Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

PS1- PS2- Corrigé DS n° 1- Second degré. Exercice 1 :
1ière méthode :
La fonction f est une fonction polynôme du second degré donc sa courbe
représentative est une parabole. Si on place dans un repère les points de
coordonnées (x, f(x)), on peut voir que la parabole est tournée vers le
haut donc , elle coupe deux fois l'axe des abscisses donc ( > 0 b² - 4ac >
0 .
De plus, f(0) = - 1 donc c = - 1 soit et . ) puisqu'elle s'annule deux
fois, elle est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a
sinon. [pic] Conclusion : 2ième méthode : f est une fonction polynôme de degré 2 qui peut s'écrire
sous la forme f (x) = ax² + bx + c
Or, f( -1) = 9 a( -1)² + b( -1) + c = 9 a - b + c = 9
f(0) = - 1 a 0² + b0 + c = - 1
f(1) = 5 a1² + b1 + c = 5 a + b + c = 5
Il suffit de résoudre le système suivant:
Soit 2a = 16 et 2b = - 4 donc a = 8 et b = - 2 d'où On a immédiatement les réponses aux questions a) et c).
Le discriminant de ce trinôme est égal à ( = ( -2)2 - 48( -1) = 4 + 32 = 36
> 0 donc b) est vraie et d) est fausse, le trinôme change de signe. Exercice 2 :
1) (P1) est la parabole tournée vers le haut car a = 1 > 0
(P2) est la parabole tournée vers le bas car a = - 2 < 0. 2) a) (P1) et (P2) coupent deux fois l'axe des abscisses donc le
discriminant de f et celui de g sont tous les deux positifs.
b) Graphiquement, x { 1, 4 }) et x { 0, 3/2 }) 3) : On cherche la forme canonique de f(x)
Or, f(x) = x2 - 5x + 4 = ) - + 4 = ) - . , - ))
2ième méthode : ( = - = et ( = f ) = ) - 5) + 4 = - + 4 = = - 4) a) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = g(x) revient à chercher
les abscisses des points d'intersection de (P1) et (P2) . (0,5 est une
valeur approchée)
b) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < g(x) revient à chercher
les abscisses des points de (P1) situés en dessous de (P2). 5) a) Pour déterminer par calcul, les coordonnées des points communs à
(P1) et (P2), on résout l'équation
f(x) = g(x) x2 - 5x + 4 = - 2x2 + 3x 3x2 - 8x + 4 = 0.
Le trinôme 3x2 - 8x + 4 a pour discriminant ( = (- 8)2 - 434 = 64 - 48 = 16
= 4²
Donc le trinôme admet deux racines : x1 = 3)) = = et x2 = 3)) = = 2
f(x1) = g(x1) = -2 )+ 3 ) = - + 2 = = et f(x2) = g(x2) = -22² + 32 =
- 8 + 6 = - 2
, ) et (2, - 2)) b) Pour étudier, par calcul, la position (P1) et (P2), on étudie le
signe de f(x) - g(x).
Or, f(x) - g(x) = x2 - 5x + 4 - (- 2x2 + 3x ) = 3x2 - 8x + 4. On connait
déjà les racines de ce trinôme. Comme a = 3 > 0, le trinôme est positif à
l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur. Donc,
Sur ] - , 2/3[ et sur ] 2, + [ , f(x) - g(x) > 0 soit f(x) > g(x) et (P1)
est au dessus de (P2).
Sur ] 2/3, 2[,f(x) - g(x) < 0 soit f(x) < g(x) et (P1) est en dessous de
(P2).
Exercice 3 : 1) M [AB] et AB = 3 donc x [0 ; 3] et
2) L'aire de MNPQ est égale à l'aire du rectangle ABCD moins la somme des
aires des qutre triangles rectangles AMQ, PDQ, CNP et BMN.
Donc A(x) = 35 - (x(5 - x) + x(3 - x) + x(5 - x) + x(3 - x))
= 15 - (x(5 - x) + x(3 - x))
= 15 - (5x - x² + 3x - x²)
= 15 - 5x + x² - 3x + x² donc
3) a) On cherche x tel que A(x) = 9 2x² - 8x + 15 = 9 2x² - 8x + 6 = 0
2(x² - 4x + 3) = 0 2(x - 3)(x -1) = 0
Donc A(x) = 9 x = 3 ou x = 1
b) On cherche x tel que A(x) < 9 2x² - 8x + 6 < 0 ]1, 3[)
1 < AM < 3) 4) ( = = 2 (moyenne des racines ou autre méthode) et ( = A(2) = 8 - 16 +
15 = 7. D'autre part, a > 0
On en déduit le tableau de variation de la fonction A. |x | 0 2|
| |3 |
| | |
|A(x) |9 |
| | |
| |7 |
5) a)
b) Exercice 4 :
1) Les racines sont : x1 = ;2a)) et x2 = ;2a))
Donc S = ;2a)) + ;2a)) = - = -
Et P = ;2a))) ;2a))) = ); (2a)2)) = = = =
et que leur produit vaut .)
2) On considère l'équation [pic] où [pic] est un réel fixé.
a) [pic]est une racine de cette équation 2(-1)2 + m(-1) + 3 = 0 2 - m
+ 3 = 0 m = 5
[pic]= 5 pour que [pic] soit une racine de cette équation
)
b) D'après la question précédente, le produit des racines est égal à = .
Comme une racine est -1, la deuxième est - . ) Exercice 5 : x2 0 pour tout réel x donc x2 + 3 > 0 sur .
- x2 + 2x - 1 a pour discriminant ( = 4 - 4 = 0, il s'annule en = 1, - x2
+ 2x - 1 < 0 sinon (signe de a)
-2 x2 + x + 3 a pour discriminant ( = 1+ 24 = 25 = 52, il a deux racines -
1 et 3/2, il est du signe de a à l'extérieur des racines.
On dresse alors un tableau de signe du quotient. On a : |x | - - 1 1 |
| |3/2 + |
|x2 + 3 | + + |
| |+ + |
|- x2 + 2x - 1 | - - 0 |
| |- - |
|-2 x2 + x + 3 | - 0 + |
| |+ 0 - |
|quotient | + - 0 |
| |- + |
0 x ] - , - 1[ {1} ] 3/2 , + [ Exercice 6 : 1) a) sqrt (D) signifie .
b) Le rôle de cet algorithme est de résoudre une équation du second degré.
Il demande à l'utilisateur de donner les valeurs de a, b et c coefficients
du trinôme, il calcule le discriminant, teste la condition sur le signe du
discriminant et applique les formules !
2) Juste après le calcul de D et avant le premier Si, on peut écrire
Afficher « le discriminant est égal à : »
Afficher D