LIRE UNE EXPRESSION, DEVELOPPER, FACTORISER

Quand une série d'exercices a été faite, la correction au tableau est peu satisfaisante : les bons élèves ont l'impression de perdre leur temps, alors que ceux qui ont commis des erreurs se contentent souvent de recopier la correction ( espérons que cela soit réalisé sans faute) sans chercher où se trouve(nt) leur(s) erreur(s).



un extrait du document



LIRE UNE EXPRESSION, DEVELOPPER, FACTORISER AVEC DERIVE | | | |
|NIVEAU | |OBJECTIFS |
|Seconde | | |
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| | |Mieux comprendre la structure des |
|TYPE D'UTILISATION | |expressions algébriques pour mieux|
|Travaux dirigés en salle | |maîtriser le calcul algébrique |
|informatique | | |
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|MATERIEL | | |
|Une salle d'ordinateurs PC | | |
|Logiciel : | | |
|Derive (Edusoft) | | |
APPORTS DU LOGICIEL - Analyser la structure d'une expression, puisque l'on a accès à
différents niveaux de celle-ci - Passer d'une écriture « en ligne » à une écriture « en deux dimensions » - Vérifier des résultats de calcul algébrique, ce qui permet un travail
plus autonome de l'élève
AUTEUR DE LA SEQUENCE :
Bernard LACHAMBRE (Académie de Besançon) Séquence extraite de la brochure "Informatique et Mathématiques", mars
1995, publiée par la MAFPEN et le CRDP de Franche-Comté LIRE UNE EXPRESSION, DEVELOPPER, FACTORISER
AVEC DERIVE
fiche professeur CONNAISSANCES PREALABLES Mathématiques : Les connaissances en calcul algébrique du collège (cette
séquence intervient dès le début du travail sur ce thème en seconde). Logiciel : Aucune.
OBJECTIFS DE L'ACTIVITE ET APPORTS DE L'ORDINATEUR Le calcul algébrique en seconde demande, pour être bien maîtrisé, que de
nombreux exercices soient faits par les élèves, et ceci tout au long de
l'année.
L'organisation de séances d'exercices n'est pas très aisée si l'on veut
qu'elles soient profitables à tous. En effet : - Tout d'abord, le niveau et le degré de maîtrise du calcul algébrique
est très variable d'un élève à l'autre et certains élèves sont très
lents. Quand une série d'exercices a été faite, la correction au tableau
est peu satisfaisante : les bons élèves ont l'impression de perdre leur
temps, alors que ceux qui ont commis des erreurs se contentent souvent de
recopier la correction (espérons que cela soit réalisé sans faute) sans
chercher où se trouve(nt) leur(s) erreur(s). C'est la première raison qui
m'a incité à utiliser le logiciel Derive avec mes élèves.
- De plus, lire une expression et lui donner un sens représente aussi une
difficulté pour l'élève de seconde. Cette difficulté apparaît par exemple
lors de la réalisation d'un calcul à l'aide de la calculatrice (priorité
des opérations, rôle de la barre de fraction, ...). Dans ce cas, c'est la
valeur du résultat, comparée à la valeur attendue, qui sert de contrôle
et révèle ou non l'existence d'une erreur. L'utilisation de Derive, elle,
apporte beaucoup plus, car le logiciel va afficher, avec l'écriture
habituelle (c'est-à-dire en deux dimensions), l'expression que l'élève
vient de rentrer « en ligne ».
- Enfin je pensais également qu'il était intéressant de proposer à de
futurs scientifiques et techniciens (je travaille en lycée technique) ce
type d'outil, performant, qu'ils pourront rencontrer plus tard.
On peut penser également que l'ordinateur aide les élèves à avoir un
comportement plus critique face à une expression algébrique, dans la mesure
où ils auront davantage « expérimenté » dans ce domaine.
Remarque importante : L'objectif reste que les élèves soient capables de
faire du calcul algébrique à la main, sans ordinateur. Ce dernier n'est
qu'un auxiliaire qui peut les aider à un meilleur apprentissage. Ceci dans
l'état actuel des programmes et des possibilités des calculatrices
courantes. Mais la situation évolue avec l'arrivée de calculatrices
contenant un programme de calcul formel, comme la TI 92 qui contient une
version adaptée de Dérive.
ORGANISATION ET DEROULEMENT Durée de l'activité : Deux séances d'une heure pour effectuer le travail prévu dans la fiche
élève jointe, mais d'autres séances peuvent compléter celles-ci, comme il
est indiqué plus loin. Organisation et déroulement du travail : Les deux premières séances se déroulent avant qu'un travail systématique ne
soit entrepris sur le calcul algébrique. Au cours de la première séance, a lieu la présentation des principales
