Espace - maths et tiques

GEOMETRIE DANS L'ESPACE



I. Les solides usuels (rappels du collège)

1) Les solides droits


[pic]

2) Pyramide et cône
















3) Sphère et boule

Aire de la sphère = 4? r2


Exemple : Surface terrestre (rayon de la terre [pic] 6370km)


A = 4[pic]r2 [pic] 509 904 364 km2.


Volume de la boule = [pic]? r3


Exemple : Volume de la terre


V = [pic][pic]r3 [pic] 108 269 693 200 km3
Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|-p252 n°13 |p253 n°16 | |-p261 n°43 |p261 n°45 |
|p253 n°17 | | |p263 n°57 | |
|p256 n°37 | | |-p255 n°10 | |
|-p251 n°4 | | |p260 n°42, 41,| |
|p252 n°12, | | |39* | |
|7*, 10* | | |p255 n°10* | |
|p257 n°47* | | |p263 n°58* | |
|p258 n°50* | | |p265 n°64* | |


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TP conseillé TP conseillé
|TP Algo 2 p247 : A dos de | |p252 TP6 : A dos de chameau |
|chameau | |p250 TP4 : Calcul des |
|TP Algo 3 p248 : Calcul des | |volumes des solides de |
|volumes des solides de | |révolution |
|révolution | | |


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2014





II. Droites et plans : positions relatives




Activité conseillée Activité conseillée
|p232 activité 2 questions 1 | |p236 activité 2 questions 1 |
|et 2 : Solide, patron et | |et 2 : Solide, patron et |
|perspective | |perspective |
|p233 activité 3 Partie A : | |p237 activité 3 Partie A : |
|Que voit-on réellement sur | |Que voit-on réellement sur |
|une figure en perspective ? | |une figure en perspective ? |


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2014







1) Plan de l'espace

Rappel :
Par deux points distincts du plan passe une unique droite, ainsi deux
points définissent une droite.
[pic]


Caractérisation d'un plan :
Par trois points non alignés de l'espace passe un unique plan, ainsi
trois points non alignés définissent un plan.


Propriétés :
Un plan est défini :
1) soit par trois points non alignés,








2) soit par une droite et un point
n'appartenant pas à cette droite,






3) soit par deux droites sécantes,










4) soit par deux droites strictement
parallèles.








Définition :
Quatre points de l'espace sont dits coplanaires lorsqu'ils
appartiennent à un même plan.
Deux droites de l'espace sont dites coplanaires lorsqu'elles sont
incluses dans un même plan.









2) Position relative de deux droites

|Droites coplanaires |Droites non |
| |coplanaires |
|Droites sécantes |Droites parallèles | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |Droites |Droites confondues| |
| |strictement | | |
| |parallèles | | |
| | | | |
| | | | |


Exemple :

On considère le parallélépipède suivant :

- Les droites (BG) et (BA) sont sécantes en B.
- Les droites (GE) et (BD) sont parallèles.
- Les droites (FA) et (CD) sont non coplanaires.
- Les droites (GE) et (EH) sont coplanaires.

3) Position relative de deux plans

|Plans parallèles |Plans sécants |
|Plans strictement |Plans confondus |Les plans sont sécants |
|parallèles | |suivant une droite |
| | | |
| |[pic] |[pic] |
|[pic] | | |


Exemple :

On considère le parallélépipède suivant :

- Les plans (AFE) et (BCH) sont parallèles.
- Les plans (BCD) et (ABD) sont confondus.
- Les plans (GBE) et (GBF) sont sécants
suivant la droite (GB).



