Analyse combinatoire et probabilités - Exercices et corrigés

Analyse combinatoire et probabilités - Exercices et corrigés
Michel Semon
www.phymaths.ch1
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Introduction5
2 Enoncés5
2.1 Analyse combinatoire (dénombrement)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1 ExerciceM-Un cadenas à numéros a trois roues.... . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2.1.2 ExerciceM-D"un jeu de 52 cartes, on tire.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2.1.3 ExerciceM-Combien de nombres différents de 6 chiffres.... . . . . . . . . . . . . . .5
2.1.4 ExerciceM-De combien de manières peut-on arranger 5 personnes.... . . . . . . . . .6
2.1.5 ExerciceCombien de mots de 10 lettres.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.1.6 ExerciceLa façade d"une maison compte 8 fenêtres.... . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.1.7 ExerciceCombien de couples de valeurs obtient-on.... . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.1.8 ExerciceLe nombre d"atomes dans l"univers visible.... . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.1.9 ExerciceDans un groupe il y a 10 hommes, 8 femmes.... . . . . . . . . . . . . . . .7
2.1.10 ExerciceM. Jones va disposer 10 livres.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2.1.11 ExerciceSoit le mot mississippi .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2.1.12 ExerciceCombien de nombres différents.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2.1.13 ExerciceDe combien de manières différentes peut-on gagner à l"euro-million.... . . . . .7
2.1.14 ExerciceUne boîte contient 12 boules, 3 rouges,.... . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.1.15 ExerciceÀ partir d"un groupe de 5 femmes et de 7 hommes.... . . . . . . . . . . . .8
2.1.16 ExerciceUn groupe de 12 personnes doit être partagé en .... . . . . . . . . . . . . .8
2.1.17 ExerciceDe combien de manières peut-on asseoir .... . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.1.18 ExerciceUn enfant possède 12 cahiers : 6 noirs, 4 rouges.... . . . . . . . . . . . . .8
2.1.19 ExerciceOn considère un groupe de 20 personnes..... . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.1.20 ExerciceOn veut former un comité de 7 personnes,.... . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.1.21 ExercicePour une partie de bridge .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
2.1.22 ExerciceSi 8 tableaux noirs doivent être affectés à 4 écoles.... . . . . . . . . . . . . .9
2.1.23 ExerciceUn ascenseur quitte le rez-de-chaussée avec 8 personnes... . . . . . . . . . . .9
2.1.24 ExerciceFournir un argument d"analyse combinatoire.... . . . . . . . . . . . . . . .9
2.1.25 ExerciceUn étudiant doit répondre à 7 des 10 questions.... . . . . . . . . . . . . . .9
2.1.26 ExerciceHuit nouveaux professeurs vont être.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.1.27 ExerciceM-Combien de séquences différentes.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.1.28 ExerciceM-Une classe de l"école de Nyon a reçu.... . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.1.29 ExerciceM-Les douze tomes d"une encyclopédie.... . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.1.30 ExerciceM-Il y a quelques années, chaque classe de gymnase.... . . . . . . . . . . .10
2.1.31 ExerciceM-Une maîtresse de maison a onze amis .... . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.1.32 ExerciceDe combien de manières peut-on partager. . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.2 Probabilités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.1 ExerciceM-Une urne contient 12 boules : 3 rouges, 4 bleues.... . . . . . . . . . . . .12
2.2.2 ExerciceM-D"un jeu de 52 cartes, on tire 5 cartes.... . . . . . . . . . . . . . . . .12
2.2.3 ExerciceM-De 25 calculatrices, 5 ont un défaut.... . . . . . . . . . . . . . . . . .12
2.2.4 ExerciceM-On sélectionne un échantillon ordonné.... . . . . . . . . . . . . . . . .12
2.2.5 ExerciceM-On tire 10 fois de suite à pile ou face.... . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2.6 ExerciceM-Dans une assemblée de 400 personnes,.... . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2.7 ExerciceM-Une télé fabriquée en très grande série.... . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2.8 ExerciceM-Une agence de voyage fait un sondage statistique.... . . . . . . . . . . .13
2.2.9 ExerciceOn possède une cage avec 35 lapins et 4 hamsters.... . . . . . . . . . . . . .14
2.2.10 ExerciceSoit un jeu de 52 cartes à jouer.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.2.11 ExerciceUn comité de 5 personnes.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
29 mai 2017-09:27Dossier d"exercices - Analyse combinatoire et Probabilités2
TABLE DES MATIÈRES