commandes du logiciel (Auteur, dEveloppe, Factorise, Simplifie, cHoix-
Substitue, approXime) et des touches d'édition des formules, ceci à l'aide
d'un dispositif de rétroprojection (environ 10 mn).
Les élèves reçoivent ensuite les feuilles de travail dirigé (voir fiche
élève). Ces feuilles décrivent les actions à faire, par le menu dans un
premier temps, (cette première phase permet donc l'initiation au logiciel),
puis en les laissant se débrouiller seuls.
Les élèves doivent effectuer le travail indiqué et rédiger un compte-rendu
précis, en particulier toutes les étapes du calcul (mené à la main) doivent
y être indiquées. Les élèves disposent également d'une fiche leur rappelant les principales
commandes de Derive (cette fiche est reproduite en annexe 2). Le travail indiqué sur la fiche élève correspond à environ deux heures de
travail. Ce temps peut paraître long, mais l'observation des élèves montre
qu'ils passent du temps pour analyser leurs erreurs et s'expliquer
mutuellement leurs différentes démarches, ce qui me semble très profitable
(voir en annexe 1 un exemple de travail d'élèves).
SUITE DU TRAVAIL Des séances de calcul algébrique (développement, factorisation, résolution
d'équations, calcul avec des racines) sont ensuite organisées
régulièrement, soit avec l'aide de Derive, soit sans Derive (trois autres
séances ont eu lieu, dont deux dans le cadre de l'enseignement modulaire).
Dans ce cas, les calculs à effectuer (les énoncés) sont déjà saisis, les
élèves les chargent en mémoire en début de séance, puis utilisent
l'ordinateur pour contrôler les calculs qu'ils réalisent à la main, et pour
rechercher leurs erreurs, par exemple en demandant un développement ou une
factorisation partielle.
Remarques : Seule une faible partie de la puissance de Derive est utilisée ici, mais
l'usage d'un logiciel ouvert laisse une part importante d'initiative à
l'élève ainsi qu'à l'enseignant. De plus les vastes possibilités offertes par le logiciel le rendent
utilisable par un élève donné pendant plusieurs années, ce qui minimise le
« coût » en temps d'apprentissage et tend à faire entrer l'utilisation d'un
tel outil dans les habitudes. Contenu du fichier EX1.MTH
[pic]
3 : [pic]
Annexe 1
Un exemple de traitement d'erreur par un groupe de deux élèves
A la saisie de l'expression de l'exercice 4, un groupe d'élèves obtient
l'affichage suivant :
[pic]
au lieu de celui qui était attendu : [pic]
J'avais déjà eu plusieurs fois l'occasion de faire remarquer qu'il était
préférable, en cas d'erreur de saisie, de modifier une expression plutôt
que de la retaper entièrement. Aussi les élèves ont-ils, après un moment
de surprise, repris dans l'éditeur l'expression saisie précédemment.
Dans un premier temps, ils ont cherché en vain leur erreur.
Le premier défaut qu'ils ont mis en évidence a concerné la présence du
facteur b en fin d'expression. Après discussion, l'un d'eux a fait
remarquer qu'un produit sous une barre de fraction devait être effectué
prioritairement au quotient, priorité qui semblait non respectée dans le
cas présent. Il fallait donc mettre des parenthèses. Ensuite la
discussion a été plus longue et deux essais ont été nécessaires pour
arriver à « redescendre » le b : le premier a consisté à mettre des
parenthèses autour de b, réaction que j'avais déjà rencontrée
précédemment dans le cadre d'un travail sur feuille lorsque j'avais dit
qu'une expression était mal écrite.
Après cette première correction, ils ont été surpris de constater que le
résultat obtenu était encore incorrect : [pic] .
On peut donc penser qu'ils n'avaient pas remarqué, dans leur première
analyse, la présence d'un deuxième défaut. Là aussi la recherche de la
position des parenthèses manquantes a demandé un certain temps : fallait-
il les mettre autour du terme (a+b)² mal placé, ou autour de (a+b)² - (a-
b)² ? D'autres propositions ont aussi été faites, mais elles ont été
rapidement abandonnées.
Le travail de ces élèves pour l'écriture de cette expression a duré
environ 10 minutes, pendant lesquelles je ne suis pas intervenu. Ils ont
certainement, à cette occasion, appris plus de choses sur la priorité des
opérations en liaison avec les barres de fraction que s'ils s'étaient
trouvés dans un environnement papier crayon ; le retour par l'ordinateur
de l'expression tapée et la possibilité de la relire « en ligne » dans
l'éditeur sont très intéressants. Une fois l'expression bien écrite, je
suis intervenu pour leur poser quelques q
....