L'histoire de la numération - Groupe départemental Mathématiques ...

|Histoire de la Numération | L'arithmétique a plus de 3500 ans : - période archaïque : - tablette d'argile (plimpton 322) datant du XVIII ème siècle avant JC à
Babylone donnant 15 triangles pythagoriciens (n2 + m2 = p2 avec n, m, p
entiers). - les éléments d'Euclyde du III ème siècle avant JC comportant 3 livres
d'arithmétique. - les arithmétiques de Diophante d'Alexandrie (IIème siècle av JC). - travaux d'astronomes hindous du Moyen Age : Brahmagoupta (VII ème ) et
Bhaskara (XII ème ) sur l'équation x2 - Ny2 = 1 - Archimède..... Pendant sept siècles les mathématiques occidentales piétinent. - période héroïque de 1630 à 1830 où l'arithmétique est boudée par les
mathématiciens. Fermat Euler Lagrange Legendre Gauss. - période pléthorique depuis 1830. Gauss Jacobi, Dirichlet Kummer Hermite Eisenstein Kronecker Dedekind Minkowski Hilbert. (Presque tous Allemands) La quadrature du cercle : Il s'agirait de réaliser avec une règle et un compas, un carré dont l'aire
serait exactement celle d'un cercle. Ce qui revient à résoudre une équation
du type ? r2 = a2 Or ? est un nombre transcendant, il ne peut être solution de ce type
d'équation algébrique où a et r sont rationnels. L'algèbre : étude des opérations sur les entiers, les rationnels, les
réels, les complexes. Vient de l'arabe ''al gebar'' qui veut dire remettre
en place. L'histoire de l'écriture des nombres : Les premières écritures de nombres étaient sans doute des entailles dans du
bois, n?uds sur une corde (incas).... a) Les mésopotamiens 3500 ans avant JC : invention de l'écriture sur des
tablettes d'argile. Ecriture des premiers nombres. - des jetons en terre de taille différentes indiquent des nombres
différents : 1, 10 , 60 , 600, 3600 , ...sont enfermés dans des boules en
terre, ils ont choisi la base 60. - puis ils sont enfoncés à la surface de la boule pour faciliter les étapes
de vérification intermédiaires. - puis des signes de même valeur sont gravés sur une tablette : trous
circulaires et encoches associées à des symboles représentant la nature des
marchandises.
Les signes cunéiformes : petits clous : 1 ; moyens clous : 60 ; grands
clous : 3600 ; triangles : 10 2 x 3600 60 10 + 2
7272 - puis, on invente le principe de position : on s'affranchit de la taille
des clous. Selon sa position, le signe n'a pas la même valeur : tantôt 1 ou
60 ou 3600 ... 2 x 3600 600 + 60 2 7862 b) les égyptiens et les hiéroglyphes. - Principe additif, base 10, pas de système de position, pas de zéro. L'ordre importe peu. Pour écrire 9999, il faut réaliser 36 dessins ! 1 le bâton 10 l'anse de panier 100 la corde 1000 la fleur de lotus 10 000 le doigt 100 000 le têtard 1 000 000 la silhouette. Les égyptiens maîtrisaient l'addition, avaient différentes techniques pour
la multiplication (voir TO). ils étaient par nécessité experts en mesures (à cause des crues du Nil qui
effacent régulièrement les limites de terrains), mais comme des mesures
tombent rarement justes, ils ont inventé les fractions : Les fractions : L'?il d'Horus Sourcil : 1/8 ; la demi - cornée droite : 1/16 ; la demi cornée gauche :
½ ; l'iris : ¼ ; les deux marques colorées du faucon : 1/32 et 1/64... le
total faisant 63/64. c) les romains La numération romaine n'est pas très pratique : pas de position, pas de
zéro, système additif et soustractif, ordre par 5 et 10. C'est un système d'écriture des nombres, les calculs se faisaient à part
avec des abaques : des cailloux (d'où calculs) qu'on déplace d'une colonne
à une autre. |1 |2 |4 |
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|3 249 | | |
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|9 521 | | |
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| | |MMMDCXLVIII |
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| | |DL CC LX IV |
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combien faut-il de signes pour écrire ces nombres ? neuf mille neuf cent quatre-vingt dix neuf trente mille en indien : en égyptien : en romain : fais ces calculs : CMXCVIII + MMMDCCXXIV = 12 650 + 869 =