représenter l’évolution du rapport  EMBED Equation.3  en fonction de n, qui permet de relativiser les harmoniques présentes par rapport au fondamental.
Corollaires
Egalité de Parceval
Soit f une fonction de carré sommable alors, on définit l’énergie de f par :
 EMBED Equation.3 
L’énergie de f se calcule de la même manière sur son histoire temporelle ou sur son spectre.
Largeur des paquets d’énergie
Soit f telle que :
 EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 
On définit, la largeur du paquet d’énergie dans le temps  EMBED Equation.3 par :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
De même, on définit, la largeur du paquet d’énergie en fréquence  EMBED Equation.3 par :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
L’inégalité de Cauchy-Schwartz permet d’établir :  EMBED Equation.3 
Applications
Exercice n°1
Soit f la fonction 2pð périodique définie par :
 EMBED Equation.3 
Donner son développement en série de Fourier.
Exercice n°2
Soit f la fonction 2pð périodique définie par :
 EMBED Equation.3 
Donner son développement en série de Fourier.
Exercice n°3
Soit  EMBED Equation.3 
Trouver a, b et c tels que :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Exercice n°4
Soit f la fonction 2pð périodique définie par :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
Donner son développement en série de Fourier.

Résolution d’équations algébriques
Les objectifs
Soit f une fonction de la variable réelle x. On se propose de trouver x*, tel que f(x*) = 0.
Cette problématique n’est pas anodine car il n’existe que très peu de fonction que l’on sait résoudre analytiquement. Par exemple, on peut citer les polynômes, et encore, leur résolution symbolique devient impossible dès que leur degré devient strictement supérieur à 4. Pour des équations plus générale, la résolution analytique relève du hasard. Par exemple, une équation aussi simple que f(x) = cos(x) – x = 0 ne peut être obtenue analytiquement.
On va présenter dans ce chapitre un certain nombre de méthodes itératives à même de résoudre de tels problèmes. Le principe de base va consister à une construire des suites récurrentes  EMBED Equation.3  telles leurs limites soient x*, la valeur initiale étant x0.
Du point de vue numérique, il est clair que l’on n’obtiendra jamais la vraie valeur de x*, du fait des erreurs de calcul inhérentes aux machines utilisées (ordinateur, calculette). Au mieux obtiendra-t-on une bonne approximation de x*.
Exemple : résolution de  EMBED Equation.3 
On sait calculer les solutions de cette équation qui sont :
 EMBED Equation.3 
A partir de f, construisons des suites :
 EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  ;
Pour chacun des  EMBED Equation.3 , on peut effectivement vérifier que :  EMBED Equation.3 
k=0 : x0 = 1g1g2g3g4k=11,500000202,000000k=21,6250001-11,500000k=31,617188201,666667k=41,6181341-11,600000k=51,618022201,625000k=61,6180351-11,615385Analyse mathématique
Soit f telle que  EMBED Equation.3 
Par hypothèse, supposons que la suite définie par  EMBED Equation.3  soit convergente.
Posons : EMBED Equation.3 
Si on procède au développement limité de g au voisinage de x*, il vient :
 EMBED Equation.3 
or,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
Ce qui implique :  EMBED Equation.3 
Soit :  EMBED Equation.3 
Pour k suffisamment grand, le terme du premier ordre est prépondérant. la convergence est obtenue si  EMBED Equation.3 , autrement dit si  EMBED Equation.3 .
Remarques 
Plus |g’| est faible mieux c’est !
Si  EMBED Equation.3 , la méthode est dite d’ordre 1
Si  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , la méthode est dite d’ordre 2 (le nombre de chiffres significatifs est doublé à chaque itération)

Dans l’exemple précédent :
x*= EMBED Equation.3 x*= EMBED Equation.3 g1'(x*)-0,1182,118g2'(x*)-1,2363,236g3'(x*)3,236-1,236g4'(x*)-0,382-2,618Les méthodes itératives
Sur l’exemple introductif, on constate :
infinité d’expressions pour la suite récurrente ;
la convergence n’est pas toujours garantie ;
avec les expressions que l’on a choisi pour les gi, la deuxième solution n’est jamais atteinte.
Méthodes du 1er ordre
Facteur de relaxation
Dès lors que l’on s’est choisi une fonction g, il y a peu d’alternatives : çà converge ou non. A cet effet, on introduit un facteur de relaxation  EMBED Equation.3  puis :
 EMBED Equation.3  ce qui permet de définir  EMBED Equation.3 
Les buts de ce facteur de relaxation sont a priori de transformer une forme itérative non convergente en une forme itérative convergence et d’accélérer la convergence. C’est aussi pourquoi on peut l’appeler facteur d’accélération dont les propriétés sont :  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  peut varier au fil des itérations
Exemple
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
en choisissant  EMBED Equation.3 =0.5
il vient :  EMBED Equation.3  qui est une forme itérative convergente.
Remarque
Malgré tout, la convergence n’est pas forcément acquise. Si on décide de faire évoluer  EMBED Equation.3 pendant le processus itératif, toutefois, il est préférable de procéder à un mode de calcul automatique.
Accélérateur de Wegstein
Cet accélérateur relève de cette automatisation du calcul. Soit f fonction de la variable réelle x, dont on cherche un zéro x*. Procédons à un développement limité de g(x*) (g telle que g(x*)=x*) au voisinage de xk.
 EMBED Equation.3 
soit :  EMBED Equation.3 
On fait une approximation de  EMBED Equation.3 par :  EMBED Equation.3 
Et on en déduit l’approximation suivante :
 EMBED Equation.3 
autrement dit :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
On choisit donc comme formule de récurrence : EMBED Equation.3 
Sur l’exemple introductif, l’introduction de ce facteur rend chacune des suites convergente. Néanmoins, on ne parvient pas à atteindre la seconde solution en modifiant l’initialisation.
Méthode de Newton (2ème ordre)
On cherche à résoudre f(x) = 0. Soit x* la solution.
Procédons à un développement limité de f(x*) au voisinage de x :
 EMBED Equation.3 
puisque f(x*)=0 :
 EMBED Equation.3  ;
autrement dit : EMBED Equation.3 
On choisira donc comme relation de récurrence :
 EMBED Equation.3 
Exemple :  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
itérationx0=1x0=-115,31578947-0,6666666723,03767616-0,6190476232,01512640-0,6180344541,67007004-0,6180339951,61919108-0,6180339961,61803459-0,6180339971,61803399-0,61803399Autres méthodes
Sécante
On suppose que l’on sait encadrer la valeur de la solution x* par  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 , tels que  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . Le principe de cette méthode consiste à construire des suites adjacentes. C’est une méthode d’ordre 1.
Soit donc f la fonction dont on cherche une solution x* .
Les points  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  définissent une droite dont l’intersection avec l’axe des abscisses permet de calculer :  EMBED Equation.3 
On applique :
 EMBED Equation.3 

