ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES corrigé Série STG - Profmath55

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ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
corrigé
Série STG
BAC BLANC n°2
Session 2008

LA REDACTION ET LA PRESENTATION SONT PRISES EN COMPTE

LES CALCULATRICES SONT AUTORISEES conformément à la circulaire n°99-186 du 16/11/1999

LE SUJET COMPORTE 4 PAGES ET UNE ANNEXE

DUREE : 3 HEURES
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EXERCICE 1 : 5 points

Chaque affirmation ci-après comporte trois réponses. Pour chaque question une seule réponse est exacte.
Toute réponse exacte rapporte 1 point; une réponse fausse enlève 0,5 points; l'absence de réponse ne rapporte
aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à zéro. Recopier
clairement sur la copie la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.

I. Le tableau suivant indique l'évolution du chiffre d'affaires (en milliers d'euros) d'une entreprise entre 2001
et 2005.

année 2001 2002 2003 2004 2005
Rang (x
i
) 1 2 3 4 5
Chiffres d'affaires (y
i
) 340 341 343 341 344

1. les coordonnées du point moyen G( x
;y) sont
G(2,5 ; 341,8) G(3 ; 342,1) G(3 ; 341,8)

2. la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation :
y = 0,8x + 339,4 y = 0,9x + 339,1 y = 0,8x + 341,8

3. le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, estimé pour 2006 à l'aide de l'ajustement précédent est de
344,5 346,6 344,2

II. ln (54) - 2 ln(3) est égal à
ln (9) ln (3) ln (6)

III. La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000. Le taux d'accroissement moyen annuel a été de
3% 2,75% 1,75%

EXERCICE 2 : 6 points

En 2003, une étude est réalisée sur un échantillon représentatif de la population française composée de 1500
individus. La première question posée est : " Connaissez-vous le commerce équitable ? » Le tableau ci-dessous
donne la répartition des réponses par âge.


moins de 25
ans
25 - 39
ans
40 - 59
ans
60 ans et
plus TOTAL
oui 156 171 150 48 525
non 258 297 273 147 975
TOTAL 414 468 423 195 1500

Première partie :


a) Parmi la population totale, quelle est la proportion de personnes connaissant le commerce équitable ?
525
1500
= 7
20 = 35%
b) Parmi la population totale, quelle est la proportion de personnes âgée de moins de 25 ans connaissant le
commerce équitable ?
156
1500
= 13
125 = 10,4%
c) Parmi les plus de 60 ans, quel est le pourcentage, arrondi à 0,1%, des personnes connaissant le
commerce équitable ?
48
195
= 16
65 24,6%
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d) Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, quel est le pourcentage, arrondi à 0,1%, des
personnes âgées de moins de 40 ans ?
156 + 171
525
= 327
525 = 109
175 62,3%

Deuxième partie :


On pose aux 1 500 personnes précédentes une seconde question : " Connaissez-vous le label AB pour
agriculture biologique ? »
Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, 504 d'entre-elles connaissent le label AB.
Parmi les personnes ne connaissant pas le commerce équitable, 546 d'entre-elles connaissent le label
AB.
On interroge au hasard une des 1 500 personnes et on considère les événements A et C suivants :
A : " la personne interrogée connaît le label AB »
C : " la personne interrogée connaît le commerce équitable »

1. Montrer que P
C
(A) = 0,96 et que P
C
(A) = 0,56
D'après l'énoncé, on a P
C
(A) = 504
525 = 24
25 = 0,96 et P
C
(A) = 546
975 = 14
25 = 0,56
2. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :
La somme à chaque noeud est égale à 1, d'où :

0,96 A

C
0,35 0,04
A


A
0,65 0,56
C


0,44
A


3. Calculer à l'aide de cet arbre les probabilités P (A C) et P (A C
)
P (A C) = 0,35 0,96 = 0,336 et P (A C
) = 0,65 0,56 = 0,364
4. Un journaliste déclare : " 70% de la population française connaît le label AB ». L'affirmation est-elle
vraie ? Justifiez votre réponse.
Comme P(A) = P (A C) + P (A C
) alors d'après la question précédente, on a :
P(A) =0,336 + 0,364 = 0,7 Soit 70%. Le journaliste a raison.

5. Les événements A et C sont-ils indépendants ? Justifiez votre réponse.
Deux événements 1 et C sont indépendants si P (A C) = P(A) P(C). Comme P(A) = 0,7 et P(C) = 0,35,
P(A) P(C) = 0,7 0,35 = 0,245. Or P (A C) = 0,336
Puisque P (A C) P(A) P(C), on en conclut donc que A et C ne sont pas indépendants.
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EXERCICE 3 : 3 points

Un site de musique propose aux internautes de télécharger des titres de musique sur leur ordinateur. Son offre
commerciale pour un trimestre, est la suivante :
Option 1 : 0,90€ par titre téléchargé.
Option 2 : un abonnement de 12€ et chaque titre téléchargé coûte alors 0,675€.
Option 3 : Un forfait de 40€ qui donne droit à 50 titres téléchargés, chaque titre supplémentaire coûte 1€.

Pour choisir au mieux son option, valentin crée une feuille de calcul dans un tableur. Son étude porte sur un
nombre de titres téléchargés compris entre 0 et 150. Voici le début de cette feuille de calcul :


1. Quelle formule destinée à être recopiée vers le bas doit-il écrire dans la cellule B3 ?
=0,9*A3
2. Quelle formule destinée à être recopiée vers le bas doit-il écrire dans la cellule C3 ?
=12+0,675*A3
3. Compléter les cellules B54, C54, D54, dans le tableau de la feuille donnée annexe.
51 45,9 46,425 41


EXERCICE 4 : 6 points

Le but de cet exercice est d'associer les courbes ci-jointes à certaines fonctions, puis de les exploiter.
L'intervalle d'étude est ]0 ; 8]
Dans le repère (O ;

i ;

j ) proposé, on donne les représentations graphiques de trois fonctions f, g, h. (Voir
feuille annexe)

Partie A (4,25 points)
On sait que :
f est définie sur ]0 ; 8] par f(x) = (ln(x))²
g est définie sur ]0 ; 8] par g(x) = 3 - 2 ln(x)
h est définie sur ]0 ; 8] par h(x) = 5x - 2x ln(x)
On désigne par f' et g' les fonctions dérivées respectives de f et g sur ]0 ; 8].
1. Déterminer f'(x) et g'(x) pour x appartenant à ]0 ; 8].
f est de la forme u² avec u(x) = ln(x) donc f' = 2u u' avec u'(x) =
1
x
et alors f'(x) = 2 ln(x) 1
x = 2 ln(x)
x
g'(x) = -2 1
x
= -2
x
2. Etudier les signes respectifs de f'(x) et g'(x) pour x appartenant à ]0 ; 8].
f'(x) = 0 équivaut à ln(x) = 0 soit x = 1 d'où le tableau
x 0 1 8
signe de x
+
+
signe de
ln(x)
-
+

signe de f ' - 0
+
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g'(x) n'est jamais nulle sur ]0 ;8] et donc le signe de g'(x) est

x 0 1 8
signe de x
+
+
signe de g'x) - -

3. En déduire les variations respectives de f et g sur ]0 ; 8].

4. Calculer h(1)
On a h(1) = 5 1 - 21 ln(1) = 5