(7x - 2) + (2x + 7)

La factorisation
Exercice N° 1 : Etudier les expressions ci-dessous et dire si elles sont
prêtes à être factorisées : Rappel : pour être factorisée, une expression doit être sous la forme d'au
moins 2 expressions multipliées séparées par un signe + ou - ..................x .....................+/- ...................x
.................. (4x + 1) (7x - 2) + (2x + 7) (4x + 1) Je rétablis les multiplications qui n'apparaissent pas (absence du signe) : | (4x + 1) x (7x - 2) | + | (2x + 7) x (4x + 1) | J'ai bien 2 expressions multipliées séparées par un signe + . L'expression
est correctement structurée :
Je souligne le facteur commun, qui est apparent : (4x + 1) (4x + 1) x (7x - 2) + (2x + 7) x (4x + 1)
(4x + 1)2 + (8x + 2)
Je rétablis les multiplications qui n'apparaissent pas (absence du signe) : Il n'y en a pas à première vue ; l'expression ne sera donc pas
correctement structurée : je dois la modifier (4x + 1)2 = (4xx + 1) x (4x + 1)
(8x + 2) = 2 x (4x + 1) | (4xx + 1) x (4xx + 1) | + | 2 x (4x + 1) | Mon expression est maintenant correctement structurée : d'ailleurs, un
facteur commun apparaît (4x + 1) ; je le souligne : | (4x + 1) x (4x + 1) | + | 2 x (4x + 1) | 81x 2 + 90x + 25 C'est une identité remarquable développée : a2 + 2ab + b2
de la forme ( a + b) 2
(9x + 5)2
car (9x )2 = 81x 2 = (9x)2
90x = 2 x 9x x 5
25 = (5)2 Sa factorisation est de la forme ( a + b) 2 Ici = a = 9x et b = 5 (9x + 5)2 x 2 + 2x + 1 + 3 (x + 1) Je rétablis les multiplications qui n'apparaissent pas (absence du signe) : | x 2 + 2x + 1| + | 3 x (x + 1) |
L'ex pression n'est pas correctement structurée : la 2è partie est bien une
expression multipliée mais pas la 1ère : je dois donc la transformer : Comment transformer x 2 + 2x + 1 en multiplication ? ?
Et bien x 2 + 2x + 1 est le résultat de l'identité remarquable : (x + 1)2
car (x)2 = x2
2 x x x 1 = 2x
(1)2 = 1 J'obtiens alors ma multiplication :
(x + 1)2 = (x + 1) x (x + 1) Je peux alors le remplacer dans mon expression : | (x + 1) x (x + 1) | + | 3 x (x + 1) | Mon expression est maintenant correctement structurée, et fait apparaître
d'ailleurs un facteur commun :
(x + 1) : je le souligne | (x + 1) x (x + 1) | + | 3 x (x + 1) | (5x + 4) (4x + 6) - 5x 2 + 4x Je rétablis les multiplications qui n'apparaissent pas (absence du signe) : | (5x + 4) x (4x + 6)| - | 5x 2 + 4x | L'expression n'est pas correctement structurée : la 1è partie est bien une
expression multipliée mais pas la 2ème : je dois donc la transformer : Comment transformer 5x 2 + 4x en multiplication ? ?