Dichotomie
Comme ci-dessus, on connaît deux valeurs qui encadrent la solution x*. Le principe reste identique, sauf qu’ici xk+1 est donné par :  EMBED Equation.3 

On en déduit :  EMBED Equation.3 
L’avantage de cette méthode est de pouvoir connaître à l’avance le nombre d’itérations en fonction de la précision que l’on désire sur l’approximation de la solution x*. En effet, on peut montrer aisément que :
 EMBED Equation.3 
Nombre d’Or
C’est une variante de la méthode de dichotomie, on connaît deux valeurs qui encadrent la solution x*.
On définit :  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Et on applique :  EMBED Equation.3 
De même que pour la dichotomie, on peut connaître à l’avance le nombre d’itérations en fonction de la précision que l’on désire sur l’approximation de la solution x*, puisque :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Remarque
Ces deux dernières méthodes sont également d’ordre 1.
Méthode d’interpolation
On prend trois valeurs initiales x0, x1 et x2. La démarche consiste à faire passer par les trois points une parabole.
Dans l’absolu, cette parabole coupe l’axe des abscisses en deux points. On prendra comme point supplémentaire celui qui sera le plus proche.
C’est une méthode du second ordre ne nécessitant pas le calcul d’une dérivée, mais qui réclame l’extraction d’une racine carrée. De plus, l’implémentation est pénible.
Remarques sur la méthode de Newton
Initialisation
La valeur d’initialisation du processus itératif peut être éloignée de la solution. Toutefois, à choisir une valeur par défaut ou au hasard peut représenter un risque sur la convergence. En effet, pour obtenir la solution, il faut que la valeur initiale appartienne à la boule de convergence de la suite.









Seulement, cette boule n’est pas forcément un intervalle fermé. Plus encore, si l’équation à résoudre est fortement non-linéaire, il peut s’avérer que les boules de convergence associées aux différentes racines de l’équation soient fortement imbriquées les unes dans les autres (apparition de structures fractales).
L’exemple ci-dessus concerne l’équation  EMBED Equation.3 , dont les solutions sont  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 . La non-continuité des boules de convergence est ici évidente. Celle-ci est d’autant plus marquée lorsque l’on se rapproche des zéros de la dérivée  EMBED Equation.3 .
Annulation de la dérivée
Comme on vient de le voir, l’annulation de la dérivée pose problème, et ce même lorsque un zéro de la dérivée correspond à l’un de la fonction (pôle d’ordre 2). D’un point de vue théorique, le calcul de développement limité est assez rassurant, puisqu’il nous garantit la convergence de la suite, même si celle-ci n’est plus d’ordre 2. Ceci peut se produire quand la fonction présente un point de tangence à l’axe des abscisses ou un point d’inflexion en x*.
Sur le plan pratique, il ne faut pas oublier que tous les calculs réalisés sont naturellement entachés d’erreurs, qui sont inhérentes à la machine utilisée (ordinateur, calculette, …). Ainsi, ces considérations mathématiques, donc idéalisées, ne sont plus très utiles et dans ces cas, il est préférable de changer de méthode.
Calcul de la dérivée
Dans certains cas, le calcul des dérivées est loin d’être aisé, voire carrément impossible. Dans de telles circonstances, il est souvent utile d’avoir recours à une approximation de f’ en utilisant la formule des accroissement finis, i.e. :
 EMBED Equation.3 
Là, encore, il faut être prudent, car on ne sait pas à quelle précision la fonction f est calculée, de plus, afin de garantir une relativement bonne précision de cette approximation, on est forcé de choisir un  EMBED Equation.3 petit. Ceci va impliquer des erreurs supplémentaires puisque l’on va procéder à des soustractions sur des nombres extrêmement proches, ce qui risque d’occasionner des erreurs de troncatures. Généralement, on se contente de choisir  EMBED Equation.3 .
Tests d’arrêt
Le test d’arrêt classique consiste à incrémenter k jusqu’à ce que  EMBED Equation.3 , avec EMBED Equation.3 . Seulement, il faut prendre des précautions quant au nombre d’itérations. Maintenant, que l’on sait que, de toutes façons, le calcul de f’ est erroné, la méthode n’est plus d’ordre 2, ce qui peut fortement ralentir la convergence. De ce fait, il est préférable d’implémenter un test de non-évolution sur la variable itérative, ressemblant à :  EMBED Equation.3 
Quant au nombre maximum d’itérations, il est d’usage qu’il ne dépasse pas la vingtaine. Si jamais un processus itératif nécessite plus d’itérations :
ou l’initialisation est mauvaise ;
ou le problème est mal formulé ;
ou l’implémentation est défaillante.
Résolution de systèmes d’équations
Rappels d’algèbre linéaire
Calcul matriciel (rappels)
Soient A(m,n) et B(p,q). le produit A.B des matrices a un sens si et seulement si n=p, i.e., ssi le nombre de colonnes de A est égale au nombre de lignes de B. Dans la suite, on va supposer n=m=p=q. On définit  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ; alors :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 .
Attention :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
(A+B)C=AC+BC
(AB)C=A(BC)
 EMBED Equation.3  n’implique pas à A=0 ou B=0
A non nulle et AB=AC n’implique pas B=C
Diagonalisation
Généralités
Propriétés du déterminant de A, noté det(A) :
C’est une application multilinéaire des colonnes (lignes) de A : Le déterminant de A est nul si et seulement si une de ses colonnes (lignes) est une combinaison linéaire des autres colonnes (lignes) ;
C’est une application alternée des colonnes lignes) de A : Si on échange entre elles deux colonnes (lignes), le déterminant change de signe
Det (I) = 1
A est inversible si et seulement si  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  qui implique  EMBED Equation.3 
Valeurs propres
Soit A(n,n), et  EMBED Equation.3  complexe.  EMBED Equation.3  est une valeur propre de A si il existe un vecteur X non nul tel que  EMBED Equation.3 
Cette relation entraîne, puisque X est différent du vecteur nul, que EMBED Equation.3  n’est pas inversible.
On remarquera :
si  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , on a  EMBED Equation.3 
Si A est inversible, admettant une valeur propre  EMBED Equation.3  et un vecteur propre X, alors  EMBED Equation.3 , ce qui indique que l’inverse de A admet pour valeur propre  EMBED Equation.3  et X pour vecteur propre. Cette formulation est équivalente à :
 EMBED Equation.3 
P est le polynôme caractéristique de A. Il est de degré n et admet n racines dans le corps des complexes, distinctes ou confondues. Ce polynôme est invariant par changement de base. Notons que :
 EMBED Equation.3 , ce qui nous indique que :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .


