EXERCICE III L'atome d'hydrogène (4 points)

Bac S ( Antilles septembre 2010 Correction ©
http:/labolycee.org
EXERCICE III. L'ATOME D'HYDROGÈNE (4 points) 1. Mouvement de l'électron dans l'atome
1.1.(0,25) La force d'interaction [pic] est portée par le vecteur unitaire
[pic]. La force est centripète, c'est-à-dire orientée vers le proton.
1.2. (0,5) La norme de la force s'écrit [pic]
Donc [pic]
F s'exprime en newton (N), e s'exprime en coulomb (C) et R s'exprime en
mètre (m).
Donc les unités de la constante k sont N.m2.C(2. Facultatif : On peut aller plus loin en n'utilisant que des unités S.I, il
faut alors exprimer les newtons et les coulombs en unités de base du
système international.
2ème loi de Newton F = m.a, alors [N] = M.L.T(2 soit N = kg.m.s(2
Q = I.?t donc [Q] = [I].[?t] = I.T soit C = A.s
Finalement k s'exprime en kg.m.s(2.m2.(A.s)(2 = kg.m3.A(2.s(4 1.3.(0,125) Dans le cas d'un mouvement circulaire et uniforme, l'expression
du vecteur accélération [pic] dans la base mobile ([pic],[pic]) s'écrit :
[pic]. 1.4.(0,5) On étudie le mouvement de l'électron dans le référentiel lié au
proton supposé galiléen.
L'électron n'est soumis qu'à la force [pic].
Remarque : le poids [pic] de l'électron a une valeur négligeable devant
celle de [pic] . En effet, avec les valeurs de la question 1.5 : P = m.g =
9,109×10-31 × 9,80 = 8,94 ×10(30 N
[pic] = 8,22 × 10(8 N >> P
La deuxième loi de Newton impose alors : [pic] avec m, la masse de
l'électron.
En reportant les expressions de l'accélération et de la force :
[pic] [pic]
En identifiant les expressions sur les vecteurs unitaires [pic], il vient :
[pic] ( [pic] soit finalement [pic] (on ne garde que la
solution positive) 1.5.(0,125) [pic] ( [pic]= 2,187×106
V = 2,2 ×106 m.s(1
On vérifie que V < c = 3,0 ×108 m.s(1.
1.6.(0,5) Énergie cinétique : EC =1/2.m.V² donc [pic] soit [pic]
1.7.(0,25) [pic]
( [pic]= 2,179×10(18 J = 2,2 ×10(18 J
Or 1 eV = 1,602 × 10(19 J donc EC = [pic]= 13,6 = 14 eV.
2. La quantification de Bohr 2.1. Dans le cadre de la mécanique de Newton, un système peut prendre, à
priori, toutes les valeurs possibles de l'énergie mécanique. L'énergie
mécanique varie de façon continue.
Par contre, dans le cadre de la mécanique quantique, l'énergie de l'atome
ne peut prendre que certaines valeurs particulières : l'énergie de l'atome
est dite « quantifiée ».
2.2. (0,25)
|n |1 |2 |3 |4 |5 |
|En (eV) = |-13,6 |-3,40 |-1,51 |- 0,850 |- 0,544 |
|(13,6/n² | | | | | |
|rn = a0 n² |a0 |4a0 |9a0 |16a0 |25a0 | 2.3.(0,125) Si n devient très grand alors [pic] tend vers zéro.
(0,125) Et le rayon rn = a0n2 tend vers « l'infini ». 2.4.(0,125) Pour libérer l'électron « piégé » au fond du puits dans l'état
fondamental d'énergie
E1 = - 13,6 eV, il faut qu'il acquiert une énergie nulle au minimum, ainsi
il faut fournir une énergie minimale égale à 13,6 eV. 2.5.(0,125) L'atome d'hydrogène devient un cation, il est alors ionisé. 2.6.(0,125) L'atome est initialement dans son état de plus basse énergie
E1.
On lui apporte l'énergie (E = 10,2 eV = En - E1. Il passe alors dans un
état d'énergie En tel que :
En = E1 + 10,2 = - 13,6 + 10,2 = - 3,4 eV = E2.
Ainsi l'électron se retrouve dans l'état d'énergie E2 (premier état
excité). 2.7. L'atome retrouve son état de plus basse énergie E1 en libérant un
photon d'énergie (E et de fréquence ( tel que (E = h. ( soit [pic] avec (E
en J
(0,25) [pic]= 2,468×1015 = 2,47 ×1015 Hz
La longueur d'onde dans le vide ( du photon émis est alors : [pic]
(0,25) Soit [pic]= 1,215×10(7 m = 122 nm.
2.8.(0,125) Comme ( = 122 nm < 400 nm, la radiation émise appartient au
domaine des radiations ultraviolettes.
----------------------- [pic] [pic] [pic] électron R [pic] proton