Bac maths S 2005 - National - Descartes et les Mathématiques

Bac S 2005 - Sujet national Suites et restitution organisée de connaissances - Géométrie plane et
complexes - Probabilité - Fonction exponentielle et équations
différentielles. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2005/bac_s_national_2005.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2005
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit
traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut
admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la
copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en
compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5
pages numérotées de 1 à 5. EXERCICE 1 (4 points)
Commun à tous les candidats Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances. Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants :
(1) deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque : l'une est
croissante, l'autre est décroissante et un - vn tend vers 0 quand n tend
vers + ? ;
(2) si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est
croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on
a un < vn ;
(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite
décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante :
« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».
(2 points) Partie B On considère une suite (un), définie sur N dont aucun terme n'est nul. On
définit alors la suite (vn) sur N par vn.= [pic].
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer
une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition
fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une
réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1) Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente. (0,5 points)
2) Si (un) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par -1. (0,75
points)
3) Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante. (0,5 points)
4) Si (un) est divergente, alors (vn) converge vers zéro. (0,25 points)
EXERCICE 2 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité [pic]
Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le
cercle C de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle C et
distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et
MKLO. La figure est représentée ci-dessus. Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants
de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à
déterminer. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les
affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument [pic]. On
note k, l, m, n et p les affixes respectives des points K, L, M, N et P. 1) Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle C, on a
[pic] = [pic]. (0,5 point) 2) Établir les relations suivantes : l = i m et p = - im + 1 + i.
On admettra que l'on a également n = (1 - i)m + i et k = (1 + i)m. (1,25
point) 3) a) Démontrer que le milieu ( du segment [PL] est un point indépendant
de la position du point M sur le cercle C. (0,5 point)
b) Démontrer que le point ( appartient au cercle C et préciser sa
position sur ce cercle. (0,5 point) 4) a) Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est
constante. (0,75 point)
b) Quelle est la nature du triangle (NK ? (0,5 point) 5) Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant du
point M, dont on déterminera le centre et le rayon. (1 point)
EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés de la figure ci-
dessus. Cette figure complétée sera à rendre avec la copie. On munit le plan d'un repère orthonormal direct (O, [pic], [pic]).
Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les
triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles,
extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles
droits étant respectivement les points R, S, T et U). Partie A
On désigne par m, n, p et q, les affixes respectives des points M, N, P et
Q.
1) Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.
a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude f. (1 point) b) On désigne par r l'affixe du point R. Démontrer que : r = [pic] m +
[pic] n où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument [pic] (on
pourra éventuellement utiliser l'écriture complexe de la similitude f).
(0,75 point)
On admettra que l'on a également les résultats s = [pic] n + [pic] p, t =
[pic] p + [pic] q et
u = [pic] q + [pic] m, où s, t et u désignent les affixes respectives des
points S, T et U.
2) Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même
isobarycentre. (1 point)
3) a) Démontrer l'égalité u - s = i(t - r). (0,5 point)
b) Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU],
d'une part, et pour les droites (RT) et (SU), d'autre part ? (0,5
point) Partie B Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.
1) Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu'il
existe une unique rotation g qui transforme R en S et T en U. (0,5
point)
2) Décrire comment construire géométriquement le point (, centre de la
rotation g. Réaliser cette construction sur la figure de l'annexe. (0,75
point) EXERCICE 3 (5 points)
Commun à tous les candidats Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous forme de fraction
et sous forme décimale approchée par défaut à 10-3 près. Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et
3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte
cylindrique.
1) Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard
dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies.
On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges
choisies.
a) Déterminer la loi de probabilité de X. (1,25 point)
b) Calculer l'espérance mathématique de X. (0,5 point) 2) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse
d'abord au hasard une
des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard,
dans la boîte choisie.
On considère les événements suivants :
C1 : « L'enfant choisit la boîte cubique »,
C2 : « L'enfant choisit la boîte cylindrique »,
R : « L'enfant prend une bille rouge »,
V : « L'enfant prend une bille verte ».
a) par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.
(0,5 point)
b) Calculer la probabilité de l'événement R. (0,5 point)
c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la
probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ? (0,5 point) 3) L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à
chaque fois la bille tirée à sa place.
a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l'enfant ait pris
au moins une bille rouge au cours de ses n choix. (1 point)
b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ( 0,99.
(0,75 point)
EXERCICE 4 (6 points)
Commun à tous les candidats
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par f(x) =[pic]
a) Démontrer que f(x)= [pic]. (0,5 point)
b) Étudier les limites de la fonction/en +? et en -?. (0,5 point)
c) Étudier les variations de la fonction f. (1 point) Partie B
1) On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits
rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On
définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0 ; +?[ dans R. La variable
réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est
la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution
consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0 ; +?[, de
l'équation différentielle (E1) y' = [pic]. a) Résoudre l'équation différentielle (E1). (0,75 point)
b) Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t = 0, la
population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire g(0) = 1. (0,5 point)
c) Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs
pour la première fois? (0,75 point) 2) En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un
prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de
rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé
en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie,
satisfait aux conditions :
(E2) : [pic]
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u. a) On suppose que, pour tout