Théorèmes 
Soit  EMBED Equation.3  une valeur propre de A. Si X1, X2,… ,Xk sont k vecteurs propres linéairement indépendants pour la valeur propre  EMBED Equation.3 , tout vecteur combinaison linéaire de X1, X2,… ,Xk est aussi un vecteur propre de A pour la valeur  EMBED Equation.3 .
Si X1, X2,… ,Xk sont des vecteurs propres correspondant à k valeurs propres distinctes  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,… ,  EMBED Equation.3 , ces vecteurs propres sont linéairement indépendants.
Jordan :
soit  EMBED Equation.3  la matrice carrée élémentaire définie par :  EMBED Equation.3 
Toute matrice A(n,n) est semblable à une matrice de la forme :
 EMBED Equation.3 
On a :  EMBED Equation.3  et les éléments correspondants de la diagonale sont les valeurs propres de A. Si k1 > 1,  EMBED Equation.3  est valeur propre d’ordre au moins égal à k1. Cet ordre vaut exactement k1 si tous les  EMBED Equation.3 sont distincts. Dans le cas contraire, si par exemple,  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , alors  EMBED Equation.3  est valeur propre k1+k2, même si k1=1. Si tous les ki sont égaux à 1 alors p=n et A est semblable à une matrice diagonale. Chacune des matrices élémentaires est alors de rang 1.
Algorithmes
Méthode de la puissance
Soit A une matrice diagonalisable,  EMBED Equation.3  valeur propre de plus grand module, et u0 vecteur donné. On forme la suite définie par :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
Alors la suite  EMBED Equation.3 converge vers le vecteur propre normé v1 associé à  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
Les autres valeurs propres sont obtenues par le processus de déflation qui consiste à trouver un vecteur w tel que  EMBED Equation.3 , alors  EMBED Equation.3 a les mêmes valeurs propres que A, sauf  EMBED Equation.3  qui est remplacée par zéro.
Méthode de la puissance inverse
Soit A diagonalisable,  EMBED Equation.3  valeur propre de A, on choisit  EMBED Equation.3 tel que l’intervalle  EMBED Equation.3  ne contienne aucune autre valeur propre de A. Pour u0 vecteur donné on définit la suite  EMBED Equation.3  :
 EMBED Equation.3 
Alors la suite  EMBED Equation.3  converge vers  EMBED Equation.3  vecteur propre associé à  EMBED Equation.3 .
Méthodes directes pour la résolution de systèmes linéaires
Méthodes classiques
Gauss-Jordan
On désire résoudre le système AX=B.
Le principe de cette méthode consiste à se ramener à un système IX=B’ en effectuant des combinaisons linéaires entre les équations.
La première phase consiste à ramener les éléments diagonaux à la valeur 1, ce qui nécessite de faire un choix sur le pivot , qui en l’occurrence sera l’élément de la diagonale.
Exemple 
On veut résoudre  EMBED Equation.3  ; soit  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
1er pivot = 4 : EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  ; et on fait apparaître des zéros dans la 1ère colonne :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
2ème pivot = 3.5 :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 ; et on fait apparaître des zéros dans la 2ème colonne :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
3ème pivot = -0.5 : EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  ; et on fait apparaître des zéros dans la 3ème colonne :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Gauss
Dans les faits, l’algorithme de Gauss correspond point pour point à la décomposition L.U, i.e. : on va rechercher une matrice L, triangulaire inférieure, et une matrice U, triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont égaux à 1, telles que A=L.U
On pose alors Y=UX et on résout LY=B.
Cette approche est très intéressante quand on a plusieurs systèmes à résoudre dans lesquels le premier membre est identique.
Exemple
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Première étape on transforme le système de façon à avoir un système triangulaire
1er pivot = 4 :  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
2ème pivot = 3.5 :  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
3ème pivot = -0.5 :  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Deuxième étape  on résout « en remontant »
On a directement :
 EMBED Equation.3 
Au passage, on identifie L, U et Y :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Remarques
Les deux algorithmes que l’on vient de voir sont quasiment identiques. Ils diffèrent uniquement par le nombre d’opérations élémentaires (+,-,/,*) nécessaires à leur réalisation que l’on peut calculer de façon exacte. On peut montrer que le nombre d’opération est équivalent à  EMBED Equation.3  pour Gauss-Jordan, contre  EMBED Equation.3  pour Gauss, N représentant la taille du système à résoudre (nombre d’équations). Ceci indique que pour la résolution de système de plus grande taille, il faut privilégier Gauss.
Le choix du pivot est très important. L’exemple traité ne présente aucun problème car le hasard ( ?) a voulu qu’à chaque itération, le terme le plus grand en module se trouvait sur la diagonale. Il est bien clair que dans le cas général, cela ne se produit jamais ; particulièrement, on peut tomber sur des éléments nuls. Pour pallier à cela, on doit mettre en place une procédure de recherche du pivot maximum (sur les colonnes) . Ainsi, si la valeur renvoyée au terme de la recherche est nulle, on peut en déduire que la matrice est singulière. De plus, d’un point de vue numérique, même si ces méthodes sont exactes (ou directes), on y gagne beaucoup en précision.
Ces méthodes ont un caractère général, i.e. qu’elle permette de résoudre des systèmes où les matrices sont pleines. Nous allons voir dans la suite que, selon la structure de la matrice, on pourra, afin de limiter l’espace mémoire nécessaire à la résolution du problème, avoir recours à des méthodes particulièrement adaptées.
Systèmes à matrices tridiagonales
On cherche à résoudre BX=D, où :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
Dans ce cas précis, on ne fait pas de recherche de pivot maximum et on choisira comme pivot les éléments de la diagonale. Cela permet de ne pas casser la structure.
Pour la phase de résolution en elle-même, on va procéder comme suit : on va supposer que B=WQ, soit WG=D, avec QX=G, où :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Puis en identifiant, on va trouver :
 EMBED Equation.3   d’où déduit W et Q ;
 EMBED Equation.3  d’où on déduit G ;
 EMBED Equation.3  qui fournit la solution au système.
Systèmes à matrices symétriques
Là encore, on ne fait pas de recherche de pivot maximum. On cherche à résoudre AX=B, avec A matrice symétrique définie positive, i.e. : EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 .
Autrement dit, A peut se définir comme étant le produit d’une matrice triangulaire inférieure et de sa transposée :  EMBED Equation.3 , i.e. :
 EMBED Equation.3 
Les termes de la matrice R se calculent encore une fois par identification, colonne par colonne :
1ère colonne :  EMBED Equation.3 
2ème colonne :  EMBED Equation.3 
…
ième colonne :  EMBED Equation.3 
etc.
Inversion de matrice
On cherche B telle que AB=I, soit B=A-1. On va désigner par  EMBED Equation.3 le ième vecteur colonne de la matrice A-1,par  EMBED Equation.3  le ième vecteur colonne de la matrice I. On a de façon évidente :  EMBED Equation.3 .
Pour trouver l’ensemble des éléments de  EMBED Equation.3  il s’agit de déterminer l’ensemble des  EMBED Equation.3 , ce que l’on sait parfaitement faire car on sait désormais résoudre les systèmes linéaires. On a donc n systèmes linéaires à résoudre qui ont tous le même premier membre A. Si, par exemple, on applique l’algorithme de Gauss-Jordan, qui utilise des opérations élémentaires sur les lignes de A, on répètera ces mêmes transformations sur le second membre, qui initialement est égal à I. A terme, le premier membre sera I et le second donnera directement  EMBED Equation.3 .
Exemple 
