WORD/Mac - Maths-et-tiques

NOMBRES COMPLEXES
(Partie 3)


Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct
[pic].


I. Forme exponentielle d'un nombre complexe

1) Définition

Posons [pic].
En prenant [pic], on a démontré dans la Parie 2 (II.) que :
[pic].
Soit : [pic].
On retrouve ainsi la même équation fonctionnelle que celle établie pour les
exponentielles : [pic].

Définition : Pour tout réel [pic], on a : [pic].

Remarque :
[pic] est le nombre complexe de module 1 et d'argument [pic].

Propriété : [pic]

Démonstration :
[pic]

Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783). Elle possède la particularité de relier les grandes
branches des mathématiques : l'analyse (avec le nombre e), l'algèbre (avec
le nombre i) et la géométrie (avec le nombre [pic]).

Exemples :
[pic]
[pic]

Définition : Tout nombre complexe z non nul de module [pic] et d'argument
[pic] s'écrit sous sa forme exponentielle [pic].




2) Propriétés

Propriétés : Pour tous réels [pic] et [pic], pour tout entier naturel n non
nul,
a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] e) [pic]


Remarque :
La formule b) s'appelle formule de Moivre.


Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et
réciproquement

[pic] Vidéo https://youtu.be/tEKJVKKQazA
[pic] Vidéo https://youtu.be/zdxRt5poJp0

1) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :
a) [pic] b) [pic]
2) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique :
a) [pic] b) [pic]


1) a) - [pic]
- [pic]
On cherche donc un argument [pic] de z1 tel que [pic].
Comme [pic] et [pic], l'argument -[pic] convient.
[pic] donc [pic].
b) - [pic]
- [pic]
On cherche donc un argument [pic] de z2 tel que [pic].
Comme [pic] et [pic], l'argument [pic] convient.
[pic] donc [pic].

2) a) [pic]
b) [pic].


II. Applications à la géométrie

Propriété : A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan
d'affixes respectives [pic]. On a :
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]

Démonstrations :
a) On considère un point E tel que [pic].
Alors E a pour affixe [pic].
Donc [pic] et donc [pic]

b) [pic]
Comme [pic], [pic] donc [pic]
c) [pic]
[pic]


Méthode : Utiliser les nombres complexes en géométrie

[pic] Vidéo https://youtu.be/NjLZfbqRFB0

Soit A, B et C trois points d'affixes respectives [pic], [pic] et [pic].
1) Démontrer que le triangle ABC est isocèle en A.
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.


1) [pic]
[pic].
Donc AB = AC.

2) [pic]
[pic]
[pic]. On en déduit que l'angle [pic] est droit.


Méthode : Déterminer un ensemble de points

[pic] Vidéo https://youtu.be/WTXu19XC9Lw

Soit M un point d'affixe z. Dans chaque cas, déterminer et représenter :
1) L'ensemble des points M tels que [pic].
2) L'ensemble des points M tels que [pic].
3) L'ensemble des points M tels que [pic].
4) L'ensemble des points M tels que [pic].


1) Soit A le point d'affixe 2i alors [pic] est équivalent
à AM = 3.
L'ensemble des points M est le cercle de centre A(2i) et
de rayon 3.






2) [pic]
Soit A le point d'affixe -3i alors [pic] est équivalent à AM = 1.
L'ensemble des points M est le cercle de centre A(-3i) et de rayon 1.




3) [pic]
Soit A le point d'affixe 3+i et B le point d'affixe 5 alors [pic]
est équivalent à AM = BM.
L'ensemble des points M est la médiatrice du segment [AB].

[pic]

4) L'ensemble des points M est la 1ère bissectrice de l'axe
des abscisses et de l'axe des ordonnées privée de
l'origine.









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