Précision d'un système

Exercices sur la précision et la stabilité des systèmes


But : Prévoir le comportement d'un système à partir de sa transmittance
isochrone. Comprendre le rôle des correcteurs proportionnel (P) et intégral
(I). Utiliser les tables de transformées de Laplace pour établir la réponse
temporelle du système et le théorème de la valeur finale pour quantifier
l'erreur statique. Mesurer la marge de phase sur un diagramme de Bode pour
établir si le système sera ou ne sera pas stable en boucle fermée. Utiliser
des abaques pour déterminer un temps de réponse pour un système du second
ordre.


-1- Nous prenons le cas simple d'un système du premier ordre.

|[pic] |Transmittance en boucle ouverte : |
| |[pic] |

|Travail : Pour cet exemple, donner :|[pic]fig1 |
| | |
|L'expression de S(p) en réponse | |
|indicielle. | |
|L'expression de s(t) correspondante.| |
| | |
|Le temps de réponse à 5% tr5%. | |
|L'erreur statique en utilisant le | |
|théorème de la valeur finale. | |
|La représentation graphique de la | |
|réponse s(t). | |
|? Comparer ce résultat à la fig 1. | |

-2- Bouclage du système par retour unitaire.

|[pic] |Transmittance en boucle fermée : |
| |[pic] |

|Travail : Pour cet exemple, donner :|[pic] |
| |fig2 |
|L'expression de S(p) en réponse | |
|indicielle. | |
|L'expression de s(t) correspondante.| |
| | |
|Le temps de réponse à 5% tr5%. | |
|L'erreur statique en utilisant le | |
|théorème de la valeur finale. | |
|La représentation graphique de la | |
|réponse s(t) | |
|? Comparer ce résultat à la fig 2. | |

-3- Application d'un correcteur proportionnel.

|[pic] |Transmittance en boucle |
| |fermée : |
| |[pic] |

|Travail : Pour cet exemple, donner :|[pic] |
| |fig3 |
|L'expression de S(p) en réponse | |
|indicielle. | |
|L'expression de s(t) correspondante.| |
| | |
|Le temps de réponse à 5% tr5%. | |
|L'erreur statique. | |
|? Retrouver ces valeurs sur la fig | |
|3 | |
|? Quelle est l'action du correcteur | |
|proportionnel sur le temps de | |
|réponse et sur l'erreur statique ? | |





-4- Application d'un correcteur intégral.

|[pic] |Transmittance en boucle |
| |fermée : |
| |[pic] |

|Travail : Pour cet exemple, donner :|[pic] |
| |fig4 |
|L'expression de S(p) en réponse | |
|indicielle. | |
|L'expression de s(t) correspondante.| |
| | |
|Le temps de réponse à 5% tr5% en | |
|utilisant l'abaque approprié. | |
|L'erreur statique du système. | |
|La marge de phase (utiliser le | |
|diagramme de Bode n°1 en annexe | |
|correspondant à la transmittance en | |
|boucle ouverte TBO(p)). | |
|? Retrouvez vos valeurs sur la fig | |
|4. Le système est-il stable ? | |
|? Quelle est l'action du correcteur | |
|intégral sur le temps de réponse et | |
|sur l'erreur statique ? | |

-5- Application d'un correcteur proportionnel - intégral.

|[pic] |Transmittance en boucle |
| |fermée : |
| |[pic] |

|Travail : Pour cet exemple, |[pic] |
|donner : |fig5 |
|L'expression de S(p) en réponse | |
|indicielle. | |
|L'expression de s(t) | |
|correspondante. | |
|Le temps de réponse à 5% tr5% en | |
|utilisant l'abaque approprié. | |
|L'erreur statique du système. | |
|La marge de phase (utiliser le | |
|diagramme de Bode n°2 en annexe | |
|correspondant à la transmittance en| |
|boucle ouverte TBO(p)). | |
|? Retrouvez vos valeurs sur la fig| |
|5. Le système est-il stable ? | |
|? L'augmentation du gain du | |
|correcteur proportionnel permet-il | |
|de réduire, comme au -3-, le temps | |
|de réponse ? | |
|? Proposer un correcteur PI | |
|permettant d'obtenir un système | |
|stable avec le plus petit temps de | |
|réponse possible. | |
[pic]
[pic]
[pic]
-----------------------
[pic]

E(p)

S(p)

E(p)

+

-

[pic]

S(p)

E(p)

+

-

[pic]



10

S(p)

S(p)

[pic]



[pic]

-

+

E(p)

E(p)

+

-

[pic]



[pic]

S(p)

[pic] Bode n°1

[pic] Bode n°2