Inverser la matrice  EMBED Equation.3  avec l’algorithme de Gauss-Jordan.
1er pivot : 4
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
2ème pivot : -0.5
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
3ème pivot : -0.5
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
On en déduit que :  EMBED Equation.3 
Méthodes itératives pour les systèmes d’équations
Systèmes linéaires
Tout comme pour la résolution des équations, le principe de ces méthodes consiste à ramener un système linéaire de la forme AX = B sous la forme X = GX + B.
A est inversible, sous la forme A = M-N, avec M inversible. On forme une suite récurrente définie par :
 EMBED Equation.3 
Si cette suite converge vers X* alors M X* = N X* + B, X* est solution de AX=B. La suite des  EMBED Equation.3 est convergente si et seulement toutes les valeurs propres de  EMBED Equation.3  sont de module strictement inférieur à 1.
Jacobi
Si  EMBED Equation.3 pour  EMBED Equation.3 , on écrit A sous la forme A = D + L + U, où D EMBED Equation.3 est diagonale, L est triangulaire inférieure  EMBED Equation.3 , U est triangulaire supérieure  EMBED Equation.3 .
On définit la suite donnée par :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  est une matrice diagonale dont les éléments sont égaux à  EMBED Equation.3 . La condition de convergence est vérifiée si A est à diagonale dominante, i.e. :
 EMBED Equation.3  pour  EMBED Equation.3 
en formalisant : EMBED Equation.3 
Exemple 
Résoudre  EMBED Equation.3 
On va appliquer : EMBED Equation.3 
Partant de :  EMBED Equation.3 , il vient :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 12,00000,93750,87501,03911,01370,991212,00002,50001,96881,93752,01952,006813,25002,50002,90633,07032,99612,9883Gauss-Seidel
Si  EMBED Equation.3 pour  EMBED Equation.3 , on écrit A sous la forme A = D + L + U, où D EMBED Equation.3  est diagonale, L est triangulaire inférieure  EMBED Equation.3 , U est triangulaire supérieure  EMBED Equation.3 .
On considère la suite donnée par :
 EMBED Equation.3 
Cette suite est convergente si A est à diagonale dominante.
Explication : Le calcul de  EMBED Equation.3  est direct, c’est à dire, on dispose d’une formule explicite qui va nous permettre de calculer de proche en proche les coordonnées de ce vecteur. Ainsi, dans la formule de Jacobi, lorsque l’on veut calculer la ième composante de  EMBED Equation.3 , on connaît d’ores et déjà les i-1 premières. L’algorithme de Gauss-Seidel propose d’utiliser cette information.
En formalisant :  EMBED Equation.3 
Exemple
refaire l’exercice précédent avec cet algorithme.
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 12,00000,90631,00880,99921,00011,000012,50001,95312,00441,99962,00002,000012,37503,05862,99453,00053,00003,0000Remarque 
La tendance générale est que Gauss-Seidel converge plus rapidement que Jacobi.
Techniques de relaxation
On peut définir un facteur de relaxation global  EMBED Equation.3 , a priori compris entre 0 et 1. Si A = D + L + U, alors on peut définir la suite donnée par :
 EMBED Equation.3 
dont on déduit
 EMBED Equation.3 
Si A est symétrique définie positive, on a convergence pour  EMBED Equation.3 compris entre 0 et 2.
Systèmes non-linéaires
On cherche à résoudre F(X) = 0,où :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
De même que pour la résolution d’équations algébrique, on remet ce système sous la forme :
G(X)=X et on va définir une suite récurrente  EMBED Equation.3 
La condition de convergence à l’itération k va être donnée par un développement limité de G au voisinage de X* :
 EMBED Equation.3 
soit : EMBED Equation.3 
J est le Jacobien de G. Ses éléments sont définis par :  EMBED Equation.3 
La méthode est convergente la norme de J est inférieure à 1, i.e., la valeur propre maximale de J est strictement inférieure à 1 en module. Cette condition est bien entendu assujettie au choix que l’on a fait sur le passage de F(X) = 0 à G(X) = X.
Techniques de relaxation
Soit  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
On peut définir un facteur de relaxation W tel que :
 EMBED Equation.3 
ou encore :  EMBED Equation.3 
Cette technique permet de limiter les pas dans certaines directions, mais n’est pas forcément aisée à mettre en œuvre.
Dans la suite, on présente des modes de calculs automatisés.
Valeur propre dominante
Définissons la valeur propre dominante de J par  EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3  par hypothèse). On pose alors :
 EMBED Equation.3  soit  EMBED Equation.3 
L’inconvénient de cette méthode est que le calcul d’une ou des valeurs propres du Jacobien est très coûteux (beaucoup plus que la résolution d’un système linéaire).
Approximation de Young
Cette méthode propose une estimation de  EMBED Equation.3 .Soit i tel que l’on obtienne la valeur maximum de  EMBED Equation.3 . Young propose alors :
 EMBED Equation.3 
Ce qui permet de déduire une valeur du facteur d’accélération  EMBED Equation.3  à chaque itération. Cette méthode tend aujourd’hui à disparaître.
Wegstein
On définit : EMBED Equation.3 
Remarques
Le développement mathématique derrière cette formule est identique à celui que l’on avait fait pour une équation. Ainsi ce calcule correspond au cas où on aurait indépendance des équations, i.e.  EMBED Equation.3 , ce qui est absurde. Autrement dit, on néglige les dérivées partielles de gi par rapport à xj,  EMBED Equation.3 .
Cette méthode a tendance à avoir un comportement chaotique et s’avère être peu satisfaisante, même lorsque l’on met en place une stratégie de pas de repos (substitution simple).
Le critère de convergence (résidu) est  EMBED Equation.3 
Newton-Raphson
Soit F(X*)=0. Procédons à un développement limité de F au voisinage de X(k).
 EMBED Equation.3 
et on pose  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
Il vient :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Donc, si J désigne le Jacobien de F, on a la relation de récurrence suivante :
 EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3 
A chaque itération, ce processus nécessite le calcul du Jacobien et la résolution d’un système linéaire.
Remarques
Par rapport aux autres méthodes, le nombre d’itérations nécessaires est relativement faible (Ai+1, et ceci pour tout i allant de 1 à N-1. En langage de programmation Matlab, cela donne :
n=1000;
size=[1,n];
a=rand(size);
for k = 1:n-1
for p= 1:n-1
if a(p) > a(p+1)
temp=a(p+1);
a(p+1)=a(p);
a(p)=temp
end
end
end
Exemple
Il faut trier
321645
On compare les éléments en position 1 et 2 pour éventuellement les échanger
321645
On les échange puisqu'ils ne sont pas dans l'ordre croissant.
231645
On compare les éléments en position 2 et 3 pour éventuellement les échanger
231645
On les échange pour les mettre dans l'ordre croissant.
213645
On compare les éléments en positions 3 et 4. Ils sont dans l'ordre croissant; on n'y touche pas. On compare les éléments en positions 4 et 5. Ils ne sont pas dans l'ordre croissant; on les échange.
213465
On compare les éléments en positions 5 et 6. Ils ne sont pas dans l'ordre croissant; on les échange.
213456
De la sorte les grands éléments ont tendance à migrer vers la fin du vecteur. En particulier, au fur et à mesure des échanges, la méthode fait avancer le plus grand élément rencontré. A la fin de la première boucle, AN contient le plus grand élément du vecteur et cette Nème composante ne doit plus être prise en compte dans la suite du tri puisqu'elle est à sa place.
Il suffit de recommencer ensuite le même processus avec le morceau de A allant de la première composante à la N-1 ème. Cette fois, la boucle sur i ira de 1 à N-2, et ainsi de suite. Dans notre exemple, trions les éléments de position 1 à 5:
123456213456123456123456123456213456
Si à une étape, on travaille jusqu'à l'indice M critere & iteration < nmax
if det(JX) ~=0
X=X-FX/JX;
FX=fonction(X);
JX=jacobien(X);
end
iteration=iteration+1;
end
solution=X;