Et bien 5x 2 + 4x = 5x x x + 4 x x
facteur commun = x
Je le mets donc en facteur de tout le reste :
x x (5x + 4) Je peux alors le remplacer dans mon expression : | (5x + 4) x (4x + 6)| - | x x (5x + 4) |
Mon expression est maintenant correctement structurée, et fait apparaître
d'ailleurs un facteur commun :
(5x + 4) : je le souligne | (5x + 4) x (4x + 6)| - | x x (5x + 4) | Exercice N° 2 : Montrez que : (3x - 6) (x - 7) - (x - 2) (x + 1) = (x - 2) (2x - 22)
(3x - 6) (x - 7) - (x - 2) (x + 1) : je restitue les multiplications
absentes (absence du signe x) | (3x - 6) x (x - 7) | - | (x - 2) x (x + 1) |
Mon expression est bien composée de 2 expressions multipliées séparées par
un signe - : elle possède donc la construction idéale pour une
factorisation :
Je cherche maintenant le facteur commun aux 2 expressions multipliées : il
n'y en a pas un d'apparent ; je dois donc en faire apparaître un en
modifiant l'une ou l'autre des 2 expressions : Je vois que à la place de (3x - 6) je peux écrire : 3 x (x - 2)
Je vois également que cela peut m'être utile car j'ai aussi le facteur (x -
2) dans la 2è expression ; je réécris alors mon expression dans ce sens : | 3 x (x - 2) x (x - 7) | - | (x - 2) x (x + 1) | J'ai bien toujours 2 expressions multipliées séparées par un signe -, et
cette fois un facteur commun apparaît :
(x - 2) Je le sors de mes 2 expressions, et le mets en facteur, c'est-à-dire, le
multiplie par tout le reste : | 3 x (x - 2) x (x - 7) | - | (x - 2) x (x + 1) |
(x - 2) x [3 x (x - 7) - (x + 1) ] Je calcule maintenant mon crochet :
[3 x (x - 7) - (x + 1) ] = 3x - 21 - x - 1
= 2x - 22 Résultat de ma factorisation :
(x - 2) x (2x - 22) (x - 2) (2x - 22) Je sais que le résultat est juste, car c'est ce que l'on m'avait demandé de
démontrer
La démarche est identique pour les démonstrations suivantes : (2x - 3) (5x + 4) + (2x - 3)2 = (2x - 3) (7x + 1)
(2x - 3) (5x + 4) + (2x - 3)2
| (2x - 3) x (5x + 4) | + | (2x - 3)2 | Je dois modifier la 2è partie de mon expression en : (2x - 3)2 = (2x - 3) x (2x - 3) | ( x - 3) x (5x + 4) | + | (2x - 3) x (2x - 3) | Mon expression est correctement structurée et un facteur commun apparaît :
(2x - 3) Je le sors de mes 2 expressions, et le multiplie par tout le reste : | (2x - 3) x (5x + 4) | + | (2x - 3) x (2x - 3) |
(2x - 3) x [(5x + 4) + (2x - 3) ] Je calcule maintenant mon crochet :
[(5x + 4) + (2x - 3)] = 5x + 4 + 2x - 3
= 7x + 1 Résultat de ma factorisation :
(2x - 3) x (7x + 1) (2x - 3) (7x + 1) Je sais que le résultat est juste, car c'est ce que l'on m'avait demandé de
démontrer
(5x - 1) (x + 2) - 5x + 1 = (5x - 1) (x + 1) | (5x - 1) x (x + 2) | - 5x +1 Je dois modifier la 2è partie de mon expression en : - 1 x (5x - 1) En effet, lorsque je redistribue le -1 sur les 2 termes de la parenthèse,
j'obtiens bien : - 5x + 1 | (5x - 1) x (x + 2) | - | 1 x (5x - 1) | Mon expression est correctement structurée et un facteur commun apparaît :
(5x - 1) Je le sors de mes 2 expressions, et le multiplie par tout le reste : | (5x - 1) x (x + 2) | - | 1 x (5x - 1) |
(5x - 1) x [(x + 2) - 1] Je calcule maintenant mon crochet :
[(x + 2) - 1]= x + 1 Résultat de ma factorisation :
(5x - 1) x (x + 1) (5x - 1) (x + 1) Je sais que le résultat est juste, car c'est ce que l'on m'avait demandé de
démontrer 4x 2 - 9 = (2x + 3) (2x - 3)
| 4 x x 2 | - 9 Je dois modifier la 2è partie de mon expression en : 9 = 3 x 3 | 4 x x 2 | - | 3 x 3 | Mon expression est correctement structurée par contre aucun facteur commun
n'apparaît :
J'ai beau chercher, il n'y a aucune relation entre le 4 de la 1ère
expression et le 3 de la 2è ; rien à trouver non plus du côté des x , car
il n'y en a pas dans la 2è expression Ma solution de sortie : les identités remarquables j'en connais 3, je les note, et regarde si une convient pour mon exercice :
Je suis en factorisation : voici les types d'énoncé que je dois avoir : a2 + 2ab + b2 à factoriser en (a + b)2
a2 - 2ab + b2 à factoriser en (a - b) 2
a2 - b2 à factoriser en (a + b) (a - b) Mon expression de départ : 4 x 2 - 9 ressemble à la 3ème identité
remarquable : a2 - b2 Je dois maintenant trouver a et b : Quel est le nombre qui se multiplie par lui même pour donner 4x 2 ?
