EXERCICE I Chute d'une bille dans la glycérine 5,5 pts

Antilles - Guyane 2008
EXERCICE I. CHUTE D'UNE BILLE DANS LA GLYCÉRINE (5,5 points)
Correction © http://labolycee.org 1. Mesure de la viscosité ( de la glycérine 1.1. Voir schéma.
1.2. Poids de la bille : P = mbille.g. or ( = [pic] donc P = (.V.g
1.3. Poussée d'Archimède : [pic] = mgly.g. où mgly est la masse de
glycérol déplacé par la bille, donc PA = (0.V.g. 1.4.1. La vitesse limite est atteinte avant le passage au niveau de R1.
Entre les deux repères R1 et R2 , le vecteur vitesse [pic] de la bille est
constant (norme v = vlim , direction selon l'axe Oy et sens celui de
[pic]). La bille a un mouvement rectiligne et uniforme. 1.4.2. La première loi de Newton (principe d'inertie) indique que les
forces se compensent. Alors [pic] [pic] + [pic] + [pic] = [pic]. 1.5.1. On a : f = 6(.(.r.v
Analyse dimensionnelle : [(] =[pic]
Donc ( s'exprime en kg.m-1.s-1. 1.5.2. [pic] + [pic] + [pic] = [pic]
( (.V.g[pic] - (0.V.g[pic] - 6(.(.r.vlim[pic] = [pic]
en projection sur l'axe (y'y) on a :
( (.V.g - (0.V.g - 6(.(.r.vlim = 0
( V.g.(( - (0) = 6(.(.r.vlim
( ( = [pic]
Or : [pic] donc en reportant : ( = [pic] finalement : [pic]
1.6.1. vlim= [pic]
vlim= [pic] = 0,241 m.s-1.
1.6.2. [pic]
( = [pic]= 1,48 kg.m-1.s-1
1.6.3. (thé= 1,49 SI.
écart relatif : [pic] [pic]0,7 %.
2. Étude théorique du mouvement de la bille
2.1. On applique la deuxième loi de Newton à la bille, de masse m, dans le
référentiel du laboratoire, supposé galiléen : [pic] ( [pic] + [pic] +
[pic] = [pic]
( (.V.g.[pic] - (0.V.g.[pic] - 6(.(.r.v[pic] =
(.V.[pic]
en projection sur (y'y) : (.V.g - (0.V.g - 6(.(.r.v = (V.[pic]
en divisant par ((.V), il vient : [pic] = g - [pic].g - [pic] = [pic]
[pic]+[pic]= [pic]
en identifiant avec l'équation: [pic] + A.v = B on a :
A =[pic] et B = [pic]
Remarque : on peut vérifier les valeurs de A et B proposées dans le sujet :
A = [pic]= 34,4 s-1 B = [pic]= 8,23 m.s-2
2.2. Vitesse limite atteinte par la bille : v = vlim = cte alors [pic] = 0
donc A.vlim = B soit vlim = [pic]
vlim = [pic]= 0,239 m.s-1 or en 1.6.1. on a mesuré vlim,exp =
0,241 m.s-1
La valeur vlim est en accord la valeur expérimentale vlim,exp : écart
relatif de 0,8 %.
2.3. Le rapport 1/A s'exprime en s (car A s'exprime en s-1). Donc 1/A est
homogène à une durée : 1/A correspond à la durée caractéristique ( de chute
de la bille dans la glycérine.
Considérons l'équation différentielle à la date t = 0 s : [pic] + A.v(t=0)
= B
La bille est lâchée sans vitesse initiale v(t=0) = 0 donc [pic] = B
Donc B correspond à l'accélération de la bille à la date t = 0 s.
2.4.1. Le pas (t est : (t = ti+1 - ti = 0,025 - 0,020 = 0,005 s = 5 ms.
2.4.2. méthode d'Euler : v6 = v5 + a5.(t
v6 = 0,146 + 3,20 ( 5(10-3 = 0,162 m.s-1 (en
gardant le même nombre de chiffres significatifs que ceux du tableau).
a7 = (B - A.v7)
a7 = 8,23 - 34,4 ( 0,175 = 2,21 m.s-2
Les valeurs calculées pour v6 et a7 sont cohérentes avec celles du tableau.
2.5.1. & 2.5.2.
----------------------- y O [pic] [pic] [pic] [pic]