2.2.12 ExerciceDans une partie de carte, on distribue.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.2.13 ExerciceCombien de personnes faut-il réunir.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.2.14 ExerciceUn magasin accepte les cartes de crédit.... . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.2.15 Exercice60% des élèves d"une école ne portent.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2.16 ExerciceUne école propose trois cours de langue.... . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2.17 ExerciceAprès une soirée bien arrosée.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2.18 ExerciceHuit tours sont disposées au hasard .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2.19 ExerciceOn jette une paire de dés équilibrés.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2.20 ExerciceUne urne contient cinq boules rouges.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2.21 ExerciceUne boîte contient n boules rouges .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2.22 ExerciceUne réserve clôturée abrite vingt cerfs.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2.23 ExerciceLe second Comte de Yarborough paria à 1000 contre 1.... . . . . . . . . . .16
2.2.24 ExerciceUne ville compte cinq hôtels.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2.25 ExerciceOn dispose sur un rang 4 couples mariés.... . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2.26 ExerciceCalculer les chances de gagner à la loterie à numéro suisse.... . . . . . . . . .17
2.2.27 ExerciceM-Dans un porte monnaie contenant des pièces. . . . . . . . . . . . . . .17
2.2.28 ExerciceM-Une boîte contient 36 boules,.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.2.29 ExerciceDans la forêt équatoriale, chaque naissance de gorilles.... . . . . . . . . . . .18
2.2.30 ExerciceM-Dans une ville, 40% de la population.... . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2.31 ExerciceM-Dans une classe, 15% des notes de mathématiques.... . . . . . . . . . . .18
2.2.32 ExerciceM-Dans une autre classe, la probabilité.... . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2.33 ExerciceM-On fait expérimentalement les constatations suivantes.... . . . . . . . . .19
2.2.34 ExerciceM-Trois boîtes A, B et C contiennent.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.2.35 ExerciceM-Un programme pour arrêter de fumer permet.... . . . . . . . . . . . . .19
2.2.36 ExerciceM-Dans une population, il y a 5% de daltoniens.... . . . . . . . . . . . . .19
2.2.37 ExerciceM-Dans un gymnase, 4% des garçons et 1% des filles.... . . . . . . . . . . .19
2.2.38 ExerciceOn jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité.... . . . . . . . . . . .20
2.2.39 ExerciceUne urne contient 6 boules blanches .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2.40 ExerciceLe roi vient d"une famille de 2 enfants.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2.41 ExerciceOn choisit trois cartes au hasard.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2.42 ExerciceUne récente diplômée a l"intention de passer .... . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2.43 ExerciceUne grossesse ectopique a deux fois.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2.44 ExerciceDans une certaine ville, 36% des familles.... . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2.45 ExerciceComment placer 20 boules, dont 10 sont.... . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2.46 ExerciceOn considère deux boîtes, l"une contient.... . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2.47 ExerciceTrois cuisiniers A, B et C sont .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2.48 ExerciceUne classe compte 4 garçons et 6 filles.... . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2.49 ExerciceLa reine porte le gène de l"hémophilie.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2.50 ExerciceOn admet que le sexe du dernier enfant.... . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2.51 ExerciceSi A est inclu dans B, exprimer les probabilités.... . . . . . . . . . . . . . .22
2.2.52 ExerciceAvant de partir en vacances vous priez .... . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2.53 ExerciceMontrer que .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2.54 ExerciceM-Une urne contient quatre boules rouges.... . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2.55 ExerciceM-Un joueur a deux pièces de monnaie : .... . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2.56 ExerciceM-En Angleterre, on écrit le mot "rigueur".... . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2.57 ExerciceM-Une urne contient 10 boules rouges.... . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2.58 ExerciceM-Une boîte contient 7 boules blanches.... . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2.59 ExerciceM-Un pêcheur a remarqué qu"après.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.2.60 ExerciceM-On enferme dans une boîte munie d"un orifice.... . . . . . . . . . . . . .24
29 mai 2017-09:27Dossier d"exercices - Analyse combinatoire et Probabilités3
TABLE DES MATIÈRES