Quel est le nombre qui se multiplie par lui même pour donner 9 ? 4x 2 = (2x ) 2
9 = (3) 2
donc :
a = 2 x
b = 3
Il ne me reste plus qu'à remplacer les lettres par leur valeur dans la
factorisation correspondante : (a + b) (a - b) = (2x + 3) (2x - 3)
(2x + 3) (2x - 3) Je sais que le résultat est juste, car c'est ce que l'on m'avait demandé de
démontrer
(3x + 5) ( 2x + 3) - 4x 2 + 9 = (2x + 3) (x + 8)
| (3x + 5) x ( 2x + 3) | - (4x 2 - 9) Je dois modifier la 2è partie de mon expression : Facile : je viens de la factoriser ci-dessus : j'ai donc par la
factorisation l'expression multipliée de 4x 2 - 9 4x 2 - 9 = (2x + 3) (2x - 3) Je peux alors sans problème la remplacer dans ma nouvelle expression :
| (3x + 5) x ( 2x + 3) | - | (2x + 3) x (2x - 3) | Mon expression est correctement structurée et du coup un facteur commun
apparaît : (2x + 3) Je le sors de mes 2 expressions, et le multiplie par tout le reste : | (3x + 5) x ( 2x + 3) | - | (2x + 3) x (2x - 3) |
(2x + 3) x [(3x + 5) - (2x - 3) ] Je calcule maintenant mon crochet :
[(3x + 5) - (2x - 3) ]= 3x + 5 - 2x + 3
= x + 8 Résultat de ma factorisation :
(2x + 3) x (x + 8) (2x + 3) (x + 8) Je sais que le résultat est juste, car c'est ce que l'on m'avait demandé de
démontrer Exercice N° 3 : factoriser les expressions suivantes :
Le principe est exactement le même que ci-dessus ; la différence est que
cette fois, je n'ai pas le résultat qui me permet de vérifier si ma
factorisation est juste : les calculs sont effectués sans explication : et
bien oui, je commence un peu à avoir l'habitude non ? ? (x - 5)2 - (2x - 7) (x - 5)
(x - 5) x (x - 5) - (2x - 7) x (x - 5)
(x - 5) x (x - 5) - (2x - 7) x (x - 5)
(x - 5) x [(x - 5) - (2x - 7) ]
[(x - 5) - (2x - 7) ]= x - 5 - 2 x + 7
= - x + 2
(x - 5) x (-x + 2) (x - 5) (-x + 2)
(3x - 8) (x - 2) + (5x + 7) (3x - 8)
(3x - 8) x (x - 2) + (5x + 7) x (3x - 8)
(3x - 8) x (x - 2) + (5x + 7) x (3x - 8)
(3x - 8) x [(x - 2) + (5x + 7) ]
[(x- 2) + (5x + 7) ]= x - 2 + 5 x + 7
= 6x + 5 (3x - 8) x (6x + 5) (3x - 8) (6x + 5) (6x + 8) + (x - 2) (3x + 4)
(6x + 8) + (x - 2) x (3x + 4)
(6x + 8) = 2 x (3x + 4)
2 x (3x + 4) + (x - 2) x (3x + 4)
2 x (3x + 4) + (x - 2) x (3x + 4)
(3x + 4) x [2 + (x - 2) ]
[2 + (x - 2) ]= 2 + x - 2
= x (3x + 4) x (x ) x (3x + 4)
(x + 1)2 + x + 1
(x + 1) x (x + 1) + 1 x (x + 1)
(x + 1) x (x + 1) + 1 x (x + 1)
(x + 1) x [(x + 1) + 1 ]
[(x + 1) + 1 ] = x + 1 + 1
= x + 2 (x + 1) x (x + 2) (x + 1) (x + 2)
9x 2 - 16 + (3x + 4) (3x - 2)
9x 2 - 16 + (3x + 4) x (3x - 2)
9x 2 - 16 = (3x + 4) x (3x - 4)
(3x + 4) x (3 x - 4) + (3x + 4) x (3x - 2)
(3x + 4) x (3x -