Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le ... - Bruno Garcia

Cours de seconde.
Valeur absolue et distances entre deux réels. Pré-requis : Intervalles de , ordre et comparaison.
Eventuellement : fonctions affines, parité, variations. I- Valeur absolue ou distance à zéro d'un nombre. 1- Notation. Définition. Exemples. Notation : la valeur absolue d'un nombre réel se notre entre deux
barres verticales. Par exemple, la valeur absolue du nombre x se note
.
Définition :
Lorsqu'un nombre est positif, sa valeur absolue est lui-même.
Par exemple : = 3, ) = , = (.
Lorsqu'un nombre est négatif, sa valeur absolue est son opposé.
Par exemple = 3, ) et ) = .
= 0. (0 est à la fois positif et négatif )
Conséquences :
. La valeur absolue de tout nombre est un nombre positif. (propriété
1)
Soit : pour tout x réel, ( 0.
. Pour tout x ( 0, = x et pour tout x ( 0, = - x. (propriété 2)
Remarque importante : - x est alors un nombre positif.
Comprenez bien que si x = -3, par exemple, alors - x = - ( - 3 ) = 3.
Donc -x > 0.
2- Distance à zéro.
Sur la droite graduée des réels, la valeur absolue d'un nombre
correspond à sa distance à zéro.
[pic]
La distance à zéro de 4,5 est 4,5, ou encore .
La distance à zéro d'un nombre positif est lui-même.
[pic]
La distance à zéro de - 2,5 est 2,5, ou encore .
La distance à zéro d'un nombre négatif est son opposé.
[pic]
- 3 et 3 sont à la même distance de zéro : 3. Soit = = 3.
Deux nombres opposés ont même valeur absolue.
Pour tout x réel, = . (propriété 3)
Remarque importante : Deux nombres opposés ont même distance à zéro,
soit même valeur absolue. Et deux nombres qui ont même valeur absolue
sont soit égaux, soit opposés.
Soit : = équivaut à x = y ou x = - y. (propriété 4)
Exemple : = 3,8 équivaut à x = 3,8 ou x = - 3,8.
= 3,8 est une équation d'inconnue x dont les solutions
sont 3,8 et -3,8.
Applications dans des résolutions d'équations avec des valeurs
absolues :
) = 2 équivaut à = 2 ou = -2
Soit 2x - 3 = 14 ou 2x - 3 =
-14.
Soit 2x = 17 ou 2x =
- 11.
Soit x = ou x = -
S = { ; - }
= équivaut à 3x + 5 = - 2x + 3 ou 3x + 5 = - ( -2x + 3)
Soit 5x = -2 ou 3x + 5 = 2x -
3
Soit x = - ou x =
- 8.
S = { - 8 ; - }
= - 9 n'a pas de solutions car la valeur absolue d'un nombre est
toujours positive. (propriété 1) S = .
= 0 si et seulement si x + 8 = 0, soit x = - 8.
S = { - 8 }
3- Inéquations.
( 5 est une inéquation dont les solutions sont tous les nombres réels
dont la distance à zéro est inférieure ou égale à 5, c'est à dire tous
les nombres compris entre - 5 et 5 au sens large.
[pic]
Pour ( 5, S = [-5 ;5]
( 5 équivaut à -5 ( x ( 5.
De même, < 3,5 est une inéquation dont les solutions sont tous les
nombres réels dont la distance à zéro est strictement inférieure à
3,5. Ce sont tous les nombres compris entre -3,5 et 3,5 au sens
strict.
[pic]
Pour < 3,5, S = ]-3,5 ; 3,5[
< 3,5 équivaut à - 3,5 < x < 3,5.
( 2 est une inéquation dont les solutions sont tous les nombres réels
dont la distance à zéro est supérieure ou égale à 2. Ce sont tous les
nombres inférieurs ou égaux à - 2 ou supérieurs ou égaux à 2.
[pic]
Pour ( 2, S = ] - ; - 2 ] [ 2 ; + [
( 2 équivaut à x ( - 2 ou x ( 2.
> est une inéquation dont les solutions sont tous les nombres réels
dont la distance à zéro est strictement supérieure à . Ce sont tous
les nombres strictement inférieurs à - ou strictement supérieurs à .
[pic]
Pour > , S = ] - ; - [ ] ; + [
> équivaut à x < - ou x > .
Applications dans des résolutions d'inéquations avec des valeurs
absolues :
) < 10 équivaut à - 10 < < 10
Soit - 50 < 3 - x < 50
Soit - 53 < -x < 47
Soit 53 > x > - 47 (en multipliant les
trois membres pas -1)
Soit - 47 < x < 53
S = ] - 47 ; 53 [
) ( 2 équivaut à ( -2 ou ( 2.
Soit 3x - 6 ( -8 ou 3x - 6 ( 8
Soit 3x ( - 2 ou 3x ( 14
Soit x ( - ou x (
S = ] - ; - ] [ ; + [
) ( - 3 n'a pas de solutions car une valeur absolue est toujours un
nombre positif ou nul (propriété 1). S = .
