La Torsion simple

La Torsion simple


1) Définition de la sollicitation en torsion simple :

Une poutre droite est sollicitée en torsion simple à chaque fois que
les actions mécaniques extérieures qui agissent sur le poutre isolée sont
modélisées par deux torseurs couples opposés dont les vecteurs moments
sont parallèles à la ligne moyenne « Lm ».















[pic]


2) Torseur de cohésion et contrainte :

Quelque soit la coupure droite perpendiculaire à la ligne
moyenne son torseur de cohésion sera tel que : [pic]

Les contraintes engendrées en un point M ( à l'axe (G,y) de la
section droite par ce type de sollicitation sont des « contraintes
tangentielles » ( représentées par des « vecteurs contraintes
tangentielles » [pic] tel que :
[pic]


Avec : [pic] vecteur contrainte tangentielle exprimé
en _______
MT moment de torsion dans la section droite exprimé
en _______ I0 moment quadratique polaire par rapport
à l'axe (G,x) exprimé en ______
y ordonnée du point M situé sur l'axe (G,y) exprimé
en ______


Remarque : La contrainte ( est d'autant plus importante que le
point M est ___________________

_______________________________________________.


3) Représentation de ces contraintes tangentielles :


Torseur de cohésion. Contraintes dans la
section droite.


[pic]








4) Exemple :

Un arbre de transmission cylindrique de 2 m de longueur et de 50 mm de
diamètre modélisé ci dessous, est sollicité en torsion pure. [pic]









Calculer l'expression du vecteur contrainte [pic] en un point M ( à
l'axe (G,y) de la section droite . Représentez ces vecteurs contrainte
tangentielles sur une vue de la section droite.






















Résolution :




















5) Déformation en torsion :

Comme pour les sollicitations en traction / compression, une
sollicitation en torsion entraîne une déformation. Cette propriété est
d'ailleurs utilisée pour réaliser des suspensions à barre de torsion.


Avant sollicitation : Pendant la
sollicitation en torsion simple.












Dans la zone de déformation élastique du matériau, la
déformation angulaire ( est _________________ à la sollicitation en
torsion et à la longueur de la barre et dépend de la section de la
poutre sollicité en torsion. Nous obtenons les relations suivantes :






















Remarque : MT, ( et ( sont des valeurs algébriques.
Condition de rigiditée :




Pour les arbres de transmission qui tournent vite ( N > 750
tr/min ), on doit limiter les déformations de torsion de l'arbre pour
éviter les vibrations. Pour assurer une rigidité convenable de la
transmission, on impose une limite à l'angle unitaire de torsion :




( ( ( limite




6) Loi de Hooke :




















7) Condition de résistance :

a) Contrainte maximale de torsion :

En désignant par v la valeur maximale de y ( le plus souvent v
= R, rayon de la poutre cylindrique ), nous pouvons écrire :

[pic]


b) Critère de résistance :

[pic]


Exercices de torsion

Exercice 1 :

La broche d'une fraiseuse transmet un couple maximal de 80 N.m.
On l'assimile à un tube en acier pour lequel D = 2d et G = 8.104 Mpa.
La déformation est limitée à 0,25 degré par mètre.

Calculez le diamètre, extérieur D et intérieur d, de cette broche.
Calculez la contrainte maximale dans le tube soumis à un moment de torsion
de 80 N.m.



Exercice 2 :


La figure ci-contre représente l'allure de la répartition des
contraintes réelles sur le diamètre d'un arbre comportant une rainure pour
clavette parallèle.

La contrainte tangentielle maximale se trouve localisée en fond
de rainure et dépend beaucoup du rayon r en fond de rainure.

Un arbre de diamètre d = 35 mm transmet un couple de 80 N.m par
l'intermédiaire d'un clavetage parallèle à bout rond.
On souhaite utiliser un acier de contrainte limite élastique (e
= 120 Mpa.
Coefficients de concentration de contrainte

|r / p |0,1 |0,2 |0,3 |0,5 |
|k |5,4 |3,4 |2,8 |2,1 |

On choisit un coefficient de sécurité s = 3.

Calculez la contrainte théorique maximale en torsion.
Calculez la contrainte limite pratique.
En vous servant des caractéristiques dimensionnelles des rainures de
clavettes ( Livre de dessin ) ainsi que du tableau donnant le coefficient
de concentration de contrainte suivant le rapport r/p, déterminez le rayon
en fond de rainure minimal .


Exercice 3 : Exercice 4 :
-----------------------
[pic]

[pic]

x

y

z

z

y

x

[pic]

[pic]

Donnée : Moments quadratiques polaires à connaître :

z

y

x

A

B

L

(

B

A

z

y

(= ( . L avec :

( ( déformation angulaire relative, exprimée
en _______________________
( ( déformation angulaire de la poutre
sollicitée en torsion, exprimée en _______
( L longueur de la poutre, exprimée en
________________

[pic] avec :

( MT moment de torsion appliqué à la poutre,
exprimée en _______________________
( G module d'élasticité transversal, exprimée en
___________( 77000Mpa