function J = jacobien(X)
J(1,1)=3*(X(1)^2-X(2)^2);
J(1,2)=6*X(1)*X(2);
J(2,2)=J(1,1);
J(2,1)=-J(1,2);

function F = fonction(X)
F(1)=X(1)^3-3*X(1)*X(2)^2-1;
F(2)=3*X(1)^2*X(2)-X(2)^3 Equations différentielles ordinaires
Notions de base
Une équation différentielle est une équation qui contient en plus des variables indépendantes et des fonctions de ces variables des dérivées ou des différentielles de ces fonctions. Si il n'y a qu'une variable indépendante il s'agit d'une équation différentielle ordinaire. Sinon il s'agit d'un équation aux dérivées partielles. Nous considérons d'abord le cas d'une seule variable indépendante.
Une équation différentielle s'écrit alors : EMBED Equation.3 
Cette équation est linéaire et homogène d'ordre n si n'y interviennent que des termes proportionnels à la fonction inconnue et ses dérivées partielles d'ordre inférieur ou égal à n. Elle est inhomogène si il y a des termes ne dépendant pas de y. Elle est non linéaire si il y a des termes proportionnels à des puissances ou des fonctions de y et/ou de ses dérivées.
Equations du 1er ordre
Définitions
 EMBED Equation.3 
Supposons qu'il existe y=f(x) satisfaisant cette équation, f est une solution de l' équation différentielle. La recherche des solutions d'une équation différentielle s'appelle l'intégration de cette équation. Si  EMBED Equation.3 ne dépend pas de y l'ensemble des solutions est de façon évidente:
 EMBED Equation.3 
où C est une constante arbitraire.
Dans le cas général, il existe également une famille de solutions qui s'écrit sous forme implicite :  EMBED Equation.3 
En donnant à la constante C des valeurs numériques différentes on obtient des solutions particulières.
Interprétation géométrique
On suppose que  EMBED Equation.3  est uniquement définie est continue en tous les points d'un domaine D de R2. En chaque point de ce domaine l'équation définit une direction par :
 EMBED Equation.3 
Les courbes tangentes à ces directions en chacun de leurs points s'appellent des courbes intégrales de l'équation différentielle.
Théorème
Si  EMBED Equation.3  est continue et admet une dérivée partielle par rapport à y dans un domaine D de R2 par chaque point de ce domaine il passe une et une seule courbe intégrale de l'équation différentielle.
Résolution
Facteur intégrant
Soit l'équation différentielle linéaire du premier ordre la plus générale :
 EMBED Equation.3 
Un facteur intégrant  EMBED Equation.3 est un fonction telle que l'équation se réécrive :
 EMBED Equation.3 
ce qui impose  EMBED Equation.3 
qui est une équation à variables séparées pour  EMBED Equation.3 .
Solutions
On obtient alors:
 EMBED Equation.3 
et:
 EMBED Equation.3 
Ce qui résout complètement le problème inhomogène. C est une constante à déterminer par les conditions aux limites données pour que le problème physique correspondant soit bien posé.
Exemple
Un circuit inductif est un dipôle électrique constitué d'une bobine d'inductance propre L et de résistance R. Il est soumis à une tension V(t) donnée et le courant à l'instant t = 0 est I0. Ce système est régi par l'équation différentielle du premier ordre
 EMBED Equation.3 
L'équation admet le facteur intégrant :  EMBED Equation.3 
et sa solution s'écrit :  EMBED Equation.3 
Si par exemple V(t) = V0 pour  EMBED Equation.3  et I0 = 0, il vient  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 
Notons que la solution est la superposition d'une solution de l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
Equations du 2d ordre
Généralités
On appelle équation différentielle du second ordre toute relation de la forme F(x,y,y',y'')=0 entre la variable x et la fonction y(x) et ses deux dérivées premières.
On admettra que sous certaines conditions une équation différentielle du second ordre admet une infinité de solutions dépendantes de deux constantes arbitraires: y = jð (x, lð 1 ,lð 2 ).
L'ensemble de ces solutions constitue l'intégrale générale et représente l'équation d'une famille de courbes dépendant de deux paramètres lð 1 ,lð 2 qui sont appelées courbes intégrales. Une intégrale particulière est obtenue en imposant des conditions initiales. Le plus souvent elles se présentent de la forme y(x0)= yo et y'(x0)=y'0 . Dans ce cas, la courbe est assujettie à deux conditions: Passer par un point (x 0,y0) et avoir un coefficient de tangente donné y'0.
Remarque
En cinématique, les conditions initiales sont celles de la position du mobile et de sa vitesse à l'instant initial. Inversement à toute courbe f(x, y, lð 1, lð 2 )=0 on peut associer une équation différentielle du second ordre.
Exemple
Soit la famille d'hyperboles :  EMBED Equation.3 
Les dérivées premières valent :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
D'où l'équation différentielle qui régit cette famille de courbes : y.y''=2.y'2 .
Equations se ramenant au 1er ordre
Equations ne contenant pas de y
 Soit F(x,y',y'')=0.
On pose y' = z(x), l'équation devient alors F(x, z, z' ) = 0.

