bac maths ES 2000 - National

Sujet national Exercices : Probabilités - Statistiques - Suites - Problème : Fonction
exponentielle. Annales Bac ES non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2000/bac_es_national_2000.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2000
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : ES Durée : 3 heures Coef. : 5 ou 7 OBLIGATOIRE et SPECIALITE L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet. Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3. EXERCICE 1 commun à tous les candidats En 1998 un constructeur automobile français a vendu dans la catégorie
"petites voitures"
283 049 véhicules répartis de la façon suivante : 86 214 du modèle A, 166
937 du modèle B, le reste du modèle C.
Le constructeur estime que la probabilité de choix d'un de ces modèles par
un client ayant l'intention d'acheter une voiture de cette catégorie, est
égale à la fréquence de vente de ce modèle dans la catégorie "petites
voitures" de cette marque. Les résultats seront arrondis à trois décimales. 1. Déterminer la probabilité qu'un client acheteur choisisse le modèle B.
Quelle est la probabilité qu'il ne choisisse pas le modèle B ? 2. Trois clients achètent un véhicule dans la catégorie "petites voitures",
leur choix se fait de façon indépendante.
On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de clients parmi les
trois qui achètent le modèle B.
a) Construire un arbre de probabilité et déterminer la loi de probabilité
de X.
b) Calculer l'espérance mathématique de X. 3. Représenter la fonction de répartition de X. 4. Quelle est la probabilité pour qu'au plus deux clients sur les trois
achètent un véhicule du modèle B ?
EXERCICE 2 pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Le système bancaire, recevant un dépôt initial S0 = 50 000 F, en remet 80 %
en circulation sous forme de prêts et en conserve 20 % (le montant de cette
réserve sera noté E0). L'activité économique se traduit par le fait que les sommes prêtées
reviennent dans le système où elles apparaissent comme un nouveau dépôt S1,
dépôt qui sera traité selon le même processus (80 % remis en circulation,
20 % mis en réserve).
Le dépôt initial de 50 000 F engendre ainsi une suite (Sn) de dépôts
successifs et une suite (En) de mises en réserve. 1) a) Calculer S1, S2, E0, E1, E2.
b) Exprimer Sn à l'aide de Sn - 1.
c) En déduire les expressions de Sn et de En en fonction de n. 2) On fait le bilan après que la banque ait reçu les n premiers dépôts S0,
..., Sn-1 (et ait procédé aux mises en réserve correspondantes).
a) Calculer en fonction de n la somme totale Dn que la banque a reçue.
b) Calculer la somme totale Rn que la banque a inscrite en réserve. 3) a) Montrer que la limite R de la suite (Rn) est égale au dépôt initial
S0.
b) Déterminer la limite D de la suite Dn.
Quelle est l'interprétation de la différence D - S0 ? EXERCICE 2 candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire Le tableau suivant, publié en août 1999 dans une revue économique, donne la
part du temps partiel au sein de la population active (les valeurs pour
2000 et 2004 sont le résultat d'une estimation).
Année xi1980198519901995199720002004Part du temps partiel en % : yi8,3111215,616,81820
On étudie la série statistique (xi, yi) pour 1980 ( xi ( 1997.
Les calculs seront effectués à la calculatrice. 1. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (xi, yi) pour : 1980 ( xi ( 1997. On prendra : 1 cm pour une part de 2 % en ordonnée, 2 cm pour 5 ans en abscisse en prenant pour origine le point (1980 ; 0). 2. Déterminer les coordonnées de G, point moyen de la série statistique (xi, yi).
Le placer sur le graphique.
3. a) Donner la valeur arrondie à 10-3 près du coefficient de corrélation linéaire de la série (xi, yi). Un ajustement affine est-il justifié ?
b) Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (a et b arrondis à 10-3 près).
Dessiner cette droite sur le graphique.
c) Peut-on considérer que les estimations pour 2000 et 2004 faites par la revue ont été réalisées en utilisant l'équation obtenue à la question 3.b) ?
PROBLEME commun à tous les candidats Partie A
1. Soit Cm la fonction définie sur [0 ; 6 ] par :
Cm (q) = 0,8 + 4( 1-2q) e -2q
Cette fonction traduit le coût marginal quotidien d'une usine pour la fabrication d'un produit chimique sous forme liquide, q étant la quantité de produit exprimée en milliers de litres et Cm(q) exprimé en milliers de francs.
Dresser le tableau de variations de Cm, la valeur de Cm(1) figurera sur le tableau.
En déduire le signe de Cm(q) sur [0 ; 6]. 2. a) Montrer que la fonction g définie sur [0 ; 6] par g(q)= 4*q* e-2q admet pour fonction dérivée la fonction définie par g'(q) = 4( 1- 2q) e-2q.
b) Le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total.
Sachant que les coûts fixes CT(0) s'élèvent à un millier de francs, déterminer la fonction CT traduisant le coût total en fonction de q. 3. a) Déterminer les variations de CT sur [ 0 ; 6 ] en utilisant la question 1.
b) Représenter la fonction coût total dans le plan muni d'un repère orthonormé
(O ; [pic] ,[pic]) (unité graphique 2 cm)
Partie B
Le prix de vente de ce liquide est de 1,8 F par litre .La fabrication quotidienne est vendue en totalité. 1. a) Représenter sur le graphique précédent la fonction traduisant la recette quotidienne.
b) Montrer que le bénéfice noté B(q) s'exprime par B(q) = q - 1 - 4*q * e-2q 2. Soit la fonction h définie sur [ 0 ; 6 ] par h(q) = 1,8 - Cm(q)
a) Etudier les variations de h en utilisant celles de Cm.
Démontrer que l'équation h(q) = 0 a une unique solution ? sur [ 0 ; 1 ].(on ne demande pas de calculer ?)
b) En déduire le signe de h(q) pour q ( [ 0 ; 6]. 3) a) En utilisant la question précédente donner les variations de B.
b) Donner une valeur de B(?) avec deux décimales en prenant 0,28 comme valeur de ?.
Que représente cette valeur pour cette usine ?