Coefficient : 2

BACCALAUREAT PROFESSIONNEL MAINTENANCE DE SYSTEMES MECANIQUES AUTOMATISES
- Session 2005-
Epreuve E1 Scientifique et Technique
Sous-Epreuve B1- Unité U12
Coefficient : 2
Durée : 2 heures Remarques : - La clarté des raisonnements et la qualité de rédaction seront
pris en compte dans la correction. - L'usage des calculatrices électroniques est autorisé. - L'usage du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
MATHEMATIQUES : 15 POINTS Les deux exercices sont indépendants. Une société spécialisée dans le découpage au laser réalise des pièces ayant
la forme de la figure 1 :
[pic]
EXERCICE 1 : 12 POINTS Etude du profil de la pièce
On se propose d'étudier deux modèles mathématiques pour le profil.
PARTIE A : ETUDE DU PREMIER MODELE
Le profil de la pièce est représenté dans le repère orthonormal ci-
dessous :
[pic]
Dans le repère précédent, les coordonnées des points A, B, C sont
respectivement : A( 0,4 ; 0,2 ) , B( 0,8 ; 0,6 ) et C( 1,6 ; 1 ) Ce profil est constitué de 3 parties :
- un arc de parabole de sommet O et d'axe [Oy), - un segment de droite [AB], - un arc de parabole de sommet C et d'axe parallèle à [Oy) passant par C. 1 - L'arc est la représentation graphique de la fonction f définie sur
l'intervalle [0 ; 0,4] par : f(x) = x² En utilisant les coordonnées du point A, montrer que le point A appartient
effectivement à la courbe représentative de la fonction f. 2- Soit f' la fonction dérivée de f. a) Calculer f '(x).
b) Calculer f '(0,4). 3 - Calculer le coefficient directeur de la droite (AB). 4 -
a) Comparer le coefficient directeur de la droite (AB) et f '(0,4). b) Interpréter graphiquement ce résultat. 5 - On suppose que l'arc de parabole a une équation de la forme : y = - x² + bx + c
Les coordonnées des points B et C vérifient cette équation, on obtient
alors le système suivant : En résolvant ce système, montrer que b = 2 et c = - 0,6 6 - Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0,8 ; 1,6] par : g(x) = - x² + 2x - 0,6
a) Soit g' la fonction dérivée de g , calculer g'(x). b) Calculer g'(0,8).
c) Montrer que la droite (AB) est tangente en B à l'arc.
PARTIE B : ETUDE DU DEUXIEME MODELE Un logiciel permet d'obtenir un autre modèle mathématique de ce profil.
Il s'écrit sous la forme d'une fonction h définie sur l'intervalle [0 ;
1,6] par : h(x) ' - 0,615 x3 +1,3x² +0,1x 1 - Compléter le tableau de valeurs sur l'annexe 1 ( à rendre avec la copie
) 2 - Tracer la représentation graphique de la fonction h sur le repère de
l'annexe 1 ( à rendre avec la copie ) dans lequel figure déjà la
représentation graphique du premier modèle. PARTIE C : COMPARAISON DES DEUX MODELES 1- Dans le repère de l'annexe 1 ( à rendre avec la copie ), on a tracé le
profil du premier modèle.
Observer la forme du profil de la figure 1, et indiquer si les deux
représentations du profil proposées par le premier et le deuxième modèle
vous semblent acceptables ? 2- En imposant comme contrainte, le passage par les points O, A, B et C,
indiquer quel est ( ou quels sont ) les modèles acceptables.
EXERCICE 2 : 3 POINTS Etude statistique de la production
La machine produit des profils dont la longueur, exprimée en mètre, doit
être comprise entre 1,575 et 1,625.
Sur un échantillon de 60 profils, on a obtenu les résultats suivants : |Longueur en mètre des |Nombres de profils |Centre de classe |
|profils |ni |xi |
|[1,575 ; 1,585 [ |6 |1,58 |
|[1,585 ; 1,595 [ |8 |1,59 |
|[1,595 ; 1,605 [ |13 |1,60 |
|[1,605 ; 1,615 [ |26 |1,61 |
|[1,615 ; 1,625 ] |7 |1,62 |
1- On considère que l'effectif de chaque classe est affecté au centre de
classe et on donne les valeurs arrondies :
?( ni xi ) = 96,2 et ?( ni xi² )= 154,249
En utilisant le formulaire, a) Calculer la moyenne arrondie à 10-3 m de la série statistique. b) Calculer la variance V et l'écart-type ? dont on donnera une valeur
arrondie à 10-3 m. 2 - On fait l'hypothèse que dans chaque classe, les longueurs des profils
de l'échantillon sont réparties uniformément.
On admet que dans l'intervalle de tolérance [ - ? ; + ? ], le nombre de
profils est égal 39.
La production de la machine est jugée conforme si au moins 95 % des
longueurs appartiennent à l'intervalle de tolérance.
La machine nécessite-t-elle une intervention de maintenance ? Justifier la
réponse.
ANNEXE 1 ( à rendre avec la copie )
Tableau de valeurs de la fonction h |x |
|Fonction f |Statistiques |
|Dérivée f ' |Effectif total [pic] |
| |Moyenne [pic] |
|f (x) |Variance [pic] |
|f '(x) |Écart type ? = [pic] |
| | |
|ax + b | |
|[pic] | |
|[pic] |Relations métriques dans le triangle |
|[pic] |rectangle |
|a | |
|2x | |
|[pic] | |
|-[pic] |AB2 + AC2 = BC2 |
| | |
|u(x) + v(x) |[pic] |
|u'(x) + v'(x) | |
| |sin [pic] = [pic]; cos [pic] = [pic]; |
|a u(x) |tan [pic] =[pic] |
|a u'(x) | |
| | |
| | |
|Logarithme népérien : ln |Résolution de triangle |
|ln (ab) = ln a + ln b | |
|ln ([pic]) = ln a - ln b | |
| |[pic] |
| |R : rayon du cercle circonscrit |
| | |
|ln (an) = n ln a | |
| |a2 = b2 + c2 - 2bc cos [pic] |
|Équation du second degré [pic] | |
| | |
| |Aires dans le plan |
|[pic] | |
|[pic] | |
| |Triangle : [pic] |
| | |
|[pic] | |
| |Trapèze : [pic] |
| |Disque : (R2 |
|- Si ( < 0, aucune solution réelle | |
|Si ( ( 0, [pic] | |
| |Aires et volumes dans l'espace |
| | |
| | |
|Suites arithmétiques |Cylindre de révolution ou prisme droit|
|Terme de rang 1 : u1 et raison r |d'aire de base B et de hauteur h : |
|Terme de rang n : un = u1 + (n-1)r |Volume Bh |
|Somme des k premiers termes : | |
|u1 + u2 + ... + uk = [pic] | |
| |Sphère de rayon R : |
|Suites géométriques | |
|Terme de rang 1 : u1 et raison q | |
|Terme de rang n :un = u1.qn-1 | |
| |Aire : 4(R2 |
| |Volume :[pic](R3 |
|Somme des k premiers termes : | |
|u1 + u2 + ... + uk = [pic] |Cône de révolution ou pyramide de base|
| |B et de hauteur h : Volume [p