Bac maths S 2002 - Nouvelle-Calédonie

Annales bac mathématiques S non corrigées. ... Bac S 2002 - Nouvelle- Calédonie. Exercices : probabilité, complexe, arithmétique ? Problème : fonction  ...



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Bac S 2002 - Nouvelle-Calédonie

Exercices : probabilité, complexe, arithmétique – Problème : fonction exponentielle.

Annales bac S non corrigées :  HYPERLINK "http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/terminale.html" http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2002/bac_s_nouvelle_caledonie_2002.doc

BACCALAUREAT GENERAL Session 2002
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE

L'utilisation d’une calculatrice est autorisée
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3.

EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats

Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 ¬ ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 ¬ et si une seule est rouge il gagne 4 ¬ . Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu.

1°) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

2°) Pour un jeu, la mise est de 10 ¬ . Le jeu est(il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est(elle strictement supérieure à 10 ?

3°) Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui(ci envisage deux solutions:
_ soit augmenter la mise de 1 ¬ , donc passer à 11 ¬ ,
_ soit diminuer chaque gain de 1 ¬ , c'est-à-dire ne gagner que 99 ¬ , 14 e ou 3¬ .
Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ?

EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S= x + y et P = xy.
1°) a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b) En déduire que S = x+y et P =xy sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes ( l'un pair, l'autre impair).

2°) Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3°) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que : SP = 84.
4°) Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes:
 EMBED Equation.DSMT4  avec d = pgcd(a;b)
(On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux)
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

1°) On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par:
 EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l'équation P(z) = 0.
Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait  EMBED Equation.DSMT4 
Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation P(z) = 0.
2°) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ).
On prendra 1 cm pour unité graphique.
Placer les points A, B et I d'affixes respectives zA = -7 + 5 i ; zB = -7 – 5 i et  EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre O et d'angle EMBED Equation.DSMT4 .
Placer le point C d'affixe zC = 1 + i. Déterminer l'affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.
Placer le point D d'affixe zA = 1 + 11 i. Calculer  EMBED Equation.DSMT4  sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.



PROBLEME (10 points) commun à tous les candidats

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ). (Unités graphiques : 2 cm)

Partie A

On considère la fonction f définie sur R par  EMBED Equation.DSMT4 .
1°) Déterminer les limites de f en ( (, puis en + (.

2°) Etudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variations.

3°) Construire la courbe (() représentative de f dans le repère (O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 )..

4°) A l'aide d'une intégration par parties, calculer  EMBED Equation.DSMT4  et en déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine définie par les couples (x, y) tels que 0 ( y ( f(x) et x ( 0.

5°)a) Démontrer que l'équation f(x) = 3 admet deux solutions dans R. Soit ( la solution non nulle, montrer que : (2 < ( <  EMBED Equation.DSMT4 .
b) Plus généralement, déterminer graphiquement, suivant les valeurs du nombre réel m, le nombre de solutions de l'équation f(x) = m.
Partie B

On considère la fonction ( définie sur R par  EMBED Equation.DSMT4 .

1°) Démontrer que f(x) = 3 si et seulement si ((x) = x.

2°) Soit (' et (" les dérivées première et seconde de la fonction (.
Calculer, pour tout réel x, ('(x) et ("(x
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hÄ~¨CJUVaJjhÄ~¨CJUaJhÄ~¨5CJ\aJhÄ~¨CJaJhÄ~¨ jjðhÄ~¨1). Justifier que EMBED Equation.DSMT4 .
Etudier le sens de variation de (', puis celui de (.

On se place désormais dans l'intervalle I = [(2; (].

3°) Montrer que, pour tout x appartenant à I:
a) ((x) appartient à I.
b)  EMBED Equation.DSMT4 .
c) En déduire, à l'aide d'une intégration, que pour tout x de l'intervalle I, on a :
 EMBED Equation.DSMT4 .

4°) On considère la suite (un) définie sur R par uo = (2 et un+1 = ((un).
Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, un appartient à l'intervalle I.
Justifier que, pour tout entier n,
 EMBED Equation.DSMT4  puis que  EMBED Equation.DSMT4 
En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.
Déterminer le plus petit entier p tel que :  EMBED Equation.DSMT4 .
Donner une approximation décimale à 10(2 près de up à l'aide d'une calculatrice, puis une valeur approchée de ( à 2.10(2 près.








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