Exemple :  EMBED Equation.3 
 On pose :  EMBED Equation.3 
On en déduit :  EMBED Equation.3  (x0 et y0 étant des constantes).
Equations ne contenant pas de x
 F(y,y',y'')=0, et si on considère que y' est une fonction de y, on peut donc poser y' = z(y), et  EMBED Equation.3 
L'équation devient alors, avec pour nouvelle variable y,  EMBED Equation.3 qui est une équation du premier ordre pour z. Soit  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  et en intégrant  EMBED Equation.3  avec.
Equations linéaires du 2d ordre
Définition
 On appelle équation différentielle linéaire du second ordre une équation de la forme
 EMBED Equation.3  (1)
 où a(x), b(x), c(x) et f(x) sont des fonctions.
On associe à cette équation l'équation sans second membre:
 EMBED Equation.3  (2)
Théorème fondamental
La solution générale yg s'obtient en ajoutant à une intégrale particulière yp de l'équation complète (1) l'intégrale générale de l'équation sans second membre yessm (2) :
 EMBED Equation.3 
Intégration de l'équation sans second membre
Si on connaît deux intégrales particulières y1 et y2 . La solution générale est une combinaison linéaire de ces deux intégrales particulières :
 EMBED Equation.3 
Les deux intégrales doivent être linéairement indépendantes, ce qui se traduit par :
 EMBED Equation.3  (W(x) est appelé le Wronskien).
 Si on connaît une intégrale particulière y1 :
On a donc :  EMBED Equation.3 
On va utiliser la méthode de variation de la constante. On pose donc  EMBED Equation.3  où z(x) est une fonction inconnue de x. On en déduit :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
et d'où en remplaçant dans (1) :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Soit :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Puisque  EMBED Equation.3 , on en déduit :
 EMBED Equation.3 
Cette équation s'intègre comme une équation se ramenant à une équation du premier ordre. Si on ne connaît pas de solution particulière, ce n'est généralement pas intégrable sauf si a, b et c sont des constantes.
Intégration de l'équation complète
Supposons que l’on connaisse une solution particulière yp.  La solution générale est alors  EMBED Equation.3 
 Exemple
L' équation (E)  EMBED Equation.3  admet pour solution de l'équation sans second membre :  EMBED Equation.3 
A la vue du second membre, l' intégrale particulière sera un polynôme du troisième degré :  EMBED Equation.3 
On obtient donc par identification en remplaçant dans (E) :
 EMBED Equation.3 
 Si on ne connaît pas de solution particulière, on applique la méthode de Lagrange appelée aussi méthode de la variation de la constante. Elle ne doit être employée qu'en dernier recours (surtout en physique). Soit l'intégrale générale de l'équation sans second membre dans laquelle on va faire varier les constantes c'est à dire que lð 1 = lð 1(x) et lð 2 = lð 2(x). L'équation différentielle fournissant une première relation pour déterminer ces deux fonctions, il nous sera possible d'en imposer une seconde.
On dérive  EMBED Equation.3 
pour obtenir :  EMBED Equation.3 
On impose alors que :  EMBED Equation.3 
En dérivant  EMBED Equation.3 
on obtient :  EMBED Equation.3 
et en reportant dans l'équation (1) :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Comme y1 et y2 sont des solutions particulières, l' équation se simplifie en :
 EMBED Equation.3 
où a(x) ¹ð 0, d'où le système :
 EMBED Equation.3 
 Comme y1 et y2 sont linéairement indépendantes, le système précédent est un système de Cramer et détermine lð '1 et lð '2 , on a alors les solutions lð 1(x) et lð 2(x) qui par intégration dépendent chacune d'une constante arbitraire, d'où la solution générale.

