3ème/ 4ème année

3ème/4ème année |décembre 2011 |durée : 3 x 45 mn | | 1
2 DEVOIR SURVEILLÉ DE MATHÉMATIQUES TEST COMMUN N°1
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4 Exercice n°1 (sur 4,5 points) 1. Soit P(x) un polynôme défini par [pic].
a) Calculer [pic]. Que peut-on en déduire ?
b) Factoriser P(x).
2. Soit Q(x) un polynôme défini par[pic]. Factoriser Q(x).
3. Soit f la fonction définie par [pic].
a) Déterminer l´ensemble de définition de f.
b) Montrer que [pic].
c) Résoudre dans R l'inéquation [pic].
5 Exercice n°2 (sur 6 points)
Soit f la fonction définie sur R par[pic].
On note (C) la représentation graphique de f dans un repère orthonormal
[pic].
1. Calculer [pic]; [pic] ; [pic];[pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] ;[pic] . 2. Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe
représentative (C) ?
3. Soit x un nombre réel. Comparer[pic]et[pic]. Que peut-on en déduire pour
f ? 4. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur [pic] puis
strictement décroissante sur[pic].
5. Tracer (C) sur l'intervalle[pic].
(On prendra 6cm pour [pic]unités sur l'axe des abscisses et 2cm pour une
unité sur l'axe des ordonnées.)
Exercice n°3 (sur 4,5 points)
Soit ABCD un rectangle tel que [pic] et [pic] . Soit I le point défini
par[pic].
Soit (d) une droite parallèle à (AC) et passant par I. Soit K le point
d'intersection des droites (d) et (DB).
1. Construire ABCD et les points I et K. Compléter la figure au fur et à
mesure.
2. Que représente le point K pour le triangle ABC?
Justifier.
3. Soit h l´homothétie de centre K qui transforme D en B.
a) Déterminer le rapport de h.
b) Construire les points [pic] et [pic].
c) Justifier que[pic]et que c'est son milieu.
4. Déterminer l'aire du triangle [pic].
Exercice n°4 (sur 2 points)
Soit ABCD un trapèze de base [AB] et [CD] tel que[pic]. 1. Reproduire l'image ci-dessous dans votre copie. 2. Construire [pic]le centre de l'homothétie transformant [AB] en [CD] et
de rapport k négatif. 3. Construire [pic]le centre de l'homothétie transformant [AB] en [CD] et
de rapport k positif. Exercice n°5 (sur 3 points)
QCM - les quatre questions de cet exercice sont indépendantes. Noter sur la
copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification
n'est demandée. Exactement une réponse est correcte. Chaque bonne rapporte
0,75 point, réponse incorrecte enlève 0,25 point, l´absence de réponse vaut
0 point. Si le total des points de l´exercice est négatif, la note est
ramenée à 0.
1. Résoudre dans [pic] l'équation [pic].
a) [pic] b) [pic], [pic] c) [pic],
[pic] d) [pic], [pic]
2. Déterminer la période de la fonction [pic].
a) [pic] b) [pic] c) [pic]
d) [pic]
3. L'ensemble de définition sur [pic]de la fonction [pic] est
a) [pic] b)[pic] c) [pic] d)[pic]
4. Choisir l'intervalle qui vérifie l'inéquation [pic] .
a) [pic] b)[pic] c) [pic]
d)[pic]
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3e/4e année T.C. n°1
2/3 décembre 2011