QUELQUES EXERCICES DE PROBABILITÉ

QUELQUES EXERCICES DE PROBABILITÉ
Définition de la probabilité
On tire au hasard un carte dans un jeu de 32 cartes. Calculer la
probabilité des événements :
A : « La carte tirée est un c?ur » ;
B : « L carte tirée est une dame ». On teste un dé pipé et on observe que les probabilités de sortie des faces
1 à 5 sont :
p({1}) = 0,118 p({2}) = 0,13 p({3}) = 0,153
p({4}) = 0,181 p({5}) = 0,202
a) calculer p({6}).
b) On lance une fois le dé.
Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « Le résultat obtenu est pair » ;
B : « le résultat est supérieur ou égal à 3 ». On lance un dé cubique truqué. La probabilité d'obtenir la face n° i est
notée pi ; on sait par ailleurs que :
p1 = p2 = p3
p4 = p5 = 2p1
p6 = 3p1
a) Calculer les probabilités d'obtention de chaque face.
b) Calculer la probabilité d'obtenir un résultat pair. Dénombrement avec un tableau
Un sac contient 6 jetons qui portent les lettres A, B, C, D, E et F. On
tire au hasard un jeton que l'on remet dans le sac puis un second jeton. On
note les lettres obtenues.
a) À l'aide d'un tableau, représenter l'ensemble E de toutes les issues.
Menu
3 entrées au choix
carottes, tomates, jambon.
4 plats au choix
oeuf, steak, mouton, canard.
2 desserts au choix
fromage, tarte.
b) Définir une loi de probabilité sur E pour modéliser l'expérience.
c) Déterminer la probabilité qu'il y ait deux voyelles lors du tirage. Utilisation d'arbres pour dénombrer...
À la cantine
a) Combien de repas différents peut-on composer en choisissant une entrée,
un plat et un dessert ?
b) Un élève distrait choisit au hasard une entrée, un plat et un dessert.
Quelle est la probabilité pour qu'il choisisse un repas sans viande ?
Une urne contient trois boules bleues B1, B2 et B3 et deux boules blanches
W1 et W2.
On tire au hasard deux boules successivement, en remettant la première
boule dans l'urne avant de procéder au second tirage .
a) Représenter dans un tableau tous les tirages possibles.
b) Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules bleues ?
c) Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche et une boule bleue
?
d) Quelle est la probabilité d' obtenir deux boules blanches ?
e) Quelle est la somme des trois probabilités obtenues ? Dans un jeu de 32 cartes, on tire au hasard une première carte, on la
remet dans le paquet, puis on tire une deuxième carte.
a) Déterminer le nombre d'issues de l'expérience.
b) Quelle est la probabilité d'obtenir la dame de pique puis le roi de
trèfle. Claire possède 6 cubes, chacun des cubes porte une lettre de son prénom.
Elle ordonne au hasard les 6 cubes et elle obtient un mot de 6 lettres,
ayant un sens ou non.
a) Combien de mot peut-elle écrire ?
b) Quelle est la probabilité qu'elle reconstitue son prénom ? Le paradoxe des anniversaires
Dans une classe de 33 élèves, est-il raisonnable de parier sur le fait que
deux élèves au moins fêtent leur anniversaire le même jour de l'année ? Problème du chevalier de Méré
Quel est l'événement le plus probable : obtenir au moins une fois 6 en
lançant 4 fois un dé ou obtenir au moins une fois un double six en lançant
24 fois une paire de dé ?
Pour comprendre la motivation de ce calcul, il convient de lire le
texte suivant, extrait d'une lettre de Blaise Pascal à Pierre de
Fermat en date du 29 juillet 1654 :
« Je n'ai pas eu le temps de vous envoyer la démonstration d'une
difficulté qui étonnait fort M. de Méré, car il a très bon esprit,
mais il n'est pas géomètre (c'est, comme vous savez, un grand défaut)
et même il ne comprend pas qu'une ligne mathématique soit divisible à
l'infini et croit fort bien entendre qu'elle est composée de points en
nombre fini, et je n'ai jamais pu l'en tirer. Si vous pouviez le
faire, on le rendrait parfait.
Il me disait donc qu'il avait trouvé fausseté dans les nombres par
cette raison :
Si on entreprend de faire un six avec un dé, il y a avantage de
l'entreprendre en 4, comme de 671 à 625.
Si on entreprend de faire Sonnez avec deux dés, il y a désavantage de
l'entreprendre en 24.
Et néanmoins 24 est à 36 (qui est le nombre des faces de deux dés)
comme 4 à 6 (qui est le nombre des faces d'un dé).
Voilà quel était son grand scandale qui lui faisait dire hautement que
les propositions n'étaient pas constantes et que l'arithmétique se
démentait : mais vous en verrez bien aisément la raison par les
principes où vous êtes. » Probabilité de la réunion de deux événements
Dans un groupe de 20 personnes, 10 personnes s'intéressent à la pêche, 8 à
la lecture, et 3 s'intéressent à la pêche et à la lecture.
