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NB :
Ce document est le résumé des propositions de correction des épreuves
de 2003 à 2011. N'étant pas un document officiel fourni par la DREN mais
plutôt par des professeurs des différentes matières. Ces professeurs feront
un effort maximal pour apporter aux élèves les meilleures propositions de
réponses possibles. Merci de signaler toute incohérence dans les corrigés à
nos services.
BEPC Math 2000 corrigés EXERCICE 1 1) a² = (2- 2)²
a² = 2² -2×2× 2 +( 2)²
a² = 4 -4 2 + 2
a² = 6 - 4 2 2)a) Démontrons que b= b= , en multipliant le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée 6+4 2 on a : b=
b=
b=
b=
b = +
b= 1+
2) b) a×b = (2- 2)×
a×b =
a×b = (selon la réponse de la question 1 (2- 2)² = 6 - 4
2) a×b = 1 alors a et b sont inverses l'un de l'autre EXERCICE 2 1)a) Exprimons y en fonction de x, on a :
2x -3y+1 = 0
-3y = -2x -1 y = Pour x = 1, y = Donc y = 1
Et pour x = 4, y = Donc y = 3
Ainsi la droite (D) passera par les points de coordonnées (1 ;1) et (4 ;3).
Soit B (1 ;1) et C(4 ;3) 1)b) Les coordonnées du point d'intersection de (D) et de (OI) vérifie les
deux équations suivantes :
y = 0 (équation de (OI)) et 2x -3y +1=0 (équation de (D)).
On obtient le système d'équations suivant : 2x-3y+1=0 (1)
y=0 (2) On remplace l'équation (1) dans l'équation (2) et on obtient :
2x-3×0 +1= 0
2x+1 =0
2x = -1
x = -1/2
Les coordonnées du point d'intersection de (D) et de (OI) sont (-1/2 ;0). 2) Equation de (D') passant par A et perpendiculaire à (D).
Calculons les coordonnées de BC, on a:
BC (4-1 ; 3-1) alors BC (3 ; 2)
Soit M(x ; y) appartenant à D', on a :
AM(x ; y+1).
BC est le vecteur directeur de (D) et AM, celui de (D') comme (D) et (D')
sont perpendiculaires alors :
3×x + 2(y+1) = 0
3x + 2y +2 = 0 ; c'est une équation de (D'). EXERCICE 3 1) On sait que 3 > -1 et f(3) < f(-1) donc f est décroissante.
Ou alors on peut calculer le coefficient directeur a de f a=
a= a= -3 ; le coefficient directeur étant négatif f est décroissante. 2) f( 2) > f( 2 ) > f(2).
EXERCICE 4 1) Calculons AS Selon Pythagore AS² = SO² + AO²
AO = AC/2 AO = AS² = 5² + ( )²
AS² = 25 + AS² =
AS = = AS = =
AS = 2) Démontrons que tan ASO = tan ASO = = En simplifiant par 5, on obtient tan ASO = tan ASO = 0,707
0,7002 < 0,707 < 0,7265 tan 35° < tan ASO < tan 36° 35° < mes ASO < 36° PROBLEME 1) [AC] est un diamètre du cercle (C) et E appartient au cercle, par
conséquent le triangle ACE est rectangle en E. 2)a) Les angles BAC et BEC sont deux angles inscrits dans le cercle (C) et qui interceptent le même arc de cercle BC, on a donc :
mes BAC = mes BEC b) Calculons la mesure de l'angle BEC
ABC est un triangle rectangle en B ; donc les angles BAC et AB sont
complémentaires, on a donc : Mes BAC + mes ACB = 90° d'où mes BAC = 90°- mes ACB Comme mes ACB = 60° alors mes BAC = 90° - 60° = 30°
Or selon la réponse à la question a, mes BAC = mes BEC donc
mes BEC = 30°
3)a) Le triangle AKC est rectangle en K car [AC] est un diamètre du cercle
(C) et K appartient au cercle. Par conséquent les droites (KC) et (AK) sont
perpendiculaires.
Aussi les droites (BO) et (KC) sont parallèles ; donc les droites (BO) et
(AK) sont perpendiculaires. b) Démontrons que les points A et K sont symétriques par rapport à la
droite (BO).
Considérons le triangle ACK. O est le milieu du segment [AC] et la droite
(BO) est parallèle à la droite (KC), donc la droite (BO) passe par le
milieu de [AK]. LA droite (BO) est donc médiane du triangle OKA, le
triangle OKA étant isocèle la médiane (BO) est aussi médiatrice de [AK]
d'où les points A et K sont symétriques par rapport à la droite (BO). 4)a)Le triangle BOC est un triangle isocèle ayant un angle de 60°, il est
donc équilatéral ; donc : mes BOC = mes OBC = mes OCB = 60° Les angles AOE et BOC sont opposés par le sommet O donc mes AOE et mes BOC = 60°
Le triangle AOE est isocèle avec un angle de 60°, il est aussi équilatéral
: On a donc mes AOE = mes AEO = mes EAO = 60°
A et K étant symétriques par rapport à (BO),
mes KOE = mes AOE = 60° b) Démontrons que le triangle COK est équilatéral.
OK et OC sont des rayons du cercle (C) alors OK = OC donc le triangle COK
est isocèle en O. Aussi mes COK + mes KOE + mes EOA = mes COA = 180°
Donc mes COK + 60° + 60° = 180°
mes COK + 120° = 180°
mes COK = 180° - 120°
mes COK = 60° Le triangle COK étant isocèle et ayant un angle 60° est équilatéral. BEPC Math 2001 corrigés EXERICE 1 1. Le projet prioritaire est le projet A qui est le projet d'adduction
d'eau.
En effet il a la plus grande fréquence, c'est le mode de la série
statistique étudiée. 2.
EXERICE 2 1. Démontrons que SI=13
SOI est un triangle rectangle en O car [SO] est la hauteur du cône.
Selon Pythagore : SI² = SO² + OI²
Comme [IJ] est le diamètre du cercle OI=OJ alors OI= ½ IJ soit OI= 5
En remplaçant chaque distance par sa valeur on a :
SI² = 12² + 5²
SI² = 144 + 25
SI² = 169
SI² = 13²
SI = 13²
SI = 13 2. Calculons l'aire A latérale du cône
Soit p le périmètre du cercle
p = 2×?×SO (prenons ? = 3,14)
p = 2 ×3,14 ×5
p = 31,4 A = ½ × SI × p
A = ½ × 13 × 31,4
A = 204 cm² EXERCICE 3 1. Justifions que 6 < 2 7 + 2 < 7
Pour ce faire, cherchons d'abord un encadrement de 2 7, puis un
encadrement de 2 7+ 2.
2,64 < 7< 2,65
2×2,64 < 2 7 < 2×2,65
5,28 < 2 7 < 5,3 on a aussi
1,414 < 2 < 1,415
On additionne les deux inégalités membre à membre et on obtient :
5,28 + 1,414 < 2 7 + 2 < 5,30 + 1,415
6,694 < 2 7 + 2 < 6,715
Comme 6 < 6,694 et 6,715 < 7 alors 6 < 2 7 + 2