1. OBJECTIFS GENÉRAUX - Cégep de Sainte-Foy

[pic] Plan de cours Titre du cours : Calcul avancé (2 - 2 - 2) Préalable : 201- NYB-05 Numéro du cours : 201-FYA-04 Programme : 200.B0 Session : H-07 Site web http://www.cegep-ste-
foy.qc.ca/freesite/index.php?id=1112 |Professeur |Louis Bérubé |Michel Ouellet |
|Bureau |E-236 |E-233 |
|Téléphone |5953 |5964 |
|Groupes |2048-2049 |2044-2045-2046-2047 |
1. THÉMATIQUE GÉNÉRALE DU COURS Le calcul différentiel et intégral constitue un élément de base très
important du langage mathématique utilisé dans différents domaines de la
connaissance, spécialement en sciences.
Le cours Calcul avancé permettra à l'étudiant de sciences de la nature
d'étendre la notion de dérivée et d'intégrale aux fonctions à plusieurs
variables indépendantes et de résoudre diverses équations
différentielles.
De façon plus générale, ce cours visera à :
- appliquer la démarche scientifique;
- résoudre des problèmes de façon systématique;
- utiliser les technologies appropriées de traitement de l'information;
- raisonner avec rigueur;
- communiquer de façon claire et précise;
- apprendre de façon autonome;
- travailler en équipe;
- établir des liens entre la science, la technologie et l'évolution de
la société;
- définir son système de valeurs;
- situer le contexte d'émergence et d'élaboration de contextes
scientifiques;
- adopter des attitudes utiles au travail scientifique;
- traiter des situations nouvelles à partir de ses acquis.
Ce cours de calcul avancé est conçu pour des étudiants qui désirent
parfaire leurs connaissances en calcul, étendre le champ d'application
de ces notions de calcul, développer des méthodes de calcul propres à
une spécialisation scientifique ou à des secteurs connexes, s'approcher
de l'utilisation scientifique du calcul, maîtriser les notions
fondamentales du calcul. 2. COMPÉTENCE Énoncé
Appliquer une démarche scientifique impliquant des fonctions de
plusieurs variables. Éléments de la compétence 1. Représenter diverses situations en faisant appel aux concepts, aux
lois et aux principes des sciences de la nature.
2. Résoudre des problèmes selon une méthode propre aux sciences de la
nature dans des contextes théoriques et appliqués.
3. Appliquer des techniques d'expérimentation ou de validation propres
aux sciences de la nature dans des contextes théoriques et appliqués.
3. CONTENU - ÉCHÉANCIER - HABILETÉS À ATTEINDRE Module 1 Les fonctions de plusieurs variables.
o Les fonctions de deux variables
o L'espace à trois dimensions
o Les graphes des fonctions de deux variables
o Les courbes de niveau
o Les fonctions linéaires
o Les fonctions avec plus de deux variables
Habiletés
- Représenter par des coordonnées cartésiennes dans l'espace à trois
dimensions, un point et les plans de coordonnées
- Identifier les équations des plans de coordonnées
- Identifier l'équation d'une fonction de deux ou de plusieurs
variables
- Identifier et représenter les équations d'un plan parallèle aux
plans de coordonnées
- Identifier les équations et représenter les surfaces des
principales formes quadriques et des plans quelconques.