Exemple :  EMBED Equation.3 
Le système à résoudre est :
 EMBED Equation.3 
dont on déduit :
 EMBED Equation.3 
Et finalement :
 EMBED Equation.3 
Equation linéaire à coefficients constants
Soit l'équation :  EMBED Equation.3  où a, b et c sont des constantes.
La solution générale se présentera sous la forme :  EMBED Equation.3 
Intégration de l'équation sans second membre
Soit :  EMBED Equation.3 . On cherche des solution de la forme  EMBED Equation.3  , ce qui nous donne  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 . En remplaçant dans l’équation sans second membre, il vient :
 EMBED Equation.3 
L'équation  EMBED Equation.3 est appelée équation caractéristique . C’est une équation du second degré dont on sait calculer les solutions r1 et r2. Deux cas sont possibles :
 EMBED Equation.3  : l'équation caractéristique admet deux racines distinctes r1 et r2 . La solution de l’équation sans second membre s écrit alors :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  : l'équation caractéristique admet une racine double r. La solution de l équation sans second membre s écrit alors :  EMBED Equation.3 
 Dans le cas où Dð 0 ;  xj = 0, j = 1,...n, et j différent de k.
La nouvelle solution doit être admissible, donc en particulier vérifier les contraintes propres. Les valeurs des variables d'écart xn+i , i = 1,...m, doivent donc être modifiées:
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 ; i = 1,...m
 EMBED Equation.3 ; i = 1,...m
La nouvelle solution doit également vérifier les contraintes impropres :
  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 ;
 EMBED Equation.3 ;
si  EMBED Equation.3 , ceci est toujours vérifié quel que soit qð ð>ð ð0ð
si  EMBED Equation.3 : on doit avoir    EMBED Equation.3 
autrement dit :  EMBED Equation.3 
On choisit pour qð sa valeur maximale, car une variable s'annule alors : soit p l'indice donnant le minimum :  EMBED Equation.3 
La contrainte propre p donne :  EMBED Equation.3 
Donc la variable xn+p sort de base alors que xk entre en base. On obtient donc une nouvelle solution de base, admissible par construction.
Pour itérer le raisonnement, il faut ensuite exprimer la fonction économique z ainsi que les variables de base en fonction des variables hors base.
Pour cela, il faut éliminer la variable xk de l'expression de la fonction économique, ainsi que de toutes les équations du système des contraintes propres, sauf une: la contrainte p, qui sert à faire l'élimination.
Il s'agit donc en fait d'une élimination de Gauss ou pivotage, le pivot étant l'élément apk, coefficient de xk dans la contrainte p, et l'élimination étant effectuée dans toutes les contraintes autres que p. Les calculs sont donc identiques à ceux de la méthode de Jordan (à ceci près qu'ici les pivots ne sont pas des éléments diagonaux de A).
Modification de la contrainte i (entre 1 et m et différent de p) :
 EMBED Equation.3 

(le coefficient de xk est nul)
La modification de la fonction économique est tout à fait analogue :
 EMBED Equation.3 
(encore une fois, le coefficient de xk est nul)

Il faut, d'autre part, diviser la contrainte p par l'élément pivot apk:
nouvelle contrainte p :  EMBED Equation.3 
(dans cette équation, le coefficient de xk est l’unité)

En effectuant cette transformation, on a fait un changement de base:
les nouvelles variables hors base sont : x1, ..., xk-1, xk+1, ..., xn, xn+l
les nouvelles variables de base : xk, xn+1, ..., xn+p-1, xn+p+1, ..., xn+m

Les nouvelles valeurs des variables de base sont les seconds membres des contraintes propres modifiées. La fonction économique étant exprimée en fonction des variables hors base qui sont nulles, on a :  EMBED Equation.3 

En changeant les notations, soient :
x'1, x'2, ..., x'n, les nouvelles variables hors base,
x'n+1, x'n+2, ..., x'n+m, les nouvelles variables de base.
Le programme linéaire s'écrit sous la nouvelle forme suivante :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Ensuite on itère, les nouvelles variables de base jouant le rôle des variables d'écart à la première étape, et les nouvelles variables hors base le rôle des variables naturelles.
La solution optimale est atteinte lorsque tous les cj, coefficients de la fonction économique exprimée par rapport aux variables hors base, sont négatifs ou nuls
Seconds membres non tous positifs
Soit le programme linéaire sous forme standard :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
avec les bi , i = 1,...m, de signes quelconques, l'un au moins étant strictement négatif.
Si, comme dans le cas précédent, on choisit pour variables hors base (donc on fixe à 0) les variables naturelles:
xj = 0,  j = 1,...n
on obtient, en remplaçant dans le système des contraintes propres:
xn+i = bi , i = 1,...m
Cette solution de base n'est pas admissible puisque les bi ne sont pas tous positifs. Elle ne permet donc pas le démarrage de l'algorithme primal du simplexe.

