Loi de Boyle-Mariotte - Free

Poussée d'Archimède
La poussée d'Archimède est la force particulière que subit un corps plongé
en tout ou en partie dans un fluide (liquide ou gaz) soumis à un champ de
gravité. Cette force provient de l'augmentation de la pression du fluide
avec la profondeur (effet de la gravité sur le fluide, voir l'article
hydrostatique) : la pression étant plus forte sur la partie inférieure d'un
objet immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte une poussée
globalement verticale orientée vers le haut. C'est à partir de cette
poussée qu'on définit la flottabilité d'un corps.
[pic]
[pic]
Archimède comparant l'or et l'argent
Archimède est un savant grec qui vécut à Syracuse (Sicile) de 287 av. J.-C.
à 212 av. J.-C. Il est connu pour ses multiples travaux scientifiques,
théoriques ou pratiques, que ce soit en mathématique ou en physique. Parmi
ces derniers, son Traité des corps flottants jette les bases de ce qui sera
plus tard la science nommée hydrostatique. C'est notamment dans cet ouvrage
qu'il étudie avec rigueur l'immersion d'un corps, solide ou fluide, dans un
fluide de densité inférieure, égale ou supérieure. Le théorème qui portera
plus tard le nom du savant y est ainsi énoncé (ce théorème fut ensuite
démontré au XVIe siècle). La couronne du roi Hiéron II [modifier] Vitruve[1] rapporte que le roi Hiéron II de Syracuse (306-214) aurait
demandé à son jeune ami et conseiller scientifique Archimède (âgé alors de
22 ans seulement) de vérifier si une couronne d'or, qu'il s'était fait
confectionner comme offrande à Zeus, était totalement en or ou si l'artisan
y avait mis de l'argent. La vérification avait bien sûr pour contrainte de
ne pas détériorer la couronne. La forme de celle-ci était en outre trop
complexe pour effectuer un calcul du volume de l'ornement. Archimède aurait
trouvé le moyen de vérifier si la couronne était vraiment en or, alors
qu'il était au bain public, en observant comment des objets y flottaient.
Il serait alors sorti dans la rue en s'écriant le célèbre « Eurêka » (j'ai
trouvé).
Ce que constate Archimède au bain public est que, pour un même volume
donné, les corps n'ont pas le même poids apparent, c'est-à-dire une masse
par unité de volume différente. On parle de nos jours de masse volumique.
L'argent (masse volumique 10 500 kg·m-3) étant moins dense que l'or (masse
volumique 19 300 kg·m-3), il a donc une masse volumique plus faible : pour
obtenir un poids voulu il faudra une plus grande quantité d'argent que
d'or. De là, Archimède déduit que si l'artisan a caché de l'argent dans la
couronne du roi, la couronne est plus grande que si, pour le même poids,
elle avait été faite exclusivement d'or, alors elle a une masse volumique
plus faible qu'une couronne de même taille seulement en or. Ainsi fut
découverte la supercherie du joaillier. La solution au problème [modifier] Pour répondre à la question du roi Hiéron, Archimède a donc pu comparer les
volumes d'eau déplacés par la couronne et une masse d'or identique. Si les
deux déplacent le même volume d'eau, leur masse volumique est alors égale
et on peut en conclure que les deux sont composées du même métal. Pour
réaliser l'expérience, on peut imaginer plonger la masse d'or dans un
récipient rempli à ras-bord (et muni d'un bec verseur pour mieux observer
la chose). Une certaine quantité d'eau débordera alors du récipient (on
peut la recueillir pour la mesurer). Ensuite, on retire l'or et on le
remplace par la couronne à étudier. Si la couronne est bien totalement en
or, alors l'eau ne débordera pas. En revanche, si sa densité est plus
faible, de l'eau supplémentaire débordera.
Le volume d'eau déplacé dépendra de la proportion d'argent dans l'or ; l'or
étant approximativement deux fois plus dense que l'argent, remplacer 10 %
en poids d'or par de l'argent conduit à une hausse de volume de 10 %[2].
Mais du fait de la forte masse volumique de l'or, son volume est très
faible : le volume d'une couronne de 1 kg d'or n'est que d'un peu plus de
50 cm³ et substituer 10 % d'or par de l'argent ne produit une différence
que d'environ de 5 cm³ (quelques dés à coudre).
La méthode ainsi décrite par Vitruve présente deux inconvénients. Le
premier est qu'elle ne fait ici intervenir en rien le principe d'Archimède.
Le second problème est qu'avec des conditions réalistes, en raison de la
densité de l'or et du volume faible de la couronne, le volume d'eau
déplacée est très faible et sa mesure est perturbée par l'eau qui peut être
perdue dans les différentes opérations. Il est donc peu probable
qu'Archimède ait pu tirer des conclusions significatives à partir d'une
telle expérience.
Une méthode plus réaliste est la suivante. On équilibre une balance avec la
couronne d'un côté et de l'or pur de l'autre : leur poids sont égaux.