- Tracer les courbes de niveau de la surface représentative d'une
fonction de deux variables
- Tracer le graphique d'une fonction de deux variables
- Trouver le domaine d'une fonction de deux variables
- Trouver la trace de la surface représentative d'une fonction de
deux variables sur chacun des trois plans de coordonnées
- Déterminer et représenter graphiquement les surfaces de niveau
d'une fonction de trois variables Module 2 La dérivation des fonctions de plusieurs variables
o La dérivée partielle
o Le calcul algébrique des dérivées partielles
o La linéarité locale et différentielle
o Les gradients et les dérivées directionnelles dans le plan
o Les gradients et les dérivées directionnelles dans l'espace
o La règle de la dérivée en chaîne
o Les dérivées partielles de second ordre
o Quelques notes sur les approximations de Taylor
Habiletés
- Énoncer les définitions et interpréter géométriquement les notions
de dérivée partielle, de différentielle, de dérivée directionnelle,
de gradient et de dérivée partielle d'ordre 2 pour une fonction de
deux ou trois variables
- Évaluer les dérivées partielles d'une fonction de deux ou trois
variables
- Interpréter géométriquement la dérivée partielle d'une fonction de
deux ou trois variables
- Trouver l'équation du plan tangent à la surface de z = f(x, y) en
utilisant les dérivées partielles et en donner l'interprétation
géométrique
- Démontrer et appliquer la règle de la dérivée en chaîne pour une
fonction de deux variables
- Calculer la différentielle d'une fonction de deux variables
- Exprimer la dérivée directionnelle d'une fonction de deux variables
dans une direction [pic] en fonction du gradient
- Calculer des dérivées partielles d'ordre deux
- Déterminer si la dérivée directionnelle est maximale, minimale ou
nulle à l'aide du gradient
- Utiliser le polynôme de Taylor pour des approximations linéaire et
quadratique
Module 3 L'optimisation : les extremums locaux et absolus
o Les extremums locaux
o Les extremums absolus : l'optimisation non contrainte
o L'optimisation contrainte : les multiplicateurs de Lagrange
Habiletés
- Repérer graphiquement un maximum ou un minimum local
- Rechercher des points critiques
- Déterminer la nature des points critiques
- Trouver les maximums et minimums absolus
- Utiliser la méthode du gradient pour trouver les extremums locaux
- Utiliser les multiplicateurs de Lagrange pour résoudre des
problèmes d'optimisation contrainte
Module 4 L'intégration de fonctions de plusieurs variables
o L'intégrale définie d'une fonction de deux variables
o Les intégrales itérées
o Les intégrales triples
o Les intégrales en coordonnées polaires, cylindriques et sphériques.
Habiletés
- Énoncer la définition d'une intégrale double d'une fonction de deux
variables
- Déterminer graphiquement la région associée à une intégrale double
donnée
- Calculer une aire plane au moyen d'une intégrale double
- Calculer un volume au moyen d'une intégrale double
- Évaluer une intégrale double sur une région donnée
- Évaluer une intégrale double en coordonnées polaires
- Calculer la valeur moyenne d'une fonction de deux variables
- Déterminer graphiquement la région associée à une intégrale triple
donnée
- Évaluer une intégrale triple sur une région donnée
- Évaluer une intégrale triple en coordonnées cylindriques ou
sphériques
- Interpréter géométriquement une intégrale triple
- Calculer un volume au moyen d'une intégrale triple
- Calculer un centre de masse au moyen d'une intégrale triple
- Calculer un moment d'inertie au moyen d'une intégrale triple
- Inverser l'ordre d'intégration d'une intégrale itérée
Module 5 Les équations différentielles
o Les équations différentielles d'ordre 1
o Les champs de pente
o Les trajectoires orthogonales
o Les applications et la modélisation
Habiletés
- Résoudre une équation différentielle d'ordre 1 et de degré 1
- Équation à variables séparables et trajectoires orthogonales
- Équation homogène
- Équation linéaire et facteur intégrant
- Équation de Bernoulli
- Équation exacte et se ramenant à une équation exacte
- Visualiser une équation différentielle d'ordre 1
- Modéliser un problème concret à l'aide d'une approche théorique 4. MÉTHODOLOGIE La méthodologie utilisée tient compte du fait que le département de
mathématique considère essentielle la présence des étudiants à toutes
les heures de cours. L'étudiant a la responsabilité d'assister aux
cours. Puisque le professeur n'établit pas de contrôle systématique des
présences, absences et retards, s'il arrive que l'étudiant manque un
cours ou arrive en retard, la responsabilité lui incombe de se
renseigner auprès des autres étudiants de toute information donnée
durant son absence. Il nous semble très important que l'étudiant qui se
destine à des études universitaires s'y prépare adéquatement en
développant au maximum son autonomie et sa méthode de travail
personnelle. Le professeur incite également les étudiants à utiliser de
manière optimale toutes les heures en classe avec toutes les ressources
disponibles.
Les cours seront donnés tantôt sous forme magistrale, tantôt sous forme
de lecture et d'exercices dirigés selon les exigences de la matière à
transmettre. Des heures de travail dans un laboratoire informatique
auront lieu à raison de 2 heures à toutes les deux semaines environ. Le
professeur se réserve le droit de déplacer certaines de ces heures s'il
en ressent le besoin.
Le professeur demandera également à tous de conserver, aussi proprement
que possible, tous les travaux faits en cours de session, se réservant
le droit d'examiner, d'apprécier et év