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exercices corrigés d'analyse fonctionnelle master 1

Soit (E, ·) un espace vectoriel normé. Montrer que (E, ·) est complet si et seulement si toute série absolument convergente d'éléments de E converge dans E.

Si E est un espace vectoriel normé qui est complet pour la métrique associée `a la ... Corrigé des exercices d'apprentissage. Exercice 3.1.

Exercice 1. 1. Soit (X, d) un espace métrique et A et B deux parties connexes par arcs de ... l'on suppose seulement que l'espace est complet.

Montrer qu'il existe a ? K et b ? F tel que a?b = dist(K,F). Indication ?. Correction ?. [002372]. Exercice 4. Soit E un espace compact ...

Exercice 2. On munit le sous ensemble X = [0, 1] ? [2, 4[ de R de la distance usuelle d(x, ...

Pour tout A ? X, on a A ? U = A ? U. Exercice 16 (Sous-espaces métriques). Soient (X, d) un espace métrique, A une partie non vide de X et B une partie de A.

Montrer qu'il existe r ? R?+ tel que pour tout x ? X, on ait l'implication d(x, K) < r ? x ? U. Considérer l'application x ? d(x, X \ U) définie sur K.

Espaces métriques, suites. 47. Corrigé des exercices d'apprentissage. Exercice 1.1. Montrons par récurrence sur n ? N \ {0, 1} la propriété. P(n)=??(x1 ...

4 Correction des exercices. Exercice 3.1. 1. Il est facile de voir que ? est une distance (voir aussi le dernier exercice du chapitre 1.) 2. Cela revient à ...

Termes manquants :

Soient (K, d) un espace compact, (X, D) un espace métrique et f : K ? X. Si f est continue et bijective, montrer que f est un homéomorphisme. Exercice 1.

Corrigé des exercices d'apprentissage. Exercice 3.1. Montrons que toute suite convergente est de Cauchy. Soit (xn) une suite convergeant vers ?. Soit ? ...

Trouver un espace de suites Y tel que (Y,?) soit complet et tel que X soit dense dans Y. 3. Que donne l'exercice si on remplace ? par la norme uniforme?