Ensuite, on immerge complètement les objets pesés (pour s'affranchir de
l'influence des plateaux de la balance, on peut s'assurer qu'ils sont bien
strictement identiques, ou, mieux, les supprimer en les remplaçant par un
fil fin et de densité proche de celle de l'eau). Si la couronne n'est pas
en or pur, elle est de volume un peu plus grand, donc elle produit une
force d'Archimède vers le haut un peu plus importante que le même poids
d'or pur et l'équilibre initial de la balance est rompu. Là encore, la
différence de poids est faible, dans les conditions imaginées plus haut
elle correspond au poids de 5 cm³ d'eau, soit 5 grammes : il faut donc une
balance capable de détecter une telle variation de poids, ce qui est faible
mais pas irréaliste. Autres propositions du traité des corps flottants [modifier] Le traité des corps flottants contient d'autres propositions relatives au
théorème d'Archimède :
. Proposition III : Un solide de même volume et de même poids (en fait
de même masse volumique) que le liquide dans lequel il est abandonné y
enfoncera de façon à n'émerger nullement au-dessus de la surface, mais
à ne pas descendre plus bas.
. Proposition IV : Tout corps plus léger que le liquide où il est
abandonné ne sera pas complètement immergé, mais restera en partie au-
dessus de la surface du liquide.
. Proposition V : Un solide plus léger que le liquide dans lequel on
l'abandonne s'y enfonce de telle façon qu'un volume de liquide égal à
la partie immergée ait le même poids que le solide entier.
. Proposition VI : Lorsqu'un corps est plus léger que le liquide où on
l'enfonce et remonte à la surface, la force qui pousse en haut ce
corps a pour mesure la quantité dont le poids d'un égal volume de
liquide surpasse le poids même du corps.
. Proposition VII : Un corps plus lourd que le liquide où on l'abandonne
descendra au fond et son poids, dans le liquide, diminuera d'une
quantité mesurée, par ce que pèse un volume de liquide égal à celui du
corps. Formulation du théorème d'Archimède [modifier] « Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-
ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de
bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force
est appelée « poussée d'Archimède ». »
Pour que le théorème s'applique il faut que le fluide immergeant et le
corps immergé soient au repos. Il faut également qu'il soit possible de
remplacer le corps immergé par du fluide immergeant sans rompre
l'équilibre, le contre-exemple étant le bouchon d'une baignoire remplie
d'eau : si celui-ci est remplacé par de l'eau, il est clair que la
baignoire se vide et que le fluide n'est alors plus au repos. Le théorème
ne s'applique pas puisque nous sommes dans un cas où le bouchon n'est pas
entièrement mouillé par le liquide et ne traverse pas sa surface libre.
Une fois les conditions précédentes respectées, dans un champ de pesanteur
uniforme, la poussée d'Archimède PA est donnée par la formule suivante :
[pic],
où M f est la masse du fluide contenu dans le volume V déplacé, et g la
valeur du champ de pesanteur.
Si la masse volumique ? du fluide est elle aussi uniforme, on aura :
[pic]
ou encore, si l'on considère les normes des forces :
[pic]
La poussée d'Archimède PA s'exprimera en newton (N) si la masse volumique ?
est en kg/m³, le volume de fluide déplacé V en m³ et la valeur de la
pesanteur g en N/kg (ou m/s²). Démonstration [modifier]
Expérience de pensée [modifier] Considérons un fluide au repos. Délimitons, par une expérience de pensée,
un certain volume de forme quelconque au sein de ce fluide. Ce volume est
lui aussi au repos : malgré son poids, ce volume ne tombe pas. Cela
signifie donc que son poids est rigoureusement équilibré par une force
opposée, qui le maintient sur place, et qui provient du fluide extérieur.
Remplaçons maintenant, toujours dans notre expérience de pensée, ce volume
par un corps quelconque. Comme la force qui maintenait le fluide en
équilibre est une force de pression agissant à la surface du volume, il est
possible de supposer que cette même force s'applique encore au corps
immergé : elle est toujours opposée au poids de fluide déplacé. C'est la
poussée d'Archimède. Le fait que les champs de force soient identiques pour
le fluide homogène au repos et pour le corps immergé dans le fluide au
repos est appelé « théorème de solidification ». Idée de calcul [modifier] Supposons un cube d'arête a entièrement immergé dans un liquide, sa face du
haut étant horizontale et située à une profondeur z1 > 0 (le sens positif
est vers le bas).
Dans le cas d'un liquide incompressible au repos soumis à un champ de
pesanteur uniforme, la pression absolue p vaut
p = po + p h ,
où po est la pression atmosphérique et p h la pression hydrostatique.
À une profondeur z, la pression hydrostatique correspond au poids P d'une
colonne de liquide (que l'on peut imaginer cylindrique) de hauteur z et de
base A, divisé par la base. Or
P = m g = [? (z A)] g ,
où m est la masse de la colonne, zA son volume, ? la masse volumique
(supposée uniforme) du liquide