4) Position relative d'une droite et d'un plan

|Droite et plan parallèles |Droite et plan sécants |
|Droite et plan |Droite incluse dans le | |
|strictement parallèles |plan | |
| | | |
|[pic] | |[pic] |
| |[pic] | |

Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|p253 n°18 à |p254 n°25 | |p255 n°11 à 13|p261 n°48 |
|21 | | | | |
|p256 n°39 à | | |p258 n°31 à 33| |
|41 | | | | |
|p254 n°22*, | | |p256 n°17* | |
|23*, 24 | | |p261 n°47* | |
| | | |p256 n°16* | |


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III. Droites et plans parallèles



1) Droites parallèles à un plan

Propriété :
Si une droite est parallèle à une droite d'un plan, alors elle est
parallèle à ce plan.

















Théorème du "toit" :


Si deux droites d et d' sont parallèles telles que :
- un plan P contienne la droite d,
- un plan P' contienne la droite d',
- les plans P et P' sont sécants suivant une droite ?,
alors ? est parallèle aux droites d et d'.










2) Plans parallèles

Théorème des plans parallèles 1 :


Si un plan contient deux droites sécantes et
parallèles à un autre plan, alors les deux
plans sont parallèles.













Théorème des plans parallèles 2 :


Si deux plans sont parallèles, tout plan qui
coupe l'un coupe l'autre, et leurs intersections
sont deux droites parallèles.















Méthode : Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan

[pic] Vidéo https://youtu.be/k7F1StU4XUs

SABCD est une pyramide.
I, J et K sont les milieux respectifs de [SA], [SB] et [SC].
Démontrer que la droite (IK) est parallèle au plan ABC.


[pic]




Dans le plan (SAC), on applique le théorème des milieux :
I et K sont les milieux respectifs de [SA] et [SC], donc la
droite (IK) est parallèle à la droite (AC).

Pour prouver qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit
de prouver que cette droite est parallèle à une droite de
ce plan.

Comme (AC) est une droite du plan (ABC) et que (IK) est parallèle à (AC),
on en déduit que (IK) est parallèle au plan (ABC).


Méthode : Démontrer que deux plans sont parallèles

[pic] Vidéo https://youtu.be/IAkjUUrwZPw

Dans l'énoncé de la méthode précédente, démontrer que les plans (IJK) et
(ABC) sont parallèles.


Pour prouver que deux plans sont parallèles, il suffit de trouver deux
droites sécantes d'un plan qui sont parallèles à l'autre plan (théorème des
plans parallèles 1).
[pic]
On a démontré dans la méthode précédente que (IK) est parallèle au plan
(ABC).
On démontrerait de même que (IJ) est parallèle au plan (ABC).
Les droites (IK) et (IJ), sécantes en I, sont parallèles au plan (ABC),
d'après le théorème des plans parallèles 1, on en déduit que le plan (IJK)
est parallèle au plan (ABC).

Méthode : Construire la section d'un solide par un plan

[pic] Vidéo https://youtu.be/vgXcf3M0f9w

ABCDEFGH est un pavé droit.
I est un point de l'arête [EF], J est un point
de l'arête [AB] et K est un point de la face
EFGH.

Construire la section du pavé par le plan (IJK).

- Le plan (IJK) coupe la face ABFE suivant la droite (IJ). On commence donc
par tracer le segment [IJ].

- Le plan (IJK) coupe la face EFGH suivant la droite (IK). Soit L le point
d'intersection de la droite (IK) avec l'arête [HG]. On trace le segment
[IL].

- D'après le théorème des plans parallèles 2, les faces ABFE et DCGH étant
parallèles, le plan (IJK) coupe la face DCGH suivant une droite parallèle à
(IJ).
Le plan (IJK) coupe donc la face DCGH suivant la droite parallèle à (IJ) et
passant par L. On trace cette droite qui coupe l'arête [CG] en M.

- On justifie de même que le plan (IJK) coupe la face ABCD suivant la
droite parallèle à (IK) passant par J. On trace cette droite qui coupe
l'arête [BC] en N.

- Pour finir la section, on trace le segment [MN].

[pic]

Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|p254 n°26, 27|p255 n°33 | |p256 n°18, 19 |p257 n°22, 24 |
| |p258 n°51 |