Homothéties avec GéoPlan

Homothétie avec GéoPlan
Démonstrations de géométrie utilisant l'homothétie ; alignements, points de
concours.
Sommaire 1. Transformé d'un triangle par homothétie
2. Configuration de base des homothéties
3. Parallélogramme et diagonale
4. Carré inscrit dans un triangle
5. Parallélogramme et homothétie
6. Demi-cercle et carré
7. Triangle à côtés perpendiculaires
8. Homothéties transformant deux cercles
Tangentes communes à deux cercles
9. Cercle tangent à deux droites passant par un point donné
10. Homothétie, triangle et centre de gravité Faire des maths ... avec GéoPlan : http://debart.pagesperso-
orange.fr/index.html Document Word : http://www.debart.fr/doc/homothetie.doc
Document PDF : http://www.debart.fr/pdf/homothetie.pdf
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Extrait de l'ancien programme de géométrie de 1S Translations et homothéties dans le plan et l'espace : définitions ; image
d'un couple de points ; effet sur l'alignement, le barycentre, les angles
orientés, les longueurs, les aires et les volumes ; image d'une figure
(segment, droite, cercle).
Toutes les transformations connues seront utilisées dans l'étude des
configurations, pour la détermination de lieux géométriques et dans la
recherche de problèmes de construction, en, particulier au travers des
logiciels de géométrie.
Les transformations planes abordées en collège (translation, symétrie
axiale, rotation) n'ont pas à faire l'objet d'un chapitre particulier. Document d'accompagnement de 1S
Deux familles de transformations sont proposées à l'étude systématique :
celle des translations et celle des homothéties. Il est à noter qu'aucune
transformation nouvelle n'a été introduite en seconde ; ces transformations
étaient perçues avant tout comme agissant sur des figures et non comme des
applications ponctuelles du plan sur lui-même.
L'étude demandée des translations et des homothéties sera faite
simultanément dans le plan et dans l'espace.
On peut observer que certaines réciproques (par exemple, pour montrer que
l'image d'une droite est une droite) paraissent inutiles aux yeux de la
plupart des élèves : peut-être vaut-il mieux y revenir plus tard lorsque
certaines recherches de lieux géométriques auront montré le caractère
indispensable de cette réciproque.
On soulignera le caractère bijectif des homothéties et des translations
(aucune définition formelle n'est demandée) et on présentera la
transformation réciproque.
Mise en oeuvre, en particulier dans la recherche de lieux géométriques.
1. Transformé d'un triangle par homothétie
M varie sur un triangle ABC. Soit h une homothétie de centre O et de
rapport k. A', B', C' et M' les images respectives par h de A, B, C et M.
2. Configuration de base des homothéties
[AB], [CD] et [EF] sont trois segments parallèles distincts. Les points I, J et K sont alignés. Indications
Il existe une homothétie f de centre K, qui transforme le segment [AB] en
[CD],
et une homothétie g de centre I, qui transforme le segment [CD] en [EF].
Par g le point K a pour image K', K et son transformé K' sont alignés avec
le centre I, I est situé sur la droite (KK').
La composée h = g?f est une homothétie qui transforme le segment [AB] en
[EF], son centre est le point J.
Par h le point K a pour image g?f (K) = g(K) = K', K et K' sont alignés
avec le centre J, J est situé sur la droite (KK').
Les points I et J, situés sur la droite (KK'), sont alignés avec K. 3. Parallélogramme et diagonale
a. Droites parallèles
ABCD est un parallélogramme. M est un point variable sur la diagonale [AC].
Les droites issues de M parallèles à (BC) et à (AB) déterminent les points
I, J, K et L.
En utilisant deux homothéties de centre A et C, montrer que les droites
(IL), (BD) et (JK) sont parallèles. Les parallélogrammes complémentaires ALMI et MJCK sont dits équivalents
(Legendre - Éléments de Géométrie - 1794). b. Problème réciproque
I, J et L sont trois points situés respectivement sur les côtés [AB], [CD]
et [AD] d'un parallélogramme ABCD, distincts des sommets.
La parallèle à (IL) passant par J rencontre (BC) en K.
Montrer que les droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes.
Solution
Pour cela on considère le repère
(A, [pic], [pic]) et on note i et j les abscisses de I et J, l et k les
ordonnées de L et K.
Coordonnées des points de la figure : I(i, 0); J(j, 1); L(0, l); K(1, k).
Coordonnées de vecteurs : [pic](-i, l); [pic](1-j, k-1); [pic](j-i, 1);
[pic](1, k-l)
Les vecteurs [pic] et [pic]étant colinéaires on a : i (1 - k) = l (1 - j).
La droite (AC) a pour équation y = x.
Une équation de la droite (IJ), de vecteur directeur (j-i, 1), est y =
[pic](x-i).
Ces deux droites étant sécantes, en résolvant le système formé par ces deux
équations, on trouve que les coordonnées de leur point M d'intersection
sont xM = yM = [pic].
La droite (LK), de vecteur directeur (1, k-l), a pour équation y - l = (k -
l)x.