( -2 est toujours vraie car une valeur absolue est toujours
supérieure ou égale à 0 (propriété 1). S = .
> 0 si et seulement si - 6 x + 9 0 puisqu'une valeur absolue est
toujours supérieure à 0 et puisque = 0 si et seulement si - 6 x + 9 =
0.
Or - 6 x + 9 = 0 pour - 6 x = - 9, soit x = .
Donc > 0 si et seulement si x .
d'où S = - { } = ] - ; [ ] ; + [
II- Distance entre deux nombres. Centre et rayon d'un intervalle. 1- Distance entre deux nombres.
Soient x et y deux nombres réels.
Si x ( y, la distance entre x et y vaut y - x.
[pic]
Si x = y, la distance entre x et y vaut 0.
Si x ( y, la distance entre x et y vaut x - y.
[pic]
Or, si x ( y, y - x ( 0, donc = y - x
(car la valeur absolue d'un nombre positif est lui-même)
Si x = y, la distance entre x et y vaut 0.
Et si x ( y, y - x ( 0, donc = - ( y - x ) = - y + x = x - y
(car la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé)
Dans tous les cas, la distance entre x et y vaut .
Remarque : comme y - x et x - y sont deux nombres opposés, ils ont
même valeur absolue, soit = . Donc la distance entre x - y vaut aussi
.
Conclusion : Pour tous nombres x et y réels, la distance entre x et y
vaut ou
2- Equations et inéquations. Centre et rayon d'un intervalle.
= 2 signifie que la distance de x à 3 vaut 2.
Donc = 2 est une équation dont les solutions sont les nombres x
situés à la distance 2 de 3.
Donc = 2 équivaut à x = 1 ou x = 5 (car 1 et 5 sont les deux nombres
situés à la distance 2 de 3)
S = { 1 ; 5 }
Remarque : on pouvait aussi résoudre cette équation comme dans le
paragraphe I - 2.
= 2 pour x - 3 = 2 ou x - 3 = - 2.
Soit x = 5 ou x = 1
S = { 1 ; 5 } ( 3 est une inéquation dont les solutions sont tous les nombres situés à
une distance de 2,5 inférieure ou égale à 3. Ses solutions sont tous les
nombres situés à une distance de 2,5 inférieure ou égale à 3.
S = [ - 0,5 ; 5,5 ] 2,5 est le centre de l'intervalle [ - 0,5 ; 5,5 ].
3 est le rayon de cet intervalle.
< 2,5 équivaut à < 2,5.
Attention : n'est pas la distance de x à 4 mais celle de x à - 4 !
Rappel : la distance de x à y est !
< 2,5 est une inéquation dont les solutions sont tous les nombres situés à
une distance de
- 4 strictement strictement inférieure à 2,5.
[pic]
S = ] - 6,5 ; - 1,5 [ - 4 est le centre de l'intervalle ] - 6,5 ; - 1,5 [
2,5 est le rayon de cet intervalle. Définition : Soient a et b deux réels tels que a < b.
Le centre c de l'intervalle [a , b] est c =
Le rayon r de l'intervalle [a , b ] est r = [pic] Remarque : l'intervalle [ a , b ] est aussi l'intervalle [ c - r , c + r ].
a = c - r , b = c + r.
> 3 équivaut à > 3.
Les solutions de cette inéquation sont tous les réels x situés à une
distance de - 1 strictement supérieure à 3.
[pic]
S = ] - ; - 4 [ ] 2 ; + [ III- Propriétés de la valeur absolue dans des calculs. (facultatif) 1- Somme et inégalité triangulaire. Calculer et + . Ces deux quantités sont-elles égales ?
= = 9
+ = 4 + 5 = 9.
Oui, ces deux quantités sont égales.
Calculer et + . Ces deux quantités sont-elles égales ?
= = 4
+ = 1 + 5 = 6
Non, ces deux quantités ne sont pas égales.
Attention : la valeur absolue de la somme de deux nombres n'est pas
forcément égale à la somme des valeurs absolues de ces deux nombres !
On admet que, si deux nombres a et b ont même signe, on a = +
et si a et b n'ont pas même signe < + .
On retiendra le théorème de l'inégalité triangulaire :
Théorème 1 : Pour tous réels a et b, on a ( + .
2- Produit.
Théorème 2 (admis) : Pour tous nombres réels a et b, = ( .
Exemples : a = 5 et b = 8.
= = = 40.
( = ( = 5 ( 8 = 40
On a bien = ( a = 7 et b = -3
= = = 21
( = ( = 7 ( 3 = 21
On a bien = ( a = - 5 et b = - 0,2.
= = = 1
( = ( = 5 ( 0,2 = 1
On a bien = ( 3- Quotient. Théorème 3 (admis) : Pour tous nombres réels a et b, b 0, ) = ;)).
Exemples : Pour a = -12 et b = 4.
) = ) = = 3
;)) = ;)) = = 3.
On a bien ) = ;)).
| |Pour a = -23 et b = -10. |
| |) = ) = = 2,3. |
|