Mini test 3 ? Espaces vectoriels normés ? Correction

Mini test 3 - Espaces vectoriels normés - Correction

Exercice 1 : Etude d'ensembles

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soient A, B, C des parties de E définies par :
A = ]0,1[ ( {2} ( [15,20] ( ]35 ,40]
B = {-3,2,5}
C = B(x0,5)

Question 1

A n'est ni ouvert, ni fermé, B est fermé et C est ouvert (c'est une boule
ouverte).


Question 2

Ensemble A.
CA = ]- ?,0] ( [1,2[ ( ]2,15[ ( ]20,35] ( ]40,+? [
? = [0,1] ( {2} ( [15,20] ( [35 ,40]
Å = ]0,1[ ( ]15,20[ ( ]35 ,40[
Fr(A) = ?\ Å = {0,1,2,15,20,35,40} (c'est aussi égal à l'adhérence du
complémentaire de A ( ?)
Is(A) = {2}
points d'accumulation : ]0,1[ ( [15,20] ( ]35 ,40]

Ensemble B.
CB = ]- ?,-3[ ( ]-3,2[ ( ]2,5[ ( ]5,+? [
adhérence de B = B
intérieur de B = Ø
Fr(B) = B
Is(B) = tous les points de B
points d'accumulation : aucun

Ensemble C.
CC = E\C
adhérence de C = Boule fermée de centre x0 et de rayon égal à 5
intérieur de C = C
Fr(C) = S(x0, 5)
Is(C) = Ø
points d'accumulation : tous les points de C




Question 3

Aucun des ensembles ci-dessus ne sont compacts



Exercice 2 : Démonstrations

Cadre : Soit (E,d) un espace métrique.
Soit (Fj)j, j ? J une famille de fermés de E.



Question 1

Démontrons qu'une intersection quelconque de fermés est fermée.

Soit F = ( j ? J (Fj).
On veut montrer que F est fermé. Pour cela il nous suffit de montrer que
E\F est ouvert.
E\F = (j ? J (E\Fj).
Or (j ? J, E\Fj est ouvert.
On sait (ou du moins on est sensé savoir) qu'une réunion quelconque
d'ouverts est ouverte.
Donc E\F est ouvert et par conséquent F est fermé.


Question 2

Démontrons qu'une réunion finie de fermés est fermée.

Si J = {1,...,n}, n ? N*
Soit F = ( j ? J (Fj).
On veut montrer que F est fermé. Pour cela il nous suffit de montrer que
E\F est ouvert.
E\F = ( j =1 n (E\Fj). (intersection des E\Fj pour j allant de 1 à n)
Soit x ? E\F.
(j ? {1,...,n}, x ? E\Fj.
Or (j ? {1,...,n}, E\Fj est ouvert.
Donc (j ? {1,...,n}, (rj (0 / B(x, rj) ( E\Fj .
Soit r = min{rj , 1(j(n}(0.
Alors (j ? {1,...,n}, B(x,r) ( B(x, rj) ( E\Fj .
Donc B(x,r) ( ( j =1 n (E\Fj) = E\F.

On a donc trouvé un réel positif r tel que (x ? E\F, B(x,r) ( E\F.
Donc E\F est ouvert et par conséquent F est fermé.