2.2.61 ExerciceM-Une urne u1 contient 3 boules rouges,.... . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.2.62 ExerciceM-Dans une population équatoriale.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.2.63 ExerciceM-Lors d"un concours, un candidat.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.2.64 ExerciceM-Une famille a deux enfants. On sait.... . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.2.65 ExerciceM-Un carton contient 12 verres dont 4.... . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.2.66 ExerciceM-On jette 3 fois une pièce de monnaie.... . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.2.67 ExerciceM-On s"intéresse à une famille .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.2.68 ExerciceM-Un club de tennis de 14 membres.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.2.69 ExerciceM-Dans un parc national africain,.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.2.70 ExerciceOn promet la liberté à un prisonnier.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.71 ExerciceParadoxe du Chevalier de Méré.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.72 ExerciceM-Dans un groupe formé de .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.73 ExerciceM-Une fabrique de webcams teste la qualité.... . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.74 ExerciceM-Un réfrigérateur contient 5 vaccins.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.2.75 ExerciceM-Evariste va faire un tour au "Luna Park".... . . . . . . . . . . . . . . .28
2.2.76 ExerciceM-Le personnel d"un hôpital est réparti.... . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.2.77 ExerciceM-Une pochette contient dix pièces :.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.2.78 ExerciceUne famille de 6 enfants est composée.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.2.79 ExerciceDans une ville formée de six quartiers.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.2.80 ExerciceSoit un groupe de 7 personnes.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.2.81 ExerciceUne petite école donne 30 cours chaque semaine.... . . . . . . . . . . . . .30
2.2.82 ExerciceUn sac contient une boule verte ou bleue.... . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.2.83 ExerciceUn filtre pour messages électroniques .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.3 Variables aléatoires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3.1 Exercice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3.2 Exercice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4 Variables aléatoires continues
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.5 Variables aléatoires simultannées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3 Réponses détaillées aux exercices
34
3.1 Réponses
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2 Probabilités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
29 mai 2017-09:27Dossier d"exercices - Analyse combinatoire et Probabilités4
1 Introduction
Avant tout une petite explication au sujet du choix du petit dessin de la page de titre. Beau-
coup de mes élèves n"aiment pas du tout, mais alors pas du tout les probabilités! C"est donc
pour eux et tous ceux qui pensent qu"ils n"y arriveront jamais.
Les probabilités sont un sujet un peu à part dans l"étude des mathématiques. Le sujet semble
facile au premier abord, mais ce n"est qu"une apparence. L"étude paraît pouvoir se faire en utili-
sant son intuition, car beaucoup de problèmes traduisent des situations quotidiennes. Cependant
au fur et à mesure un besoin de structuration se fait sentir et certaines notions de base (analyse
combinatoire et algèbre de Boole) deviennent vite nécessaires.
Je me suis longtemps demandé si il fallait essayer de classer les exercices de probabilité ou
d"analyse combinatoire en catégories distinctes. Je me suis vite rendu compte que ceci est plus
embrouillant qu"utile. C"est un sujet vraiment difficile et la seule manière de le cerner est de
faire beaucoup d"exercices. J"ai donc décidé de ne faire qu"une seule distinction en séparant les
exercices d"analyse combinatoire de ceux de probabilité.
Le présent recueil contient plus d"une centaine de problèmes très divers. Ils sont tirés de différents
livres de référence, de séries d"exercices que mes élèves ont reçues ces dernières années, d"examens
de maturité et d"exemples que j"ai retrouvés dans mes notes de cours
1. Quelques exercices ont
étés traduits ou inspirés du cours de Joe Blitzstein "Statistic 110 : Probability" de l"université
de Harvard et d"autres de "Physique statistique stat-340" de André-Marie Trembley, Université
de Sherbrooke.
Les exercices précédés d"unMdans la table des matières sont des exercices donnés en classe de
maturité des gymnases suisses romands durant ces dernières années aux examens de maturités
(niveaux standard et renforcé). Cela ne veut pas dire qu"ils sont plus difficiles ou plus faciles que
les autres. Je les ai signalés simplement pour information.
2 Enoncés
2.1 Analyse combinatoire (dénombrement)
2.1.1 ExerciceM-Un cadenas à numéros a trois roues...
Un cadenas à numéros a trois roues; chacune porte les numéros 0 à 9. Combien de "nombres"
secrets y a-t-il?
Solution
2.1.2 ExerciceM-D"un jeu de 52 cartes, on tire...
D"un jeu de 52 cartes, on tire deux cartes simultanément (sans remise). De combien de
manières différentes est-ce possible?