En substituant xM et yM dans cette équation on obtient : [pic]- l = (k - l)
[pic], soit i -l (i-j+1) = (k-l)i, d'où i- ki = l - lj cette égalité étant vérifié
en raison de la colinéarité de [pic] et [pic], le point M est bien sur la
droite (LK) et les droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes en M. c. Parallélogramme de Pappus Soit M est un point variable du plan n'appartenant pas à la diagonale (BD).
La parallèle à (AD) passant par M coupe (AB) en I et (CD) en J.
La parallèle à (AB) passant par M coupe (BC) en K et (AD) en L.
Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en un point N,
les points A, C et N sont alignés. Indications
On note P l'intersection de (IK) et (CD) et Q l'intersection de (LJ) et
(BC).
Montrer que les droites (IL) et (PQ) sont parallèles. L'homothétie h de centre N, qui transforme I en P, transforme (IL) en sa
parallèle (PQ), donc transforme L en Q.
h transforme la droite (AB), passant par I, en sa parallèle passant par P,
donc en (CD).
De même, h transforme (AD), passant par L, en sa parallèle passant par Q,
donc en (BC).
h transforme donc (AB) et (AD) en (CD) et (BC). h transforme le point
d'intersection A des deux premiers côtés en C point d'intersection des deux
autres.
Le centre d'homothétie N est aligné avec le point A et son image C : les
points N, A et C sont alignés. Classe de seconde À l'aide du repère (A, [pic], [pic]), il est facile et élégant de faire une
démonstration en géométrie analytique.
Si les coordonnées de M sont (a, b), celles des points d'intersection avec
le parallélogramme sont : I(a, 0); J(a, 1) ; L(0, b) et K(1, b).
Les coordonnées des vecteurs directeurs [pic](1-a, b) et [pic](a, 1-b)
permettent de trouver les équations des droites (IK) et (LJ) :
bx + (a-1)y = ab,
(b-1)x + ay = ab. En calculant la différence de ces deux équations et en substituant on
obtient :
x - y = 0,
x = ab/(a + b - 1). Le point N est bien sur la diagonale (AC) d'équation x - y = 0, à condition
que M ne soit pas sur l'autre diagonale (BD) d'équation x + y - 1 = 0. Remarque : démonstration de (IL) // (PQ).
[pic](-a, b) : la droite (IL), d'équation bx + ay = ab, a coefficient
directeur - b/a.
Les coordonnées de P et Q sont P(1, (ab + 1 - a)/b) et Q((ab + 1 - b)/a),
1) ;
d'où [pic]((ab + 1 - a - b)/b, (ab + 1 - a - b)/a).
la droite (PQ) a aussi pour coefficient directeur - b/a et est parallèle à
(IL). d. Calcul d'aire
Cette figure permet aussi de proposer en classe de troisième le problème
assez difficile suivant :
M est un point variable sur la diagonale [AC].
Démontrer que les aires des deux parallélogrammes hachurés sont égales.
Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer
l'aire d'un parallélogramme, mais il sait trouver la moitié de cette aire :
l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.
Voir dans euclide.doc le cas particulier de rectangles.
Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les
triangles rectangles AMG et CMH permet d'écrire : [pic] = [pic].
(AD) étant parallèle à (BC), la propriété de Thalès dans les triangles ALM
et CKM permet d'écrire : [pic] = [pic].
Par transitivité [pic] = [pic].
Le produit des "extrêmes" est égal au produit des "moyens" :KM × MG = LM ×
MH.
Aire(IBKM) = Aire(LMJD).
4. Carré inscrit dans un triangle
Soit ABC un triangle. Trouver un carré DEFG inscrit dans le triangle ABC
(ses sommets sont sur les côtés du triangle).
|a. Figure 1 |b. Problème BOA |
|[pic] |[pic] |
|Construire un carré de côté [AB] et |Les perpendiculaires à (CB') issue de A et|
|utiliser une homothétie de centre C. |à (CC') issue de B se coupent en I. |
| |La droite (CI) semble perpendiculaire à la|
| |droite (AB) ? |
c. Figure 2 : homothétie de centre A
Placer un point M sur le côté [AC] du triangle.
Soit P la projection orthogonale de M sur la droite (AB).
Construire le carré direct MPQR de côté [MP], son deuxième côté [PQ] se
trouve sur la droite (AB). Avec GéoPlan on peut chercher une solution en déplaçant le point M.
Preuve
Commande GéoPlan : taper S pour la solution. La droite (AR) rencontre la droite (BC) en F.
L'homothétie de centre A qui transforme R en F transforme le carré MPQR en
un carré GDEF dont les sommets sont sur les côtés du triangle ABC
d. Le carré inscrit
Il n'y a qu'une façon d'inscrire un carré dans un triangle ABC de telle
sorte que deux des sommets soient sur AB, un troisième sur AC et le
quatrième sur BC (voir figure ci-dessus).
Tracer un tel carré avec une construction géométrique simple
Solution
Tracez un carré MPQR quelconque dont deux des sommets