Exercices 12

MPSI
CHAPITRE 12 EXERCICES
12-1 Circuit R L C série.
(Voir le cours pour les données). La charge initiale du condensateur
est q0 et[pic], T0 : période propre de l'oscillateur,
Rc : résistance critique.
Établir les équations des graphes 12-5 et 12-5 bis représentant les
rapports de tensions (observables sur l'écran d'un oscillographe à
mémoire) : [pic] et [pic]pour les valeurs de R suivantes : 3Rc, RC ,
[pic]et [pic].
Comparer, dans les cas où l'on a un régime sinusoïdal amorti, la
pseudo-période [pic]à la période propre T0, donner leur écart relatif
[pic]. 12-2 Réponse à un échelon de courant Le générateur de courant fournit un courant électromoteur (= I Y(t)
(avec Y(t) = 0 pour t < 0 et Y(t) = 1 pour t > O). 12-2-1 Dipôle R, C parallèle À t = 0, on a q = 0. Donner les expressions de q(t), i(t) et u(t) et
tracer l'allure des graphes correspondants. 12-2-2 Dipôle R, L parallèle
À t = 0, on a i = 0. Donner les expressions de i(t) et u(t) et tracer
l'allure des graphes correspondants. 12-2-3
Traiter les cas suivants, en précisant les impossibilités
éventuelles:
Réponse à un échelon de tension d'un dipôle R C parallèle.
Réponse à un échelon de tension d'un dipôle R L parallèle.
Réponse à un échelon de courant d'un dipôle R C série.
Réponse à un échelon de courant d'un dipôle R L série. 12-3 Réponse à un échelon de courant d'un dipôle R , L, C parallèle.
Le générateur de courant fournit un c.é.m. ((t) = I Y(t).
À t = 0 , on a q = 0 et iL = 0.
Écrire l'équation différentielle vérifiée par iL.
Montrer l'existence d'une résistance critique Rc dont on donnera
l'expression.
Pour R = RC puis pour R = 3 RC, donner les expressions de iL(t), iR(t)
et iC(t) puis de u(t) et q(t) et représenter le graphe de u(t). 12-4 Réponse à une impulsion de tension ou de courant
Une impulsion de tension correspond à la tension fournie par une
source de tension de f.é.m, e(t) telle que :
e(t) = 0 pour t < 0 et pour t > (, et e(t) = E pour 0 < t < (, avec (
très petit devant la constante de temps du circuit sur lequel agit
l'impulsion.
[pic] [pic]
12-4-1 Réponse à une impulsion de tension d'un dipôle R, C série
1) Expliciter la condition sur (, R et C pour qu'on puisse considérer
e(t) comme une impulsion de tension.
2) Donner les expressions de i(t) et q(t), si à t = 0 on a q = 0,
pour t < 0, pour 0 < t < ( et pour t > (.
3) Monter que ces expressions ne dépendent que du produit ( E. 12-4-2 Réponse à une impulsion de tension d'un dipôle R, L série
1) Expliciter la condition sur (, R et L pour qu'on puisse
considérer e(t) comme une impulsion de tension.
2) Donner les expressions de i(t), si à t = 0 on a i = 0 , pour t
< 0 , pour 0 < t < ( et pour t > (..
3) Montrer que cette expression ne dépend que du produit ( E. 12-4-3 Réponse à une impulsion de courant
Une impulsion de courant correspond au courant fourni par une source
de courant de c.é.m. ((t) tel que : ((t) = 0 pour t < 0 et pour t > ( et
((t) = I pour 0 < t < (, avec ( très petit devant la constante de temps du
circuit sur lequel agit l'impulsion.
1) Quelle est la signification physique du produit ( I ?
2) Sur le modèle des questions précédentes, on traitera le cas d'un
dipôle R, C parallèle et celui d'un dipôle R, L parallèle. (Voir les
schémas 12-2-1 et 12-2-2)..
3) Dans le cas du dipôle R, L parallèle, peut-on rendre R infinie ?
12-5 Établissement et rupture d'un courant
(L,r) est une bobine.
1) À t = 0, on ferme l'interrupteur K dans le circuit représenté ci-
dessus. Déterminer les intensités i1 et i2.
2) Au bout d'un temps très long, on ouvre K. Calculer i2 et la tension
VA - VB ; montrer que celle-ci peut, pendant un temps assez bref être très
supérieure (en valeur absolue) à E si les paramètres sont bien choisis. 12-6 Régime propre d'un circuit R, L, C série
1) On considère le régime propre d'un circuit R, L, C série peu
amorti. Donner l'expression de la pseudo-période T. To étant la limite T
quand R tend vers 0, calculer, en fonction de L et C, la valeur maximale de
R telle que la quantité [pic]reste inférieure à 10-3. On prendra L = 1 kH
(aucune bobine n'a une telle autoinductance, elle est simulée par un
circuit électronique) et C = 1 µF.
2) Quel est alors le facteur de qualité du circuit ? 12-7 Réponse d'un dipôle R, C série à une tension en créneaux.
(Voir schéma 12-4-1). On note la constante de temps (.
Le condensateur est initialement déchargé : q = 0 à t =0.
Le générateur de tension fournit la tension e(t), en créneaux, de
période T :
Pour t < 0, e(t) = 0
Pour t > 0, avec n[pic]|N: si t [pic] [nT , (n + 0,5)T] alors e(t) =
E
si t [pic][(n + 0,5)T , (n + l)T] alors e(t) = 0.
1) Écrire les équations différentielles vérifiées par q pendant les
différents intervalles de temps et leurs solutions générales.
On notera la constante d'intégration An pour l'intervalle [nT ,
(n+0,5)T ] et A'n celle pour l'intervalle [(n+0,5)T , (n+1)T].
2) On notera Qn la charge du condensateur à la date nT et Q'n sa
charge à (n + 0,5)T. Donner les expressions des constantes An et A'n avec
C, E, n, T, ( et, respectivement, Qn et Q'n.
Donner, avec les mêmes paramètres, la relation entre Qn+1 et Qn et
celle entre Qn+1 et Q'n.
3) Compte tenu de Q0 = 0, démontrer que [pic] et [pic]
4) Pour T = 0,5 ( puis pour T = 4 (, calculer les valeurs successives
de [pic]et de [pic]jusqu'à n = 10.
Vers quelles limites tendent Qn et Q'n quand n tend vers l'infini ?
Vers quelles limites tendent-ils si T >>> ( ?
5) Donner l'allure du graphe de uC = [pic]= f(t) dans les deux cas
étudiés.
12-8 Oscillations de relaxation d'un tube à gaz
La tension fournie par la source est e(t) = E Y(t). (Y est la
fonction de Heaviside). Le circuit comporte une résistance R et une
capacité C. Un interrupteur K permet de placer en dérivation aux bornes du
condensateur un tube à gaz ?
Le tube à gaz se comporte comme une résistance infinie si la tension
entre ses bornes est inférieure à une valeur V0 plus petite que E, et comme
une résistance nulle dès que cette tension dépasse V0. Ceci a pour effet de
décharger instantanément le condensateur en produisant dans le tube un
éclair très bref.
1) Si K est ouvert, déterminer pour t > 0, la tension u(t) entre les
armatures du condensateur. On posera ( = RC. 2) L'interrupteur K étant maintenant fermé, montrer que la tension
u(t) subit des oscillations. Quelle est l'allure de u(t) ? Calculer la
fréquence f des oscillations. 3) Application numérique : R = 1 k(, E = 24 V, V0 = 5 V et C = 1 µF.