Correction - Math93

BTS CG2 |Mathématiques - CORRECTION |DS1 | |
|Vendredi 8 |Chapitre 1 : Calcul intégral et fonctions | |
|octobre | | | |Exercice 1 (2 points) Calculer les primitives des fonctions | |
|suivantes. |1pt |
|f(x) = x² - 2x + e3x |1pt |
|g(x) = + 1 donc | |
|Exercice 2 (3.5 points). | |
|Soit f la fonction définie sur ]2 ; +?[ par f(x) = | |
|f(x) = ) | |
|En déduire l'intégrale I = dx = | |
| |1pt |
| | |
| |2.5pt|
| |s |
|Exercice 3 (15 points) | |
|Une entreprise fabrique des pièces qu'elle conditionne par centaines.| |
|Sa fabrication journalière varie entre 100 pièces et 650 pièces. On | |
|suppose que le bénéfice, exprimé en milliers d'euros en fonction de | |
|la quantité q de pièces fabriquées, est donné par : | |
|f(q) = - 2 q² + 20 q - 18 - 16 ln q , avec q exprimée en centaines| |
|: 1 ?q? 6,5. | |
|A - Etude théorique. | |
|Soit f la fonction définie pour tout x réel de l'intervalle | |
|[1 ; 6,5] par : | |
|f(x) = - 2 x² + 20 x - 18 - 16 ln x. | |
|1° a f '(x)= -4x - + 20 = ) = ) |1 |
| b) l'équation f '(x) = 0 admet deux solutions | |
| c) f '(x) est du signe de - 4 (x - 1) (x - 4) car x positif sur | |
|[1 ; 6,5] |2 |
| d) |1 |
|x |1 |
|1 4 | |
|6.5 | |
| | |
|signe de | |
|f ' (x) | |
|+ | |
|- |3+0.5|
| | |
|variation de f | |
| | |
| | |
| |1 |
| |1.5 |
|3° SUR L'ANNEXE | |
|4° Les fonctions g et G sont respectivement définies sur ]0 ; + [ | |
|par : | |
|g(x) = ln x et G(x) = x ln x - x. |1 |
| a) G est une primitive de g sur ]0 ; + [ car G'(x) = g(x) | |
| b) Une primitive F de f sur [1 ; 6,5] est donc F(x) = - 2 x3/3 +| |
|10x² - 18x -16(xlnx - x) | |
|soit | |
|B - Retour à l'étude économique. | |
|1° la quantité de pièces à fabriquer afin d'obtenir le bénéfice | |
|maximal est de 4 centaines de pièces, ce bénéfice est de f(4) = 7.8 |3 |
|milliers d'euros | |
| 2° Le bénéfice moyen Bm réalisé par centaines de pièces, | |
|s'exprime, en milliers d'euros, par : | |
|[pic] | |
| 4 400 euros à 100 euros près.) | |
ANNEXE |6.5 |6 |5 |4 |3 |2 |1 |x |
|2.4- |1.3 |6.3 |7.8 |6.4 |2.9 |0 |(x)f | [pic]