Pour obtenir une solution admissible, on utilise l'artifice suivant : on introduit une variable supplémentaire positive, dite variable artificielle, qu'on retranche du premier membre de toutes les contraintes qui ont un second membre négatif.
Autrement dit, on remplace toutes les contraintes :
 EMBED Equation.3 , pour lesquelles bi est négatif,
par :  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  étant la variable artificielles avec  EMBED Equation.3 .
Au départ, on choisit pour variables hors base les variables naturelles et la variable artificielle : xj = 0,  j = 1,...n, et xn+m+1 = 0.
Puis on effectue un changement de base particulier:
on fait entrer en base xn+m+1
on fait sortir de base la variable xn+l telle que  EMBED Equation.3 (donc xn+l*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHuh=H†0JCJmHnHu$jÛh=H†CJUmHnHu!jh=H†CJUmHnHuh=H†CJmHnHuh=H†6CJKH]mHnHuh=H†0JCJaJmHnHu"jh=H†0JCJUmHnHu0j^h=H†>*B*CJUmHnHphÿu~€‚ƒ„…†‡£¤¥¦¨©´µ¶ÐÑÒÔÕÖ×ØÙõöíÜÏܽ­½ • |½ m ÏÜÏZÜÏܽm½ • $jÏh=H†CJUmHnHuh=H†:CJKHmHnHu0jRh=H†>*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHuh=H†0JCJmHnHuh=H†6CJKH]mHnHu"jh=H†0JCJUmHnHuh=H†CJmHnHu!jh=H†CJUmHnHu$jÕh=H†CJUmHnHuö÷øúû !#$%&'(DEFGIJlmnˆçÕȹȬ›¬ˆ›¬›Õ¹ÕÈ}ÈdÕUEU¬›¬h=H†6CJKH]mHnHuh=H†0JCJaJmHnHu0jFh=H†>*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHu$jÉh=H†CJUmHnHu!jh=H†CJUmHnHuh=H†CJmHnHuh=H†:CJKHmHnHuh=H†0JCJmHnHu"jh=H†0JCJUmHnHu0jLh=H†>*B*CJUmHnHphÿuˆ‰ŠŒŽ‘­®¯°²³ßàáûüýÿ !íÜÏܽ­½ • |½m­mÏÜÏZÜÏܽ­½ • $j½h=H†CJUmHnHuh=H†0JCJaJmHnHu0j@h=H†>*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHuh=H†0JCJmHnHuh=H†6CJKH]mHnHu"jh=H†0JCJUmHnHuh=H†CJmHnHu!jh=H†CJUmHnHu$jÃh=H†CJUmHnHu!"#%&RSTnoprstuvw“”•–˜™½¾¿ÙçÕƶƩ˜©…˜©˜Õ¶ÕxmxTÕƶƩ˜©0j4!h=H†>*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHuh=H†0JCJmHnHu$j· h=H†CJUmHnHu!jh=H†CJUmHnHuh=H†CJmHnHuh=H†6CJKH]mHnHuh=H†0JCJaJmHnHu"jh=H†0JCJUmHnHu0j: h=H†>*B*CJUmHnHphÿuÙÚÛÝÞßàáâþÿ#$%?@ACDEFGHdeíÜÏܽ­½ • |½m­mÏÜÏZÜÏܽ­½ • $j«"h=H†CJUmHnHuh=H†0JCJaJmHnHu0j."h=H†>*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHuh=H†0JCJmHnHuh=H†6CJKH]mHnHu"jh=H†0JCJUmHnHuh=H†CJmHnHu!jh=H†CJUmHnHu$j±!h=H†CJUmHnHuefgij´µ¶ÐÑÒÔÕÖ×ØÙõö÷øúû567QçÕƶƩ˜©…˜©˜Õ¶ÕxmxTÕƶƩ˜©0j"$h=H†>*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHuh=H†0JCJmHnHu$j¥#h=H†CJUmHnHu!jh=H†CJUmHnHuh=H†CJmHnHuh=H†6CJKH]mHnHuh=H†0JCJaJmHnHu"jh=H†0JCJUmHnHu0j(#h=H†>*B*CJUmHnHphÿuQRSUVWXYZvwxy{|œž¸¹º¼½¾¿ÀÁÝÞíÜÏܽ­½ • |½m­mÏÜÏZÜÏܽ­½ • $j™%h=H†CJUmHnHuh=H†0JCJaJmHnHu0j%h=H†>*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHuh=H†0JCJmHnHuh=H†6CJKH]mHnHu"jh=H†0JCJUmHnHuh=H†CJmHnHu!jh=H†CJUmHnHu$jŸ$h=H†CJUmHnHuÞßàâã"#$&'()*+GHIJMN‚ƒçÕƶƩ˜©…˜©˜Õ¶ÕxmxTÕƶƩ˜©0j'h=H†>*B*CJUmHnHphÿuh=H†CJmHnHuh=H†0JCJmHnHu$j“&h=H†CJUmHnHu!jh=H†CJUmHnHuh=H†CJmHnHuh=H†6CJKH]mHnHuh=H†0JCJaJmHnHu"jh=H†0JCJUmHnHu0j&h=H†>*B*CJUmHnHphÿužŸ¡¢£¤¥¦ÂÃÄÅÇÈåæç 
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