On choisit une personne au hasard dans le groupe.
a) Calculer la probabilité qu'elle s'intéresse à la pêche ou à la lecture.
b) Calculer la probabilité qu'elle s'intéresse ni à la pêche, ni à la
lecture. Dans un pays équatorial, les habitants présentent le plus fréquemment les
symptômes de deux maladies M1 et M2.
20 % des habitants souffrent de M1 , 16% de M2 et 8% de M1 et de M2.
Un habitant du pays se présente à l'hôpital pour un bilan de santé.
Calculer la probabilité des événements :
A : "il n'est atteint ni de la maladie M1, ni de la maladie M2";
B : " il souffre de la maladie M1, mais pas de la maladie M2";
C : "il souffre de la maladie M1, mais pas de la maladie M2". Variables aléatoires
Jérémy lance 2 dés à 6 faces simultanément. Soit X la variable aléatoire
représentant la somme des chiffres obtenus sur les deux dés.
1) Déterminer les valeurs possibles de X.
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Calculer l'espérance de X.
4) Calculer l'écart-type de X. En donner une valeur approchée à 10-2 près.
5) Calculer p(X > 6) et p(X = 12). Une roue de loterie présente de nombreux secteurs munis d'une marque.
Chaque secteur permet de gagner 100 E, 10 E, 5 E ou 1 E ou ne rien gagner
(0 E).
8 % gagnent 5 E ; le cinquième gagne 1 E ; le vingtième gagne 10 E et plus,
dont le dixièmegagne 100 E. On admet que la répartition des secteurs selon
le gain définit une loi de probabilité.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain obtenu.
1) Déterminer la loi de X. Justifier que plus des deux tiers des secteurs
ne gagnent rien (0 E).
2) a) Montrer que l'espérance de X est 1,55 E.
b) Si le prix du billet est de 2 E, calculer l'espérance de recette par
billet pour le gérant de cette loterie.
3) Les frais fixes se montent à 1500 E.
Combien de billets au minimum ce gérant doit-il vendre pour réaliser un
profit ? Johanna aime bien jouer aux fléchettes. Elle arrive toujours à atteindre
la cible et la probabilité que'elle atteigne une zone est proportionnelle à
l'aire de cette zone. On note X la variable aléatoire représentant le
nombre de points obtenus par Johanna.
1) Déterminer les valeurs possibles de X.
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Calculer l'espérance de X.
4) Calculer l'écart-type de X. Arrondir le résultat au dixième.
[pic] Un tireur sur cible s'entraîne sur une cible circulaire comportant trois
zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20
et 30 centimètres.
On admet que la probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée du centre
est proportionnelle à l'aire de cette zone.
La probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à :
a) 5/9 b) 9/14 c) 4/7 d)1/3. À droite ou à gauche
Une boule est lancée en haut d'une pyramide. À chaque obstacle, il y a une
chance sur deux pour qu'elle se dirige à droite ou à gauche. Soit X la
variable aléatoire correspondant à la case où la boule tombe à la fin de
son parcours. Déterminer la loi de X.
[pic] Autres exercices.
Boris passe son oral du bac mais il ne connaît que la moitié de ses leçons.
L'examinateur a écrit 100 sujets différents, recouvrant la totalité du
programme de l'année. Les sujets sont mis dans une grande boîte.
Boris choisit au hasard et simultanément deux sujets. Quelle est la
probabilité qu'il connaisse les deux sujets.
On suppose maintenant que Boris a appris n sujets (sur 100).Déterminer la
plus petite valeur de n pour laquelle il a plus de 95% de chances de
connaître les deux sujets. Jérémy lance 2 dés à 6 faces simultanément. Soit X la variable aléatoire
représentant la somme des chiffres obtenus sur les deux dés.
1) Déterminer les valeurs possibles de X.
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Calculer l'espérance de X.
4) Calculer l'écart-type de X. En donner une valeur approchée à 10-2 près.
5) Calculer p(X > 6) et p(X = 12). Dans un club sportif, trois activités sont proposées : tennis, équitation,
canoë.
Toutes les personnes de ce club pratiquent au moins un sport.
18 pratiquent les 3 sports;
25 pratiquent l'équitation et le canoë;
53 pratiquent le tennis et le canoë;
70 pratiquent le canoë;
78 pratiquent le tennis;
35 pratiquent l'équitation, dont 23 également le tennis.
1) Compléter un diagramme analogue à celui ci-joint.
Combien ce club comporte-t-il de personnes ?
2) On rencontre une personne de ce club, au hasard.
a) Quelles sont les probabilités des événements suivants :
A = « pratique le tennis uniquement »;
B = « pratique le tennis et le canoë »;
C = « pratique le tennis et le canoë uniquement,
D = « pratique l'équitation uniquement ». En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce pouvait présenter
deux sortes de défauts (et deux seulement).
Des tests effectués sur 1000 pièces ont donné les résultats suivants :
8% des pièces présentent le défaut D1 au moins ;
15% des pièces présentent le défaut D2 au moins ;
5% des pièces présentent à la fois les défauts D1